2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 71 复数的概念 教案

课题：数系的扩充和复数的概念及几何意义

1.在问题情境中,了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾，在数系

的扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

教学目标

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.

3了解复数的代数表示

1.理解复数的概念及复数相等的充要条件.

教学重点

2.了解复数的代数表示

1.理解复数相等的充要条件.

教学难点

2.理解复数的概念及数系的扩充过程.

高考考点

课型新授课教具

教法诱思探究

教学过程

教学环节教师活动预设学生活动预设

新课引入问题1.昨天新冠状病毒肺炎确诊病例达到40239(14:00),新学生回答

增病例有3073人，昨天钟南山院士发表的一篇文章中称根据

最新的数据病毒致死率约为1.4%。那么同学们通过上面一段

话，得到了哪些信息？

答：确诊人数，新增人数，可以进一步的通过运算算出增长

率，以及病毒致死率。希望同学们在家里也要注意个人卫生，

少出门，不出门，做好每天的学习。

问题2.数应用于生活的方方面面，那么咱们这些数在生活中

又是如何产生和发展的呢？

诱思探究数学的生活中的发展过程,远古时期人们为了统计捕获的猎物

引导学生和采集的野果等用手指、石子或刻痕数个数，从而创造了自

思考理解然数1,2,3,……，后来人们把表示无的0也归入自然数，形

数的扩充成了自然数集。大约在四千年前，在公平分配物质的时候，

过程.人们发现自然数不够用.于是产生了分数.两千年前中国人发

现,具有相反意义的两种量，例如收入与支出，上升与下降,入

库与出库等等,可以用相反数表示,从此数的研究进入了有理

数的范畴.后来为了表示边长为1的正方形的对角线的长度为

多少，我们进一步把数的范围扩展到无理数,此时有理数和无

生活中的理数构成了我们目前为止所研究的数的最大范围实数.

数学数的扩展是我们生活的实际需要，也是数学自身发展所要求

的.

请大家自己3性看一下这个表格中的问题：

方程在该集合为了求出该方程的解我们

内有解吗？要把数集扩展到_____?

N无Z

Z无Q

数学发展

Q无R

的需要

R无

我们为了解决方程的解的问题,数学家欧拉在1777年首次提

出了用平方表示-1.

这样一来就产生了一个新的数,规定:•即的平方根为.

那么我们解出来两个方程的根应该分别为:和.

那好我们给出的方程（）如果的解为:x=a±二也

2a2a

所以我们可以看出所有这种方程的根可以表示成一种统一的

形式:的形式，由此人们从实数集扩展到了复数集.

从此人们实现了数学上的一个理想让一个一元次方程在复数

范围内恰有个根.

好那么这就是咱们这节课所学习的第一个内容,认识数系的扩

充过程，感受数系的扩充在数学中的作用同时也开启了我们这

节课所要研究的内容.

1.我们把集合C={a+Ma力eR}中的数，即形如:的数叫做

复数，其中叫做虚数单位，全体复数所组成的集合称为复数集.

2.复数的表示形式：

复数的代数表示形式:，其中和分别叫做复数的实部和虚部.

3.复数的分类

对于复数z=a+bi,{a,bGR）可以分类如下：

‘实数0。=0

z<

虚数ob*0（特别的当a=0z/w0时,Z为纯虚数）

填写下图表示现在所学数集以及纯虚数集之间的关系：

学生自学

明确思考

方式复数

问题实数

化.

4.复数相等的充要条件

两个不全为实数的复数只能说相等与不相等，不能比较大小.

复数Z1=a+hi,z2-c+di(a,h,c,deR),

Z]=z2=a=c,b=d.

【当堂训练】学生回答上黑

1.说出下列复数的实部和虚部并指出下列各数中那些是实数，板板演

那些是虚数，那些是纯虚数.

-2+-i,x/2+i,—，-瓜z,O,z(l-73),i2

32

实数：、一,0,『=一1

2

虚数:-2+V2+i,z,z(l-V3),

纯虚数：

易错；或与

2.如果(x+y)+(y—l)i=(2x+3y)+(2y+l))求实数的值.

且

,fx+y=2x+3y_fx=4

解：《，，解得

」-l=2y+l[y=-2

3.实数取什么值时，复数z=(m+1)+(/«-1)/是⑴实数⑵虚

数(3)纯虚数.

解:当时，即时，复数为实数.

当时，即时，复数为虚数.

当/〃—1声0,/〃+1=0时，即时，复数为纯虚数.

4.如果(>-1)+(m2-2m)z>0，求实数的值.

??z2-l＞0

解：〈2解得：

m~—Im-0

【达标测试】

1.求适合下列条件的实数的值当堂测试

⑴(3x+2y)+(5x—y)i=17—2z

'3x+2y=17x=

解:<解得

5x-y=-2[y=7

⑵(x+y—3)+(x-4)i=0

&x+y-3=0fx=4

解：＜，解得：＜

x—4=0[y=-1

2.实数取什么值时，复数(〃/-5m+6)+(加2-3〃?"是(1)实

数(2)虚数(3)纯虚数

解:当时.，即:或，此时复数为实数，

当时,即:且，此时复数为虚数，

当且时，即:时,此时复数为纯虚数.

3.已知关于的方程x2+(k+2z)x+(2+狂)=0有实根，求这个

实根以及实数的值.

解：已知关于的方程x2+(k+2z)x+(2+ki)=0有实根，设该

实根为，所以x；+%+2+i(2再+6=0,根据复数相等的条

2

x.+kx,+2=0~/口xx—±5/2

件可得：!11解得：\

2玉+Z=0k=±2\/2

4.已知4=2+(龙一2//2=(丁+3)+(炉一4»,其中均为实

数，且，求.

y+3=2fy=—1fy=—1

解：由已知可得：《二，解得或4学生自主总结

x-4=x-2x=2x=-\

小结：

1.将数扩展到了复数，明确了复数的分类.

2.学会了复数相等的判定及求解方法

3.学会了复数问题可以转化成实数方程来解决.即：复数问题课后思考

实数化.

课后思考:咱们知道实数可以用数轴上的点来表示，那么我们

现在学习了复数，复数除了上面学习的代数形式的表示之外，

如何用几何图形来表示呢?

板书设计

数系的扩充与复数的概念

N—Z—Q—R—C学生板演

复数的代数表示形式：

z=a+bi,(a,beR)

复数的分类

复数z«

复数相等的充要条件

不全为实数的两个复数不能

比较大小.

教后记

教研组长意见:

课题：复数的几何意义

1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们的对应关系；

教学目标2.理解实轴、虚轴、共轨复数等概念；

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，理解复数的集合意义.

教学重点1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们的对应关系；

2.理解实轴、虚轴、共轨复数等概念；

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，理解复数的集合意义.

教学难点1.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，理解复数的集合意义.

高考考点

课型新授课教具

教法诱思探究

教学过程

教学环节教师活动预设学生活动预设

新课引入问题1.我们知道实数可以用数轴上的点来表示，那么复数可学生回答

以用什么图形来表示呢？

那么我们来看看复数的特点：如果说一个复数那么这个复数

一定能写成z=a+4,（a,/?eR）的形式，它有两部分组成一

部分是实部，一部分是虚部乘以，我们要确定两个复数相等

必须保证实部实部相等，虚部虚部相等。因此同学们根据这

个特点可以考虑一下一个数字确定不了一个复数，因此要确

定一个复数需要实部和虚部共同确定，因此我们要想表示一

个复数那么必须要用一个点，因此我们可以用坐标平面来内

的点来表示复数。

因此我们得到：

2=4+次（。力€/?）可以和坐标平面内的点一一对应；

而坐标平面内的点也可以和以为起点的向量一一对应。

我们知道在实数内：表示点到原点的距离，我们现在给了这

样一种对应关系之后，我们来思考一下：表示什么？

\z\=\OZ\=yla2+b2

其中我们把表示复数的坐标平面叫做复平面，轴叫实轴，轴

叫做虚轴。

3

练习：1.已知复数2+i,-2+4z,-2z,4,——4i（】）在复平面

2

内画出这些复数对应的向量；（2）求出这些复数的模.

2.教材P73T4,5

拓展判断：1.实轴上点都是对应的复数都是实数；

2.纯虚数对应的点都在虚轴上

3.虚轴上的点都是纯虚数.

例2.设复数马=4+3i,22=4-3z

（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；

（2）求复数的模，并比较他们的大小。

一般地：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个

复数叫做互为共枕复数.虚部不等于0的两个共规复数也叫做

共输虚数，复数的共施复数记做，即：如果那么.

思考：

1.若是共规复数，那么对应的点有什么特点？

2.如果为实数，则什么关系？