2024中考数学全国真题分类卷 第十八讲 矩形、菱形、正方形 (含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第十八讲矩形、菱形、正方形命题点1矩形的相关证明与计算1.(2023陕西)在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是()A.AB＝ACB.AC⊥BDC.AB＝ADD.AC＝BD2.(2023邵阳)已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为________cm2.3.(2023十堰)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝________°.第3题图4.(2023吉林省卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝eq\f(1,4)AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝________．第4题图5.(2022绍兴)图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上，若AB＝30cm，则BC长为________cm(结果保留根号).第5题图6.(2023黔东南州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是________．第6题图7.(2023青海省卷)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为________．第7题图8.(2023甘肃省卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为________cm.第8题图9.(2023宜昌)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为________．第9题图10.(2022贵港)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E.连接CE，若tan∠ADB＝eq\f(1,2)，则tan∠DEC的值是________．第10题图11.(2023苏州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．第11题图12.(2022金华)已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2.(1)求矩形对角线的长；(2)过O作OE⊥AD于点E，连接BE.记∠ABE＝α，求tanα的值．第12题图13.(2023云南)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.第13题图源自北师九上P19第3题14.(挑战题)(2023自贡)如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性).(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB.我们还可以得到FC＝________，EF＝________；(2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；(3)已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．第14题图命题点2菱形的相关证明与计算15.(2023河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是()第15题图A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠DAC＝∠BAC16.(2023河南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为()第16题图A.6B.12C.24D.4817.(2023自贡)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()第17题图A.(5，－2)B.(2，－5)C.(2，5)D.(－2，－5)18.(2022绍兴)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC→CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是()第18题图A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形19.(2023仙桃)由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝()第19题图A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)20.(2023株洲)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是()第20题图A.OB＝eq\f(1,2)CEB.△ACE是直角三角形C.BC＝eq\f(1,2)AED.BE＝CE21.(2023海南)如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF∶CE＝1∶2，EF＝eq\r(7)，则菱形ABCD的边长是()第21题图A.3B.4C.5D.eq\f(4\r(7),5)22.(新趋势)·条件开放性问题(2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是________________．(只需写出一个条件即可)第22题图23.(2023乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8cm和6cm，则菱形的面积为________cm2.24.(2023温州)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为________．第24题图25.(2023陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7.若M，N分别是边AD，BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E，F，则ME＋NF的值为________．第25题图26.(2023天津)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于________．第26题图27.(新趋势)·注重学习过程(2023嘉兴)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．eq\x(\a\al(小洁：,这个题目还缺少条件，需,要补充一个条件才能证明．))若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．第27题图28.(2023北京)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．第28题图29.(2023连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC.(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值．第29题图30.(2023娄底)如图①，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG(点C，D，F共线)，动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G＝θ.(1)求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值；(2)如图②，当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．第30题图31.(2023宜昌)已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．(1)如图①，连接CE，CF.CE⊥AB，CF⊥AD.①求证：CE＝CF；②若AE＝2，求CE的长；(2)如图②，连接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长．第31题图命题点3正方形的相关证明与计算32.(2023玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等33.(2023重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为()A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°第33题图34.(2023滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O(如图①)，如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F(如图②)，连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是()第34题图A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线35.(2022仙桃)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG.下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个第35题图36.(2023绍兴)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()第36题图A.1B.2C.3D.437.(新趋势)·数学文化(2023江西)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为________．第37题图38.(2020天水)如图所示，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为________．第38题图39.(2023无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝________．第39题图40.(2023海南)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝________°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是________．第40题图41.(2023泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为________．第41题图42.(2023山西)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N.若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为________．第42题图43.(2023安徽)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：(1)∠FDG＝________°；(2)若DE＝1，DF＝2eq\r(2)，则MN＝________．第43题图44.(2023邵阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．第44题图45.(2023遵义)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．(1)求证：△ADE≌△CDG；(2)若AE＝BE＝2，求BF的长．第45题图46.(挑战题)(2023台州)图①中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图②，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝eq\f(4,5)AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝eq\f(4,5)A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．第46题图(1)求证：四边形A1B1C1D1是正方形；(2)求eq\f(A1B1,AB)的值；(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．参考答案与解析1.D2.48【解析】∵矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，由勾股定理可得矩形的另一边长为8cm，∴矩形的面积为6×8＝48(cm2).3.1104.eq\f(5,2)【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2AO＝2OD＝10，∴OD＝eq\f(1,2)AC＝5，∵AF＝eq\f(1,4)AC，∴AF＝eq\f(1,2)OA，∵E是AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(5,2).5.30eq\r(3)【解析】∵钟表数字2和数字3之间的夹角为eq\f(360°,12)＝30°且钟表数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，AB＝30cm，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BC＝AD＝eq\f(AB,tan∠ADB)＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\f(30,\f(\r(3),3))＝30eq\r(3)(cm).6.20【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝eq\f(1,2)BD＝5，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形CODE是平行四边形，∵OC＝OD＝5，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为4OC＝4×5＝20.7.6【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO,OA＝OC,∠AOE＝∠COF))，∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴S△AEO＝S△CFO，∴阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积的一半，∵矩形面积为AB·BC＝3×4＝12，∴阴影部分的面积为eq\f(1,2)×12＝6.8.eq\r(13)【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB－AE＝6－2＝4cm，∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝eq\f(1,2)EF，∴∠BEG＝∠ABD，∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴eq\f(EB,DC)＝eq\f(BF,CB)，∴eq\f(4,6)＝eq\f(BF,9)，∴BF＝6，∴EF＝eq\r(BE2＋BF2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)，∴BG＝eq\f(1,2)EF＝eq\r(13)cm.9.48【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°.∵F，G为BE，CE中点，∴在Rt△ABE中，AF＝BF＝EF＝eq\f(1,2)BE，在Rt△CDE中，DG＝CG＝EG＝eq\f(1,2)CE，∴BE＝6，CE＝8，∵EF＝3，EG＝4，FG＝5，EF2＋EG2＝FG2，∴△EFG为直角三角形，∠FEG＝90°，∴S矩形ABCD＝2S△BEC＝2×eq\f(1,2)BE·CE＝48.10.eq\f(2,3)【解析】如解图，过点C作CF⊥BD于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE与△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠CFD,∠ABE＝∠CDF,AB＝CD))，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝DF.∵AE⊥BD，tan∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(1,2)，∴设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝eq\r(5)a，∵S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝eq\f(1,2)AB·AD，∴AE＝CF＝eq\f(2\r(5),5)a，∴BE＝DF＝eq\r(AB2－AE2)＝eq\r(a2－（\f(2\r(5),5)a）2)＝eq\f(\r(5),5)a，∴EF＝BD－2BE＝eq\r(5)a－2×eq\f(\r(5),5)a＝eq\f(3\r(5),5)a，∵CF⊥BD，∴tan∠DEC＝eq\f(CF,EF)＝eq\f(2,3).第10题解图11.(1)证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，在△DAF和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFA＝∠EFC,∠D＝∠E,DA＝EC))，∴△DAF≌△ECF(AAS)；(2)解：∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF＝∠ECF＝40°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.∴∠EAB＝∠DAB－∠DAF＝90°－40°＝50°.∵由折叠的性质得∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝25°.12.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，OB＝OD＝eq\f(1,2)BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝2，∴AC＝BD＝2OB＝4；(2)∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴AD＝eq\r(BD2－AB2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3).由(1)得，OA＝OD.又∵OE⊥AD，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3)，在Rt△ABE中，tanα＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(3),2).13.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥DF，∴∠DFE＝∠ABE.∵E为线段AD的中点，∴DE＝AE.在△DFE和△ABE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFE＝∠ABE,∠DEF＝∠AEB,DE＝AE))，∴△DFE≌△ABE(AAS)，∴DF＝AB.又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．∵∠BDF＝90°，∴平行四边形ABDF是矩形；(2)解：∵四边形ABDF是矩形，∴∠ABD＝90°，AF＝BD，AB＝DF.∵AD＝5，DF＝3，∴在Rt△ADF中，AF＝eq\r(AD2－DF2)＝eq\r(52－32)＝4，∴AF＝BD＝4，AB＝DF＝3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝90°.∴S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝DF·BD＋eq\f(1,2)CD·BD＝3×4＋eq\f(1,2)×3×4＝12＋6＝18.14.(1)解：DC，AD；(2)证明：∵EF＝AD，AD＝BC，∴EF＝BC，同理可得FC＝EB，∴四边形EFCB为平行四边形，∴EF∥BC，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD；(3)解：如解图，过点E作EG⊥BC交BC延长线于点G，EG即为EF与BC之间的距离，由题意可得，HC＝40cm，BC＝30cm，BE＝DC＝80cm，第14题解图在Rt△HBC中，HB＝eq\r(HC2＋BC2)＝eq\r(402＋302)＝50cm，∵HC∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴eq\f(HC,EG)＝eq\f(BH,BE)，即eq\f(40,EG)＝eq\f(50,80)，解得EG＝64cm，∴EF与BC之间的距离为64cm.15.C16.C17.B【解析】菱形为中心对称图形，对角线的交点即为对称中心，∵A点坐标为(－2，5)，∴相应的C点坐标为(2，－5).18.C【解析】由∠B＝60°知，菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当点P在CD上且位于CD的中垂线时，则△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形．19.C【解析】如解图，由题意可得，∠BDC＝60°，BD＝CD＝AC，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD，∠BCD＝60°，∴AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠BAC＝∠ABC＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).第19题解图20.D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∵AO＝CO＝eq\f(1,2)AC，AC⊥BD，∵CE∥BD，∴△AOB∽△ACE，∠AOB＝∠ACE＝90°，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(OB,CE)＝eq\f(AB,AE)＝eq\f(1,2)，∴△ACE是直角三角形，OB＝eq\f(1,2)CE，∴BC＝eq\f(1,2)AE，故选D.21.B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，DC＝BC，∠A＝∠C，设BF＝x，则CE＝2x，∵点E是CD的中点，∴CD＝AB＝AD＝4x，如解图，过点D作DH⊥AB于点H，∵EF⊥AB，∴四边形DEFH为矩形，∴EF＝DH＝eq\r(7)，HF＝DE＝2x，∴AH＝3x，在Rt△ADH中，AD2＝AH2＋DH2，即(4x)2＝(3x)2＋(eq\r(7))2，解得x＝1(负值已舍去)，∴AD＝4x＝4.第21题解图22.AB＝CD(答案不唯一)【解析】由题中条件AC⊥BD可知，只需四边形ABCD为平行四边形即可，又AB∥CD，故添加AB＝CD(答案不唯一).23.24【解析】S＝eq\f(1,2)×8×6＝24(cm2).24.eq\f(\r(3),2)【解析】如解图，连接BD，交AC于O，连接EF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴AE＝CF，∴EF∥AC，由题意知，四边形AEFM，EFCN均为平行四边形，∴EF＝AM＝CN，∵EF∥AC，∴△BFE∽△BCA，∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,BA)，∵AE＝3BE，AB＝1，∴AB＝4BE，∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,BA)＝eq\f(1,4)，∴AM＝CN＝eq\f(1,4)AC，∴MN＝eq\f(1,2)AC＝OA，∵∠BAD＝60°，AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD＝eq\f(1,2)，∴OA＝eq\r(AD2－OD2)＝eq\r(12－（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(3),2)，∴MN＝eq\f(\r(3),2).第24题解图25.eq\f(\r(15),2)【解析】如解图①，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(7,2)，CD＝4，∴OC＝OA＝eq\r(42－（\f(7,2)）2)＝eq\f(\r(15),2)，设AM＝BN＝a，则DM＝4－a，∵ME⊥BD，NF⊥BD，∴△DME∽△DAO，△BNF∽△BCO，∴eq\f(ME,OA)＝eq\f(DM,DA)＝eq\f(4－a,4)，eq\f(NF,OC)＝eq\f(BN,BC)＝eq\f(a,4)，∴eq\f(ME,OA)＋eq\f(NF,OC)＝eq\f(4－a,4)＋eq\f(a,4)＝1，∴ME＋NF＝OA＝eq\f(\r(15),2).第25题解图①【一题多解】如解图②，连接AC交BD于点O，过点M作MG⊥AC于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(7,2)，CD＝4，∴OC＝OA＝eq\r(42－（\f(7,2)）2)＝eq\f(\r(15),2)，∵AC⊥BD，ME⊥BD，∴∠AMG＝∠ADO＝∠CBO，ME＝GO，又∵AM＝BN，NF⊥BD，∴△AMG≌△NBF，∴NF＝AG，∴ME＋NF＝GO＋AG＝AO＝eq\f(\r(15),2).第25题解图②26.eq\f(\r(19),4)【解析】如解图，过点F作FM⊥DE于点M，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2.∵E为AB的中点，∠DAB＝60°，∴AE＝1，∠AED＝90°，由勾股定理，得DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(3).∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝120°，∠CDE＝90°.∵FM⊥DE，F为CE的中点，∴M为DE的中点，即FM∥CD，FM＝eq\f(1,2)CD＝1，ME＝DM＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(\r(3),2)，∴FM∥AB，FM＝AE，∴∠EAG＝∠MFG，∵∠AGE＝∠FGM，∴△AEG≌△FMG(AAS)，∴EG＝MG＝eq\f(1,2)ME＝eq\f(\r(3),4)，又∵FM∥CD，∴∠FMG＝∠CDE＝90°，在Rt△FMG中，由勾股定理，得FG＝eq\r(MG2＋FM2)＝eq\r(（\f(\r(3),4)）2＋12)＝eq\f(\r(19),4).第26题解图27.解：赞成小洁的说法，补充：AB＝CB.证明：由小惠证法得：AB＝AD，CB＝CD，又∵AB＝CB，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．28.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO.又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF，∴四边形EBFD为平行四边形；(2)∵∠BAC＝∠DAC，DO＝BO，∴AO⊥BD.由(1)得四边形EBFD为平行四边形，∴四边形EBFD是菱形．29.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵DE＝AD，∴DE＝BC.又∵点E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵BE⊥DC，∴四边形DBCE为菱形；(2)解：如解图，由菱形对称性得，点N关于BE的对称点N′在DE上，第29题解图∴PM＋PN＝PM＋PN′.当P，M，N′三点共线时，PM＋PN＝PM＋PN′＝MN′.过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵DE∥BC，∴MN′的最小值即为平行线间的距离DH的长．∵△DBC是边长为2的等边三角形，∴在Rt△DBH中，∠DBH＝60°，DB＝2，∴DH＝DB·sin∠DBH＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴PM＋PN的最小值为eq\r(3).30.解：(1)①∵四边形BCDE和四边形BCFG都是菱形，∴BE＝BC＝CF，CF∥GE，∴∠OCF＝∠OBE，∵∠COF＝∠BOE，∴△COF≌△BOE(AAS)，∴OC＝OB，OF＝OE，∴无论θ为何值，EF与BC相互平分；②θ＝60°；【解法提示】∵OC＝OB，∴OB＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)BE，∵EF⊥BC.∴∠BOE＝90°，∴∠OEB＝30°，∴∠OBE＝60°，∵GF∥BC，∴∠G＝∠OBE＝60°，即当θ＝60°时，EF⊥BC.(2)tan∠ABC＝2，理由如下：由(1)知BC＝BE＝2OB，当θ＝90°时，则四边形BCDE和四边形BCFG都是正方形，∴∠OBE＝90°，∴tan∠BOE＝eq\f(BE,OB)＝2，∵BC为动点A所在圆弧对应圆的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF垂直平分AC，∴EF∥AB，∴∠ABC＝∠BOE，∴tan∠ABC＝tan∠BOE＝2.∴当θ＝90°时，tan∠ABC＝2，使得EF垂直平分AC.31.(1)①证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝DC，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴CE＝CF；②解：∵E是边AB的中点，AE＝2，∴BE＝AE＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝BA＝4.∵CE⊥AB，∴在Rt△BEC中，CE＝eq\r(BC2－BE2)＝2eq\r(3)；(2)解：如解图①，延长FE交CB的延长线于点M，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM.∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴EM＝EF，BM＝AF.∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴EM＝4，BM＝2，BE＝3，∴BC＝AB＝2AE＝6，∴CM＝8，∴eq\f(BM,EM)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，eq\f(EM,CM)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BM,EM)＝eq\f(EM,CM)，∵∠BME＝∠EMC，∴△MEB∽△MCE，∴eq\f(BE,EC)＝eq\f(BM,EM)＝eq\f(1,2)，∵BE＝3，∴CE＝6.注：延长CE交DA的延长线于点N，方法类似．第31题解图①【一题多解】如解图②，延长FE交CB的延长线于点M，过点E作EN⊥BC于点N.∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴EM＝EF，BM＝AF.∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴EM＝4，BM＝2，BE＝3，∴BC＝AB＝2AE＝6，∴CM＝8.∵在Rt△MEN和Rt△BEN中，EM2－MN2＝EN2，BE2－BN2＝EN2，∴EM2－MN2＝BE2－BN2，∴42－(2＋BN)2＝32－BN2，解得BN＝eq\f(3,4)，则CN＝6－eq\f(3,4)＝eq\f(21,4)，∴EN2＝BE2－BN2＝32－(eq\f(3,4))2＝eq\f(135,16)，∴在Rt△ENC中，CE2＝EN2＋CN2＝eq\f(135,16)＋eq\f(441,16)＝36，∴CE＝6(负值已舍去).第31题解图②32.D【解析】如解图，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝eq\f(1,2)AC，FG＝eq\f(1,2)BD，∴四边形EFGH为平行四边形．要使其为正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，则AC⊥BD，AC＝BD，即对角线一定互相垂直且相等．第32题解图33.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，AB＝AD，又∵BE＝AF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ADF＝∠BAE.∵AE平分∠BAC，∴∠ADF＝∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°－22.5°＝67.5°.34.A【解析】如解图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系xBy，设正方形ABCD的边长为1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB.∵∠AOB＝∠EOF＝90°，∴∠AOB－∠EOB＝∠EOF－∠EOB，即∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴AE＝BF.设AE＝BF＝a，则F(a，0)，E(0，1－a).∵点G是EF的中点，∴G(eq\f(1,2)a，eq\f(1,2)－eq\f(1,2)a)，∴点G在直线y＝－x＋eq\f(1,2)上运动，又∵点E，F分别在线段AB，BC上，∴点G的运动轨迹是线段．第34题解图35.C【解析】①如解图，过点E分别作EM⊥CD于点M，EN⊥AD于点N，由题意得，EN＝EF＝BG，EM＝EG＝ND，在Rt△DEN和Rt△GFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EN＝EF,∠END＝∠FEG,ND＝EG))，∴Rt△DEN≌Rt△GFE(SAS)，∴DE＝FG，故结论①正确；②如解图，延长DE交FG于点P，由Rt△DEN≌Rt△GFE可得∠NDE＝∠EGF，∵∠PEG＝∠DEN，∴∠DPG＝∠DNE＝90°，∴DE⊥FG，故结论②正确；③在Rt△DEN和Rt△FGB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝FG,NE＝BG))，∴Rt△DEN≌Rt△FGB(HL)，∴∠BFG＝∠ADE，故结论③正确；④当点E为对角线AC，BD的交点时，FG取得最小值，最小值为2eq\r(2)，故结论④错误．综上所述，正确的结论为①②③，共3个．第35题解图36.C【解析】∵对角线互相平分的四边形为平行四边形，∴当MN的连线过BD的中点O时，∵BE＝DF，∴BD的中点也是EF的中点，同时平分MN，∴存在无数个平行四边形MENF，说法①正确；当MN过点O时，四边形MENF为平行四边形，当EF＝MN时，四边形MENF为矩形，∴存在无数个矩形MENF，当MN过点O且垂直于BD时，四边形MENF恒定为菱形，∴存在无数个菱形MENF，∴说法②③正确；当MN过点O且垂直于BD时，若MN＝EF，则四边形MENF为正方形，∵此时MN的长度恒定，∴EF的长度恒定，此时只存在一个正方形MENF，说法④错误．37.eq\r(5)【解析】由题图可知①②是两个全等的等腰直角三角形，∵拼成的正方形的对角线长为2，∴①②两个等腰直角三角形的直角边的长度为1，∴结合题图可知拼成的长方形的长为2，宽为1，∴其对角线的长为eq\r(22＋12)＝eq\r(5).38.(－1，5)【解析】如解图，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点E分别作EM⊥x轴于点M，作EN⊥FQ于点N，∴四边形NQME是矩形，∴NQ＝EM＝3，∠NEM＝90°.∵∠FEN＋∠NEO＝90°，∠NEO＋∠OEM＝90°，∴∠FEN＝∠OEM.∵EF＝EO，∠FNE＝∠EMO，∴△EFN≌△EOM，∴EN＝EM＝3，FN＝OM＝2，∴FQ＝FN＋NQ＝5，QO＝EN－OM＝1.∵F在第二象限，∴F(－1，5).第38题解图39.1【解析】如解图，连接AG，EG，∵正方形ABCD的边长为8，∴AB＝BC＝CD＝8，∠B＝∠C＝90°，∵E是CD的中点，∴CE＝4.设BG＝x，则CG＝8－x，在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2，即AG2＝82＋x2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2＋CG2，即EG2＝42＋(8－x)2.∵HG垂直平分AE，∴AG＝EG，∴AG2＝EG2，∴82＋x2＝42＋(8－x)2，解得x＝1，即BG＝1.第39题解图40.60，eq\r(3)【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE＝∠DAF＝eq\f(1,2)×(90°－30°)＝30°，∴∠AEB＝∠AFD＝60°，∴BE＝eq\f(1,2)AE，如解图，过点E作EG⊥AF于点G，∵∠BAE＝∠GAE，∴BE＝GE.∵S△AEF＝eq\f(1,2)AF·EG＝eq\f(1,2)×2BE·BE＝1，∴BE＝1(负值已舍去)，∴AB＝eq\r(3)BE＝eq\r(3).第40题解图41.2【解析】如解图，连接AP，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝3，根据折叠的性质，得AF＝AB＝6，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AF＝AD，在Rt△APF和Rt△APD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝AD,AP＝AP))，∴Rt△APF≌Rt△APD(HL)，∴DP＝FP.设DP＝FP＝x，则EP＝x＋3，CP＝6－x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得CE2＋CP2＝EP2，即32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴DP＝2.第41题解图42.4eq\r(34)【解析】∵AN⊥EF，四边形ABCD为正方形，∴∠AMF＝∠ADF＝90°，∴∠DAN＋∠AGM＝∠FGD＋∠GFD＝90°，∵∠AGM＝∠FGD，∴∠DAN＝∠GFD，设DN＝x，∵BE＝DF＝5，CN＝8，∴AD＝BC＝CD＝DN＋CN＝x＋8，EC＝BC－BE＝x＋8－5＝x＋3，CF＝CD＋DF＝x＋8＋5＝x＋13，在Rt△FEC中，tan∠GFD＝eq\f(EC,CF)＝eq\f(x＋3,x＋13)，在Rt△ADN中，tan∠DAN＝eq\f(DN,AD)＝eq\f(x,x＋8)，∵∠DAN＝∠GFD，∴tan∠GFD＝tan∠DAN，即eq\f(x＋3,x＋13)＝eq\f(x,x＋8)，解得x＝12，在Rt△AND中，∠ADN＝90°，AD＝x＋8＝12＋8＝20，DN＝x＝12，则AN＝eq\r(AD2＋DN2)＝4eq\r(34).【一题多解】如解图，过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝BC＝GH，∠ADC＝∠AGH＝∠GHE＝90°，∴∠AGM＋∠EGH＝90°，∵AN⊥EF，∴∠NAD＋∠AGM＝90°，∴∠EGH＝∠NAD，在△GHE和△ADN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GHE＝∠ADN，,GH＝AD，,∠EGH＝∠NAD，))∴△GHE≌△ADN(ASA)，∴HE＝DN.设DN＝x，则HE＝x，AD＝BC＝CD＝x＋8，CH＝GD＝BC－BE－EH＝3，CF＝CD＋DF＝x＋13，CE＝x＋3，∵tanF＝eq\f(GD,DF)＝eq\f(EC,CF)，∴eq\f(3,5)＝eq\f(x＋3,x＋13)，解得x＝12，∴DN＝12，AD＝20，∴在Rt△ADN中，AN＝eq\r(202＋122)＝4eq\r(34).第42题解图43.(1)45；(2)eq\f(26,15)【解析】(1)∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE＝FE，∠BEF＝90°，∵FG⊥AG，∴∠G＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，∴∠A＝∠G，∵∠AEB＋∠GEF＝∠GEF＋∠GFE＝90°，∴∠AEB＝∠GFE，∴△AEB≌△GFE(AAS)，∴AE＝GF，AB＝EG，又∵AD＝AB，∴EG＝AD，∴DG＝AE，∴DG＝GF，∴∠FDG＝45°；(2)如解图①，过点F作FO⊥CD于点O，则四边形DGFO为正方形，又∵DE＝1，DF＝2eq\r(2)，∴FO＝2，AD＝AE＋DE＝GF＋DE＝3，∴DC＝AD＝BC＝AB＝EG＝3，OD＝OF＝2，∴OC＝DC－DO＝1，∵FO∥AG，∴△EDM∽△FOM，∴eq\f(DM,OM)＝eq\f(DE,OF)＝eq\f(1,2)，∴DM＝eq\f(2,3)，∴OM＝eq\f(4,3)，∵FO∥BC，∴△OFN∽△CBN，∴eq\f(ON,CN)＝eq\f(OF,CB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(ON,OC)＝eq\f(ON,ON＋CN)＝eq\f(2,5)，∴ON＝eq\f(2,5)，∴MN＝OM＋ON＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,5)＝eq\f(26,15).第43题解图①第43题解图②【一题多解】解法一：如解图②，延长BC交GF的延长线于点H，∵DE＝1，DF＝2eq\r(2)，∠FDG＝45°，∴DG＝FG＝2，∴AE＝DG＝2，∴AD＝AE＋DE＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝3，∵DC∥GH，∠CDG＝∠DGH＝∠DCH＝90°，∴四边形DCHG为矩形，∴CH＝DG＝2，FH＝GH－GF＝DC－GF＝1，∴△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF，∴eq\f(ED,EG)＝eq\f(DM,GF)，eq\f(BC,BH)＝eq\f(NC,FH)，即eq\f(1,3)＝eq\f(DM,2)，eq\f(3,5)＝eq\f(NC,1)，∴DM＝eq\f(2,3)，NC＝eq\f(3,5)，∴MN＝DC－DM－NC＝3－eq\f(2,3)－eq\f(3,5)＝eq\f(26,15).解法二：由(1)得AE＝GF，AB＝GE，∵DE＝1，DF＝2eq\r(2)，∠FDG＝45°，∴AE＝GF＝2，∴AB＝AD＝GE＝3，如解图③，以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，∴B(－3，－3)，F(2，－2)，E(－1，0)，设直线BF的解析式为y1＝k1x