2024中考数学复习 重难题型分类练 函数图象与性质探究题 (含答案)

2024中考数学复习重难题型分类练函数图象与性质探究题类型一新函数性质探究1.小华同学学习函数知识后，对函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x2（－1＜x≤0）,－\f(4,x)（x≤－1或x>0）))通过列表、描点、连线，画出了如图①所示的图象．x…－4－3－2－1－eq\f(3,4)－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)01234y…1eq\f(4,3)24eq\f(9,4)1eq\f(1,4)0－4－2－eq\f(4,3)－1请根据图象解答：(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：______________________________________________________；②若函数图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)满足x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0一定成立吗？________；(填“一定”或“不一定”)(2)【延伸探究】如图②，将过A(－1，4)，B(4，－1)两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y＝－eq\f(4,x)(x≤－1)的图象交于点P，连接PA，PB.①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；②直接用含n·的代数式表示△PAB的面积．第1题图2.函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝－eq\f(8x,x2＋4)的图象，并探究其性质．列表如下：x…－4－3－2－101234…y…eq\f(8,5)eq\f(24,13)aeq\f(8,5)0b－2－eq\f(24,13)－eq\f(8,5)…(1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；第2题图(2)观察函数y＝－eq\f(8x,x2＋4)的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当－2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；②x＝2时，函数有最小值，最小值为－2；③－1<x<1时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是________；(请写出所有正确命题的序号)(3)结合图象，请直接写出不等式eq\f(8x,x2＋4)>x的解集________．类型二与几何图形结合的函数性质探究3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N.设A，M两点间的距离为xcm(0≤x≤5)，B，N两点间距离为ycm(当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0).第3题图①小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝________；(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象；第3题图②(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：___________________________；(4)解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是________cm.(结果保留两位小数)4.背景：点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图①，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．(1)求k的值；(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图②，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可)；③过点(3，2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．第4题图类型三与实际问题结合的函数性质探究5.如图①，点C是半圆O的直径AB上一动点(不包括端点)，AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连接EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm.请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图②中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．x…0.300.801.602.403.204.004.805.60…y1…2.012.983.463.332.832.111.270.38…y2…5.604.953.952.962.061.240.570.10…(1)当x＝3时，y1＝________；(2)在图②中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系；(3)由(2)知“AC取某值时，由EC＝EB”，如图③，牛牛连接了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．第5题图6.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(2)，在探究三边关系时，通过画图、度量和计算，收集到一组数据如下表：(单位：厘米)AC2.82.72.62.32.01.50.4BC0.40.81.21.62.02.42.8AC＋BC3.23.53.83.94.03.93.2(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC＋BC的数据进行分析：①设BC＝x，AC＋BC＝y，以(x，y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；②连线；第6题图①观察思考(3)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当x＝________时，y最大；(4)进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a(a为常数，a>0)，则BC＝________时，AC＋BC最大；推理证明(5)对(4)中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：(3)______；(4)________；问题3，证明上述(5)中的猜想；问题4，图②中折线B－E－F－G－A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A、B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米，∠E＝∠F＝∠G＝90°，平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．参考答案与解析1.解：(1)①当x＞0或x≤－1时，y随x的增大而增大，当－1＜x≤0时，y随x的增大而减小(答案不唯一，符合题意即可)；②不一定；(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－1，4)，B(4，－1)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝4,4k＋b＝－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3)).∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.①当n＝3时，如解图，设AB交y轴于点E，连接OA，OB，直线l的解析式为y＝－x＋3－3＝－x，直线l过原点O，∵l∥AB，∴S△PAB＝S△ABO＝S△AEO＋S△BEO＝eq\f(1,2)×3×1＋eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(15,2)；第1题解图②S△PAB＝eq\f(5,2)n.【解法提示】∵AB＝eq\r(（－1－4）2＋（4＋1）2)＝5eq\r(2)，P到AB的距离h＝eq\f(\r(2),2)n，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×5eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)n＝eq\f(5,2)n.2.(1)a＝2，b＝－eq\f(8,5)，画出函数图象如解图①；第2题解图①【解法提示】把x＝－2，y＝a代入y＝－eq\f(8x,x2＋4)中，得a＝－eq\f(－16,4＋4)＝2；把x＝1，y＝b代入y＝－eq\f(8x,x2＋4)中，得b＝－eq\f(8,1＋4)＝－eq\f(8,5).(2)②③；【解法提示】①由函数图象可知，当－2≤x≤2时，函数图象关于原点对称，不关于直线y＝x对称，此命题错误；②由函数图象可知，当x＝2时，函数有最小值，最小值为－2，此命题正确；③由函数图象可知，当－1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，此命题正确．(3)x＜－2或0＜x＜2.【解法提示】如解图②，当x＜－2或0＜x＜2时，函数y＝eq\f(8x,x2＋4)的图象在直线y＝x的上方，∴不等式eq\f(8x,x2＋4)＞x的解集是x＜－2或0＜x＜2.第2题解图②3.解：(1)3.20；(2)如解图①，即为所求作的图象；第3题解图①(3)不断减小；(4)1.67(1.50＜AM＜1.80均可).【解法提示】如解图②，作函数y＝2x的图象与原函数图象交点的横坐标即为所求．第3题解图②4.解：(1)由题意得，AB＝AD＝1，∴点A的坐标是(4，1)，∴k＝4×1＝4；(2)①设点A坐标为(x，eq\f(4,x))，∴点D的横坐标为z＝x－eq\f(4,x).∴这个“Z函数”表达式为z＝x－eq\f(4,x)；②画出的图象如解图：第4题解图性质如下(答案不唯一)：(a)函数的图象是由两个分支组成的曲线．(b)函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．(c)当x>0时，函数值z随自变量x的增大而增大；当x<0时，函数值z随自变量x的增大而增大．③第一种情况，当过点(3，2)的直线与x轴垂直时，x＝3.第二种情况，当过点(3，2)的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为z′＝mx＋b(m≠0).∴2＝3m＋b，即b＝－3m＋2，∴z′＝mx－3m＋2.由题意得，x－eq\f(4,x)＝mx－3m＋2，∴x2－4＝mx2－3mx＋2x，∴(m－1)x2＋(2－3m)x＋4＝0.(a)当m＝1时，－x＋4＝0，解得x＝4；(b)当m≠1时，b2－4ac＝(2－3m)2－4(m－1)×4＝9m2－28m＋20＝0，解得m1＝2，m2＝eq\f(10,9)；当m1＝2时，x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2；当m2＝eq\f(10,9)时，eq\f(1,9)x2－eq\f(4,3)x＋4＝0，解得x1＝x2＝6；综上所述，所求交点的横坐标为2，3，4，6.5.解：(1)3.00；(2.9至3.1都可以)(2)函数y2的图象如解图①；第5题解图①当0＜x＜a时，y1＜y2；当x＝a时，y1＝y2；当x＞a时，y1＞y2；(a的准确值为2，取1.9至2.1也给分)(3)如解图②，连接OD，作EH⊥AB于点H，∵DC⊥AB，AC＝2，OC＝1，OD＝3.∴CD＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).设OH＝m，则CH＝1＋m，EH＝eq\r(32－m2)＝eq\r(9－m2)，∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ECO，又∵∠DCA＝∠EHC＝90°，∴△DAC∽△ECH，∴eq\f(DC,AC)＝eq\f(EH,CH)，∴eq\f(2\r(2),2)＝eq\f(\r(9－m2),1＋m)，∴m＝1或m＝－eq\f(7,3)(舍去).∴HC＝2，EH＝2eq\r(2).∴EC＝eq\r(CH2＋EH2)＝2eq\r(3).又∵HB＝2，∴EB＝EC＝2eq\r(3).第5题解图【一题多解】如解图③，连接BD交CE于点H，作OF⊥CE于点F，∵AC＝2，AB＝6，∴BC＝4，OC＝1，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝∠ACD＝90°，易得△ACD∽△DCB，则eq\f(AC,CD)＝eq\f(DC,CB)，即eq\f(2,DC)＝eq\f(CD,4)，∴CD＝2eq\r(2)，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝2eq\r(3).∵AD∥CE，易得△ACD∽△CFO，BD⊥CE.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(CF,CO)，OF＝eq\r(OC2－CF2)，∴OF＝eq\f(\r(6),3)，CF＝eq\f(\r(3),3).又∵OE＝3，∴EF＝eq\r(OE2－OF2)＝eq\f(5\r(3),3)，∴CE＝CF＋EF＝2eq\r(3).∵∠HCB＝∠FCO，∠CFO＝∠CHB＝90°，易得△COF∽△CBH.∵eq\f(OC,BC)＝eq\f(CF,CH)＝eq\f(OF,BH)＝eq\f(1,1＋3)＝eq\f(1,4)，∴CH＝4CF＝eq\f(4\r(3),3)，BH＝4OF＝eq\f(4\r(6),3)，∴EH＝CE－CH＝eq\f(2\r(3),3)，∴BE＝eq\r(EH2＋BH2)＝2eq\r(3)，∴BE＝CE.6.解：问题1：由题意描点、连线画函数图象如解图①；第6题解图①问题2：(3)2；【解法提示】观察图象可知，x＝2时，y最大。(4)eq\r(2)a；问题3：证明：设BC＝x，AC＋BC＝y，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(4a2－x2)，∴y＝x＋eq\r(4a2－x2)，∴y－x＝eq\r(4a2－x2)，整理得：y2－2xy＋x2＝4a2－x2，即2x2－2xy＋y2－4a2＝0.∵关于x的一元二次方程有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4y2－4×2·(y2－4a2)≥0，∴y2≤8a2，∵y>0，a>0，∴y≤2eq\r(2)a，当y＝2eq\r(2)a时，2x2－4eq\r(2)ax＋4a2＝0，解得x1＝x2＝eq\r(2)a，∴当BC＝eq\r(2)a时，AC＋BC有最大值．问题4：如解图②，延长AM交EF的延长线于点C，过点A作AH⊥EF于点H，过点B作BK⊥GF于点K，BK交AH于点Q.第6题解图②在△BNE