2021一轮复习人教96双曲线作业

课时作业46双曲线

一、选择题

1.（2021年福建省宁德市高三阶段性测试）双曲线]—y2=l的一

个焦点坐标是（）

A.（一巾，0）B.（-2,0）

C.（小，0）D.（1,0）

答案：A

2.（2021年云南省曲靖市第一中学质量监测）有一类双曲线E和

2

椭圆C：^x2+2y2=l有相同的焦点，在其中有一双曲线Ei且过点

P（l,-|j,那么在E中任取一条双曲线其离心率不大于Ei的概率为

（）

解析：由椭圆方程，易知双曲线Ei中，c=l,b2=l—a2,又g一

a

9

41、

■;5=1,解得a=《，双曲线Ei的离心率为ei=2,由题意，双曲线

E的离心率为e=,，那么即\<aWl,又0<a<c=l,故所求

aaz

概率为P=],所以正确答案为A.

答案：A

x2

3.（2021年广东省汕头市高三高考模拟）双曲线彳一y2=l的焦点

到渐近线的距离为()

A.2B.y[2

C.1D.3

答案：C

4.(2021年山东省烟台市高三下学期高考诊断性测试)假设双曲线

卷一w=l(a>0,b>0)与直线y=V3x有交点，那么其离心率的取值范

围是()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(2,+°°)D.[2,+8)

解析：双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为y=—2x,只需

这条渐近线比直线y=一的斜率大，即!e=Ay1+Q>2,

选C

答案：C

5.(2021年辽宁省朝阳市高三模拟)设中心在原点、焦点在x轴

上的双曲线的焦距为12,圆(x—6)2+y2=20与该双曲线的渐近线相

切，点P在双曲线上，假设点P到焦点B的距离是9,那么点P到

F2的距离是()

A.17或113或5

C.13D.17

解析：圆(x—6)2+y2=20恰为双曲线右焦点，因为双曲线右焦点

2

到渐近线距离为b,所以b=r=2由，因此a=A/6-20=4,V|PF2|

-|PF.|=±2a,.・.|PF2|=17或1,又因为|PF2|2c-a=2,Z.|PF2|D.

答案：D

6.(2021年陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试)设点P

为双曲线条一g=l(a>0,b>0)上一点，Fi,F2分别是左右焦点，I

是△PF1F2的内心，假设△IPF”AIPF2,AJFF2的面积Si,S2,S3

满足2(S]一S2)=S3,那么双曲线的离心率为()

A.2B.小

C.4D.y/2

解析：如图1,设圆I与△PFE的三边FR、PF1、PF2分别相切

于点E,F,G,连接IE、IF、IG,

图1

那么IE_LF|F2,IF_LPF],IG±PF2,

它们分别是△IF1F2,AIPF1,△IPF2的高,

.,.Si=^|PFi|•|IF|=||PFi|r,

S2=^|PF2|•|IG|=||PF2|r,

S3=||F1F2|•|IE|=||FiF2|r,

其中r是△IFF2的内切圆的半径.

V2(SI-S2)=S3,

.,.|PFi|r-|PF2|r=1|FiF2|r,

两边约去r得：|PFI|-|PF2|=||FIF2|,

根据双曲线定义，得|PFi|-|PF2|=2a,|FIF2|=2C,

，2a=c=>离心率为e=；A.

答案：A

7.（2021年四川省外国语学校高二下学期入学考试）B,F2分别为

、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，假设翳

的最小值为8a,那么双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1,3]B.（1,何

C.[小,3]D.[3,+8）

麻=⑵+明〕2=皿

12|

肿仞,IPF2I|PF2|IPF2I^

28a.

当且仅当|PF2|=2a时取得最小值，此时|PFi|=4a.

C

易知|PF2|Nc-a,即2aec-a,解得e=;;W3.

a

又因为双曲线离心率e>l.

应选A.

答案：A

8.（2021年四川省外国语学校高二下学期入学考试）双曲线x2—y2

=1的左、右顶点分别为Ai、A*动直线1：y=kx+m与圆x?+y2=

1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P（xi，yi）,P2（x2,y2），

那么X2—X1的最小值为（）

A.2@B.2

C.4D.3^2

|m|

m2=1+k2.

解析：•门与圆相切Vl+k5,

y=kx+m,

由《，、得(1—k?)x2—2mkx—(m2+1)=0,

x2—y-=1

l-k2*0,

:.A=4m2k2+4(1—k2)(m2+1)=4(m2+1—k2)

=8>0,

m2+1

xi•X2=F^<0,

/.k2<l,：.~l<k<l,故k的取值范围为（一1,1）.

2mk

由于/.X2-XI=AJ〔X1+X2〕2-4X1X2

Xl+X2=l-k2>

_2^2_2^/2

一|l_k2|_]_k2，

22

V0^k<l,当k=0时，x2-X]取最小值2隹

答案：A

9.双曲线了一y2=l的左、右焦点分别为Fi,F2,点P在双曲线

上，且满足|PFI|+|PF2|=23,那么△PFR的面积为（）

A.yf5B.y[3

C.1

解析：不妨设|PF1|>|PF2|,那么|PFI|-|PF2|=2小，

又|PF1|+|PF2|=2^,

所以|PF1|=，^+小，|PF2|=，^一小，而|BF2|=4,

所以|PF1F+|PF2|2=|F1F2|2,即PF1JLPF2,

所以SAPF1F2=||PF1||PF2|=1.

答案：c

22

10.（2021年陕西省咸阳市高三模拟考试）双曲线C的方程为（一看

4-y

=1,那么以下说法正确的选项是（）

A.焦点在x轴上

B.虚轴长为4

C.渐近线方程为2x±3y=0

D.离心率为手

解析：利用双曲线的几何性质逐一判断得解.对于选项A,由于

双曲线的焦点在y轴上，所以选项A是错误的；对于选项3,虚轴长

为2X3=6,所以选项3是错误的；对于选项C,由于双曲线的渐近

2

线方程为y=±gx,所以选项。是正确的；对于选项，由于双曲线的

离心率为手，所以选项。是错误的.故答案为C

答案：c

11.（2021年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中）设A、

B分别为双曲线a一g=19>0,b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不

同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n,那么当芈+'任

d\imn

取最小值时，双曲线的离心率为（）

A他B聿

解析：先根据点的关系确定mn,再根据根本不等式确定最小值,

最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.

y?b2

设P(xi,yi),那么mnxi+axi-ax?—a2a2

当且仅当a=2b时取等号，此时c=/匚由=手可

..e=

答案：D

12.F,,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点,

且|PFI|>|PF2|,线段PFI的垂直平分线过F2，假设椭圆的离心率为由，

双曲线的离心率为e2,那么看+差的最小值为（）

A.6B.3

C水D.小

解析：设椭圆与双曲线的公共焦点在x轴上，可得点P在双曲线

的右支上.

令椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为球，半焦距为c,

nPF,|+|PF2|=2a,

那么«|PFi|—|PF2|=2a',

UPF2|=|FIF2|=2C

1.2a=2a'+4c,

ei2c十2a'c十2a'c十2a'十4々十4

6,当且仅当c=2a，时等号成立.选A.

答案：A

二、填空题

22

13.（2021年河北省阜城中学高二上学期期末）椭圆点+方=1与双

22

曲线^■—：=1有相同的焦点，那么a=_______.

Zd

解析：椭圆手+匕=1与双曲线^■—*-=1有相同的焦点，

4a/a

a2>4,

所以：,解得a=3.

a2—4=2+a,

故答案为：3.

答案：3

14.(2021年四川省外国语学校高二下学期入学考试)过双曲线x2

-y2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P,Q两点,

那么IFPHFQI的值为.

解析：VF(2A/2,0),k=to«105°=s〃(60°+45°)

=^1=-(2+收

Al：y=—(2+g)(x—2啦).

代入x2—y2=4得：

(6+4小)x2-4嫄(7+4小及+60+32仍=0.

一,4也〔7+4小〕

仅P(xi,yD,Q(X2,y2),xi+x2=6+4小，

60+32斓

X，•*2=6+45•

又|FP|=W+k2|x］一2啦

|FQ|=VT+^|X2-2V2|,

/.|FP|•|FQ|=(l+k2)|xi•X2—2/(XI+X2)+8|

60+32316〔7+4内

=(8+4-73)

6+4小6+4小

_4〔8+4小〕_8仍

—6+4市―3-

宏安.随

口■3

22

15.(2021年湖南师范大学附属中学高三月考)P是双曲线髭一手

1右支上一点，Fi,F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点,

点M,N满足帝=入两(X>0),PFl=J—+—,西•冲=0,

llPMII呵

假设I由i|,ON为半径的圆的面积为

&T>4_LVPM.P?2

解析：由="+,知PN是NMPF2的角平分线,

llPNll|P?2|.

又由•EN=0,故延长F2N交PM于K,

那么PN是APF2K的角平分线,

所以4PF2K是等腰三角形，|PK|=|PF2|=3,

因为|由21=3,故|谭11=11,所以|曲=14,

注意到N还是F2K的中点，

所以ON是AFiF2K的中位线，|OR|=；|同<|=7,

所以以O为圆心，ON为半径的圆的面积为49

答案：49R

16.(2021年河南省豫南九校下学期高二第二次联考)B，F2是双

曲线C：记一g=l(a>0,b>0)的两个焦点，P为双曲线C上一点，且

PFI±PF2,假设△PF1F2的面积为9,那么b=.

解析：设F],F2分别为左右焦点，点P在双曲线的右支上，

那么有|PF1|一|PF2|=2a,

2

.•.(|PFI|-|PF2|)

222

=|PFi|+|PF2|-2|PFI||PF2|=4a,

又4「尸正2为直角三角形，

2222

.,.|PFI|+|PF2|=|F,F2|=4C,

22

.•,4c-2|PFi||PF2|=4a,

又△PF1F2的面积为9,

A|PFI||PF2|=2X9=18,

.\4c2-2X18=4a2,

/.b2=c2—a2=9,Ab=3.

答案：3

三'解答题

17.(2021年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月

考)A(—5,0),B(5,0),动点P满足|丽I，||PX|,8成等差数列.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)对于x轴上的点M,假设满足|色|・|丽尸函12,那么称点M

为点P对应的“比例点"，问：对任意一个确定的点P,它总能对应

几个“比例点”？

解：(1)由得|的一|西|=8,

二.P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支，

且a=4,b=3,c=5,

x-y2

AP点的轨迹方程为之一七■=l(x24)

ioy

(2)设P(xo,yo)(xo24),M(m,0).

..嘘_如

,169-b

.,•,=9儒t)

又PA=(-5_XO,—yo),丽=(5-xo,—yo),

那么・|丽|

=yj［一5-xo〕？+〔一yo〕2yl〔5-xo〕？+〔一y()〕？

又由2=1保肝=(xo—m)2+(yo)2

25

=Y^xo_2mx()+m2-9,

由I^H通尸由2得m2-2mxo+7=O,(*)

：N=4x8—28236〉0,

方程(*)恒有两个不等实根

二.对任意一个确定的点P,它总能对应2个“比例点”

18.(2021学年四川省雅安中学高二上学期期中)R、F2分别为等

轴双曲线C的左、右焦点，且F2到双曲线C的一条渐近线的距离为1,

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)P是双曲线C上一点，假设由1•由2=0,求△PF1F2的面积.

解：(1)设等轴双曲线C:U=i,

dd

F2到双曲线C的一条渐近线的距离为b=l=a,

双曲线C的标准方程为：x2-y2=l.

(2)P是双曲线C上一点，假设由1•由2=0,

即PF,±PF2

I|PFI|-|PF2||=2,

222

JL|PFI|+|PF2|=(2c)=8.

解得(|PF1|一|PF2|)2+2|PF||•|PF2|

=4+2|PFI|•|PF2|=8,解得|PFI|・|PFZ|=2

SAPFIF2=1|PFI|•|PF2|=1.

19.(2021年江苏省扬州树人学校高三模拟)某市为改善市民出行,

准备规划道路建设，规划中的道路M—N—P如图2所示，A,B是东

西方向主干道边两个景点,且它们距离城市中心。的距离均为8啦加2,

C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4

km,线段MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都

多16km,其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km,线段