广东省梅州市2021-2022学年九年级上册数学期末试卷（一）含答案

广东省梅州市2021-2022学年九年级上册数学期末试卷（一）

一、选一选（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中

只有一个是正确的）

1.方程/=3x的解是（）

A.x=3B.x,=0,x2=3

C.X[=0,%2=-3D.玉=1,x2=3

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：移项后分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可.

X2=3X,

x2-3x=0,

x（x-3）=0,

x=0,x-3=0,

Xi=0,X2=3,

故选B.

考点：解一元二次方程-因式分解法.

2.下面左侧几何体的左视图是（）

【答案】C

【解析】

【详解】从左面看，是一个长方形.故选C.

3.如果f=2,则*的值是（）

ba-b

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।3

A.3B.-3C.vD.-

22

【答案】A

【解析】

【详解】V-=2,

b

/.a=2b,

:a+b_2b+b_3.

a-b2b-b

故选A.

4,已知没有透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑

球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球,

如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为()

A.20B.30C.40D.50

【答案】B

【解析】

20

【详解】根据题意得-----=0.4,解得：n=30,故选B.

20+〃

5.关于x的一元二次方程ax2+3x-2=0有两个没有相等的实数根，则a的值可以是()

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【解析】

(详解］V关于x的一元二次方程”+3x-2=0有两个没有相等的实数根，

；.A>0且存0,即32-4ax(-2)>0且存0,

解得a>-J且存0,

8

故选B.

【点睛】本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键.

6.中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入

300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收

入平均增长率为x,可列方程为()

A.300(1+x%)2=950B.300(1+x2)=950C.300(l+2x)=950D.300(1+x)

2=950

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【答案】D

【解析】

【详解】设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么根据题意得2018年

年收入为：300（1+x）2,列出方程为：300（1+x）2=950.故选D.

7.今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格没有菲.为此，某电子商城推出分

期付款购买新手机的，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相

同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）

76889688

A.y=--------+2000B.y=-----------2000

Xx

76882000

C.y=——D.y=——

xx

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额,进而得出y与x的函数关系式.

…〜曲事.加9688-20007688

【详解】由题意可得：y=-------------------=---------

xx

故选C.

8.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果NADB=38。，则NE的

C.20°D.21°

【答案】A

【解析】

四边形ABCD是矩形,

；.AD〃BE,AC=BD,且NADB=NCAD=60°,

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/.ZE=ZDAE,

又：BD=CE,

.\CE=CA,

.\ZE=ZCAE,

VZCAD=ZCAE+ZDAE,

；.NE+NE=38°,即NE=19°.

故选A.

点睛：本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等、对边平行是解题关键.

9.下列说确的是（）

A.二次函数丫=（x+1）2-3的顶点坐标是（1,3）

B.将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象

C.菱形的对角线互相垂直且相等

D.平面内，两条平行线间的距离处处相等

【答案】D

【解析】

【详解】选项A,二次函数y=（x+1）2-3的顶点坐标是（-1,-3）,错误；选项B,将二次

函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=x2+2的图象，错误；选项C,菱形的对角

线互相垂直且平分，错误；选项D,平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确：故选D.

10.如图，一路灯B距地面高BA=7m,身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A-H的方

向行走至点G,若AD=6m,DG=4m,则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（）

C,变长1.5mD.变长1.8m

【解析】

【详解】由CD〃AB〃FG可得△CDEs^ABE、AHFG^AHAB,

DECDHGFG,DE1.4HG1.4

•----=----,----=nr----,即-------

AEABHAABDE+6T'HG+4+6~^T'

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解得：DE=1.5,HG=2.5,

VHG-DE=2.5-1.5=1,

・,•影长边长Im.

故选A.

11.函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax?+x+c的图象可能大致是（）

【解析】

【详解】•.,函数尸ax+c的图象一、三、四象限，

/.a>0,c<0,

故二次函数y=ax?+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，

故选C.

12.如图，点P是边长为J5的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PEJ_BC

于点E,PF_LDC于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF

交AH于点G,当点P在BD上运动时（没有包括B、D两点），以下结论中:①MF=MC；②AHLEF；

③AP2=PM・PH；④EF的最小值是Y1.其中正确结论是（）

2

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D

A.①③B.(2X3)C.②③④D.②④

【答案】B

【解析】

【详解】①错误.因为当点P与BD中点重合时，CM=O,显然FMWCM；

②正确.连接PC交EF于0.根据对称性可知NDAP=NDCP,

•・•四边形PECF是矩形，

.*.OF=OC,

AZOCF=ZOFC,

AZOFC=ZDAP,」

VZDAP+ZAMD=90°,

/.ZGFM+ZAMD=90°,

工ZFGM=90°,

AAH±EF.

③正确.VAD/7BH,

AZDAP=ZH,

VZDAP=ZPCM,

AZPCM=ZH,

VZCPM=ZHPC,

/.△CPM^AHPC,

.PCPM

••=,

HPPC

.,.PC2=PM«PH,

根据对称性可知：PA=PC,

•,.PA2=PM«PH.

④正错误四边形PECF是矩形，，

；.EF=PC,

.,.当CP_LBD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，

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VAC=2,

APC的最小值为1,

；.EF的最小值为1；

【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握

正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.

二、填空题(本题共有4小题，每小题3分，共12分)

13.有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字-1,0,-2,将正面朝下放在桌

面上.现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为____.

【答案】j

【解析】

【详解】•••共有3张卡片，卡片的正面分别标上数字-1,0,-2,卡片上的数字为负数的有2

张，

.•.卡片上的数字为负数的概率为4；

3

……2

故答案为一.

3

14.二次函数y=-(x-1)(x+2)的对称轴方程是.

【答案】X=-y

【解析】

19

【详解】y=-(x-1)(x+2)=-(x2+x-2)=-)2+—,

24

・••二次函数y=-(x-1)(x+2)的对称轴为x=-y,

故答案为X=-y.

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3

15.如图，点A在曲线y=-(x>0)上，过点A作AB_Lx轴，垂足为B,0A的垂直平分线交

x

【解析】

3

【详解】•・,点A在曲线y=—(x>0)上，AB_Lx轴，AB=1,

x

ABxOB=3,

A0B=3,

VCD垂直平分AO,

.*.OC=AC,

；.△ABC的周K=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4,

故答案为4.

【点睛】运用了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质.解题时注意运用线段垂直平分

线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

16.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点。，点E是0B上一点，且OB=3OE,连

接AE,过点D作DG±AE于点F,交AB边于点G,连接GE,若AD=60,则GE的长是.

DC

【答案】M

【解析】

【详解】作EH_LAB于H.

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D

:四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD=6M，

.".OA=OB=6,

V0B=30E,

.♦.OE=2,EB=4,

•."ZEBH=ZBEH=45°,

；.EH=BH=2M，

/.AH=AB-BH=4正，

,/ZADG+ZDAF=90°,ZDAF+ZEAH=90°,

ZADG=ZEAH,YZDAG=ZAHE,

.,.△DAG^AAHE,

•AD_AG

"AirEH'

.6V2,AG

,・啦飞回

.，.AG=3&,

AGH=AH-AG=72>

在RtAEGH中，EG={EH2+GH&VT5,

故答案为S3

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定

理等知识点，作出辅助线，判定△DAGsaAHE是解题的关键.

三、解答题(本大题共7小题，共52分)

17.计算：(T)2018-(1)-1+2X(V2018)°+>/27.

【答案】3也

【解析】

【详解】试题分析：根据乘方的定义、负整数指数幕的性质、零指数基的性质、二次根式的性

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质依次计算各项后，合并即可.

试题解析：

原式=1-3+2+36=36

18.x2-8x+12=0.

【答案】Xt-6,X2=2.

【解析】

【分析】分解因式后得到(x-6)(x-2)=0,推出方程x-6=0,x-2=0,求出方程的解即可.

【详解】解：

x2-8x+12=0,

分解因式得(x-6)(x-2)=0,

/.X-6=0,x-2=0,

解方程得：xi=6>X2=2,

二方程的解是XI=6,X2=2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解题的关键是正确的利用十字相乘法和提取公因式

法进行因式分解.

19.在没有透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同.

(1)从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是

两个白球的概率；

3

(2)若在布袋中再添加a个红球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为一，试求

4

a的值.

【答案】(1)(2)5.

3

【解析】

【详解】试题分析：(1)列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个是白球的情况数，根

据概率公式求解即可；(2)根据概率公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到结果.

试题解析：

(1)I田I树状图得：

开始

红白白

/\/\/\

白白红白红白

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・.•共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色」的有2种情况,

•••随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：^2=1-.

（2）根据题意，得：上巴=3,

3+a4

解得：a=5,

经检验a=5是原方程的根，

故a=5.

点睛：本题考查了学生对概率问题的理解，要注意方程思想的应用：还考查了用列表法或树状

图法求概率.列表法可以没有重复没有遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状

图法适合两步或两步以上完成的；解题时要注意此题是放回实验还是没有放回实验.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.如图，AABC中，ZACB的平分线交AB于点D,作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、

BC于点E、G、F,连接DE、DF.

（1）求证：四边形DFCE是菱形；

（2）若/ABC=60,ZACB=45°,BD=2,试求BF的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）1+73

【解析】

【详解】试题分析：（1）已知EF是DC的垂直平分线，可得DE=EC,DF=CF,ZEGC=ZFGC=90°,

再由ASA证得4CGE乌AFCG,根据全等三角形的性质可得GE=GF,所以DE=EC=DF=CF,

根据四条边都相等的四边形为菱形，即可判定四边形DFCE是菱形；（2）过D作DH_LBC于H,

根据30°直角三角形的性质求得BH=1；在Rt^DHB中，根据勾股定理求得DH的长，再判定

△DHF是等腰直角三角形，即可得DH=FH=G，即可求得BF的长.

试题解析：

（1）证明：：EF是DC的垂直平分线，

.♦.DE=EC,DF=CF,ZEGC=ZFGC=90°,

VCD平分NACB,

；.NECG=NFCG,

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VCG=CG,

.,.△CGE^AFCG(ASA),

；.GE=GF,

；.DE=EC=DF=CF,

，四边形DFCE是菱形；

(2)过D作DHJ_BC于H,则NDHF=NDHB=90。,

VZABC=60°,

；.NBDH=30°,

BD=l,

2

在RtADHB'I',DH=62_]2=«,

:四边形DFCE是菱形，

；.DF〃AC,

.,.ZDFB=ZACB=45°,

/.△DHF是等腰直角三角形，

.,.DH=FH=V3>

/.BF=BH+FH=1+5/3.

21.今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，

每天的量是300本.已知在每本涨价幅度没有超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就

会少售出10本，设每本书上涨了x元.请解答以下问题：

(1)填空：每天可售出书本(用含x的代数式表示)：

(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？

【答案】(1)(300-10x).(2)每本书应涨价5元.

【解析】

【详解】试题分析：(1)每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每

天就会少售出10x本，所以每天可售出书(300-10x)本；(2)根据每本图书的利润X每天图

书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.

试题解析：

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(1)•.•每本书上涨了X元，

.,.每天可售出书(300-10x)本.

故答案为300-10x.

(2)设每本书上涨了x元(烂10),

根据题意得：(40-30+x)(300-10x)=3750,

整理，得：x2-20x+75=0,

解得：x)=5,X2=15(没有合题意，舍去).

答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元.

22.如图1,在平面直角坐，标系中，QOABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上,

k

且OA=4,0C=2j],ZCOA=45°.反比例函数尸一(k>0,x>0)的图象点C,与AB交于

x

点D,连接AC,CD.

(1)试求反比例函数的解析式；

(2)求证：CD平分NACB；

(3)如图2,连接OD,在反比例的函数图象上是否存在一点P,使得SAP℃=3SACOD?如果存

在，请直接写出点P的坐标.如果没有存在，请说明理由.

【答案】(1)歹=±；(2)证明见解析；(3)P的坐标为(〜包-1,V5+1)或P(J?+l,

X

V5-1).

【解析】

【分析】(1)过点C作CE±x轴于E,已知00=272，/COA=45。,根据勾股定理求得0E=CE=2,

即可得点C的坐标，代入y=七求得k值，即可得反比例函数的解析式；

x

(2)过点D作DG^x轴于G,交BC于F,先求得直线AB的解析式，把反比例函数的解析

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式和直线AB的解析式联立，解方程组，求得点D的坐标，再求得AD和DE的长，根据角平

分线的判定定理即可证得CD平分NACB：

(3)存在，分点P在点C右侧时和点P在点C左侧时两种情况求点P的坐标即可.

【详解】(1)如图1,过点C作CE，x轴于E,

・・・/CEO=90。，

VZCOA=45°,

AZOCE=45°,

♦：0C=2亚，

A0E=CE=2,

：.C(2,2),

・・•点C在反比例函数图象上，

；.k=2x2=4,

4

・・・反比例函数解析式为y=一,

x

(2)如图2,过点D作DG_Lx轴于G,交BC于F,

AGF±CB,

VOA=4,

由（1）知，0C=CE=2,

・・・AE=EC=2,

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AZECA=45O,ZOCA=90°,

・・・OC〃AB,

AZBAC=ZOCA=90o,

AAD1AC,

VA(4,0),AB//OC,

工直线AB的解析式为y=x-4①,

4

・・,反比例函数解析式为尸一②，

x

x=20+2x=2-2y[2

联立①②解得,或,(舍),

y=2y/2-27=-2-272

AD(2女+2,272-2),

；.AG=DG=20-2,

.•.AD=0DG=4-2a,

/.DF=2-(272-2)=4-272>

；.AD=DF,

VAD±AC.DF1CB,

...点D是/ACB的角平分线上，

即：CD平分NACB；

(3)存在，：点C(2,2),

直线OC的解析式为y=x,OC=272，

VD(20+2,272-2),

：.CD=2y[2-2

I、如图3,当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2,

,**SAPOC=ySACOD»

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...设CD的中点为M,

AM(拒+2,6),

过点M作MP〃OC交双曲线于P,

二直线PM的解析式为y=x-2③，

4

•.•反比例函数解析式为y=—④，

x

联立③④解得，

X=V?+1x=l-V?

或＜(舍),

y=45-\y=-l-下

•••P(J?+l，V5-1);

n、当点p在点c左侧时，即：点p的横坐标大于o而小于2,

设点M关于0C的对称点为M，，NT(m,n),

."7+yp2,+2c114~

=2,

22

m=2-y/2，n=4-历，

AM'(2-V2-4-8)，

：PM，〃OC,

直线PM，的解析式为y=x+2⑤，

X=yfs—1X=-1-y/s

联立④⑤解得，＜或｛(舍)，

y-y/5+l.[＞=1一。5

，P(0-1，V5+!).

即：点P的坐标为(亚-3y/5+1)或P(75+1-75-1).

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+fcr+c(a＜0)与x轴交于/(-2,0)、B(4,

0)两点，与夕轴交于点C,且0C=204

(I)试求抛物线的解析式；

(2)直线y=fcr+l(左＞0)与y轴交于点。，与抛物线交于点P,与直线8c交于点记，"

PM

,试求"，的值及此时点尸的坐标；

DM

(3)在(2)的条件下，点0是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样

的点。、N,使得以尸、D、0、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；

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如果没有存在，请说明理由.

(答案］(1)y=-1(x+2)(x-4)或y=-!x2+x+4或y=-J(x-1)2+—9.(2)值为一2，此

227243

7

时P(2,4).(3)(-,3)或(6,-3).

2

【解析】

【详解】试题分析：(1)设抛物线的解析式为尸a(x+2)(x-4),根据已知条件求得点C的坐

标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式；(2)作PE_Lx轴于E,交BC于F,易证

PMPF1

△CMD^AFMP,根据相似三角形的性质可得m=-=——，设P(n,-n2+n+4),则F

DMDCv2

(n,-n+4),用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质

解决问题即可；(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分

DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标.

试题解析：

(1)因为抛物线y=ax2+bx+cA(-2,0)、B(4,0)两点，设y=a(x+2)(x-4),

VOC=2OA,OA=2,

AC(0,4),代入抛物线的解析式得到a=-

；.y=-—(x+2)(x-4)或y=-—x2+x+4或y=-上(x-1)2+—.

2