2020-2021学年北师大版数学1学案：第2课时 对数的运算性质及换底公式

第2课时对数的运算性质及换底公式

学科素

内东标准

养

lo掌握对数的运算性质，能运用运

算性质进行对数的有关计算.准确定义概念

2.了解换底公式、能用换底公式将熟练等价转化

一般对教化为自然对数或常用对提升教学运算

教.

01课前自主预习@------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示:对应学生用书第52页

Z■基础认识］

知识点一对数的运算性质

错误！

当m>0,N>0时，log。(M+N)=\ogaM+logaN,log。(MN)

=10gaMA0gaN是否成立？

提示:不~定成立、

知识梳理对数的运算性质

a>Q,且存1,M>0,N

条件

>0

性质10gfl(MN)-10gaM+

kgaN

]0ga错误！=logaM-logJV

logaMn=MogaM"€R)

知识点二摸底公式

思考并完成以下问题

C1J换底公式中的底数〃是特定教还是任意教？

提示：是大于。且不等于1的任意教、

(2)换底公式有哪些作用？

提示：利用换底公式可以杷不同底数的对教化为同底数的对

数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值、

知识梳理lo换底公式

\ogab=错误！<〃>0,且；c>0,且存1；：>0)、

2.用换底公式推得的两个常用结论：

(1)\ogab-logha=l(tz>0,且且厚1);

几

n_且；；

(2)logamb=z^zlogaZ?(a>0,Z?>0*0).

知识点三常用结论

错误！

结合教材P8J82,例4和例5,你认为怎样利用对数的运算性质

计算对数式的值？

提示:第一步：将积、商、基、方根的对数直接运用运算性质

转化.

第二步：利用对数的性质化简、求值、

知识梳理常用结论

由换底公式可以得到以下常用结论：

(D3二■

(2)log"logQlogcQ=1；

r3)loga疝Jlog/；

(4J10ganbm=错误！log。/?；

⑸log)=-10g6/Z?o

vv

思考:1.若M'N>0,则式子log/M'N)=logaM+logJV成立吗?

提示：不一定成立.当M>0,N>0时成立；当MvO,NvO

时不成4、

2.换底公式一般在什C.情况下应用？

提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或杳表获得对

数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算.

(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法

则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进

行化简与求值.

［自我检测］

1、若。>0,,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个教

是()

①logdJogay=logt/(x+y)；

②logd-logo=logrz(x-y)i

③logo错误！=logd—log。；

@loga(xy)=log^-logajo

A、0B,1C,2D、3

斛折：才艮据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为logo错误!

=log^-log«y,④应为log。(xy)=log«x+log«y.

答案:A

2.(log29JxClog34)=()

A.错误！B.错误！C、2D、4

解析：,/Iog29xlog34=错误!又错误！=错误!X错误！=4.

答案:D

3、若Iga与1gZ?互为相反数，则a与b的关条式为、

解析：

*/lga+lgb=0,/.lg(ab)=0,.'.ab=1o

答嚎:aZ?=1

02谣堂合作探究您--------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第52页

探究一利用对数的运算性质化简求值

「例11计算下列各式的值：

(l)lg14-21g错误！+lg7-lg18；

(2)错误!；

(3)lg52+|lg8+lg54g20+fig2)2.

［思路点拨1灵活运用对数的运算性质求解.

［解析7(1J法一：lg14-21g错误!+lg7-lg18

=lg(2x7J-2(lg7-lg3J+lg7-lg(32x2J

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0.

法二：lg14-21g错误!+lg7-lg18

=lg14-lg错误!2+lg7-lg18

=lg错误！=lg1=0.

(2)错误！=错误！

=错误！

=错误！=错误!.

(3)原式=21g5+21g2+lg5C21g2+lg5)+(lg2)2

=21g10+Cig5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3。

方法技巧lo在应用对数运算性质时应注意保证每个对教式

都有意义，应避免出现1g(-5)2=21g(-5)等形式的错误，

同时应注意对数性质的也用在解题中的应用,譬如在常用对教

中，1g2=1—1g5,1g5=1-1g2的运用.

2、对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对教；

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)、

3.对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真教进行处理,

选哪种策略化简，取决于问题的实际情况,一般本着便于真教化

简的原则进行、

u243

跟踪探究1.计算^^的值.

斛折：错误！=错误！=错误！=错误！.

探究二利用换底公式化简、求值

［例2］已知lg2=〃，1g3=Z?,则log312=()

Ao错误！B.错误！C.错误！D。错误！

1思路点拨］把log312利用换底公式：

logs12=错误!建立log312同a,b的关系,

£解析］-/logsn=错误！=错误！=错误！,

又1g2=。，1g3=8,

/.Iog312=错误！。

[答案1A

b

延伸探究把题设条件换成“log23二:试求相应问题、

•.,log23=-

.\10g312=错误！=错误！=错误！=错误！。

方法技巧lo换底公式的主要用途在于将一般对教化为常用

对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题、

2、换底公式的本质是化异底为同底，这是斛决对教问题的基

本方法、

跟踪探究2o(1J已知log23=a,3"=7,用mZ?表示logi256；

(2)已知log32=4,log37=Z?,试用〃，Z?表示log28错误!.

解析:(1):3"=7,.-./?=log37o

logl256=错误！=错误！=错误！=错误!.

(2),/log32=a,logs7=b,

149

10g28-]=错误！=错误！

=错误！

=错误!.

探究三换底公式、对数运算性质的综合应用

［例3］(1J设3"=4)'=36,求错误！+错误!的值；

(2J若26。=33"=6241,求证:错误！+错误！=错误！。

Z■思路点拨7用对数式表示出x,y,c再代人所求(证)

式、

£解析］C1)-/3X=4>=36,

/.x=Iogs36,y=log436,

错误！=错误！=错误！=210g363=10g369,

错误！=错误！=错误！=10g364.

21

=10g369+10g364=10g3636=1.

%y

(2)证明：设26。=33b=62C=k(k>0,且胖'人

贝16a=log2®0,3b=log3®0,2c=log6Z#0o

/.错误！=错误！=61og^2,错误！=错误！=310g左3,

错误！=错误！=21ogz6,

错误！+错误！=610gA2+2x31og%3=log^26+log^36=log^66=

「，3

610g攵6=j

错误！+错误！=错误！.

方法技巧1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，

需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的

对教，以便利用对数的运算性质.要整体把握对教式的结构特

征，灵活运用指数式与对教式的互化.

2,解对数方程时，先要对教有意义(真教大于0,底数大于0

且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解

方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可、

跟踪探究3o斛下列方程.

(1J错误!(1g工一1g3)=lg5一错误!lg(x-10J；

(2)lgx+21og([QX)x=2i

2

(3)log(%2,i)(2x-3x+1)=1.

斛折：(U方程中的x应满足x>10,

原方程可化为1g错误！=1g错误!,

错误！二错误！，即N-10%-75=0.

解得x=15或x=-5(舍去)，经检验，x=15是原方程的解.

(2)首先，x>0且没错误!，

其次，原方程可化为lgx+错误！=2,

即lg2%+1g工-2=0.令/=1g%,贝15+/一2=0,

解得I=1或1二-2,即lgx=l或lgx=-2。

••%—10X—|QQO

经检验，x-10,x=都是原方程的解,

(3J首先，工2-1>0且一1#］,

即X>1或XV—1且对土错误!.

由2/-3x+1>0,得xv错误!或x>1。

综上可知，x>l或xv-l且中土错误!o

其次,原方程可化为/-1=2x2-3x+1o

.,.x2-3x+2=0,/.x=l或x=2。

又,「x>1或xv-1且对土错误！，.,.%=2o

经检验,x=2是原方程的解.

0醐课后讨论探究@----------------------------------------------