2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定某中学高一年级上册期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高一上学期期中

数学试题

一、单选题

1.“x>2”是“xN2”的()

A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分又不必要条件.

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义直接得出结果.

【详解】由“x>2”可推出"xN2”,但"xN2''不能推出“x>2”，

故“x>2”是“xZ2”的充分不必要条件.

故选：A.

2.若a,h,CGR且a>力，则下列不等式中一定成立的是()

A.a+b>b—c；B.ac>hc；C.(a-6)c2>0；D.———>0.

a-b

【答案】C

【分析】利用不等式的性质结合分析法，即可得到答案.

【详解】对A,a+h>h-coa>-c,由于a，一。的大小关系不确定，故A错；

对B,只有c>0时，才成立，故B错；

[a-b>0,.、，

对C,因为2>n^(a-b)c2>0,故C成立；

对D,当c=()时，不等式不成立，故D错.

故选：C.

3.设a,bGR,集合{l,a+6,a}={0,2,〃},则b_“=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.

hh

【详解】因{1,4+"”}={0,—,3，则”0,从而得a+b=0,有一=一1,于是得b=l,a=-l,

aa

所以b-a=2.

故选：C

4.在算式“4xt»lxO=30”的两个口。中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两

个数构成的数对（口,。）应为（）

A.（4,14）；B.（6,6）；C.（3,18）；D.（5,10）,

【答案】D

【分析】设W里为x,O里为y,则4x+y=30,利用基本不等式即可求出.

【详解】设W里为x,O里为y,则4x+y=30,

I111n

——I——=——x(4x+y)

尤y30%y)

=_LxZ把+5>12）3

——X

30(xy)30io

当且仅当上v=一4x，即x=5,y=10时等号成立,

xy

所有这两个数构成的数对为（5,10）.

故选：D.

二、填空题

5.方程f=9的解的集合用列举法表示为.

【答案】{3,-3}

【分析】根据方程的解，利用列举法表示即可.

【详解】由/=9可得x=±3,

所以方程解集为{3,-3}.

故答案为：{3,-3}

6.已知全集为R,集合A={x|x41},则^=.

【答案】（1,4W）

【分析】根据补集概念求解即可.

【详解】全集为R,集合A={x|x41},则彳={#>1}.

故答案为：（1,+=»）

7.陈述句“x>l或），>「'的否定形式是.

【答案】x<l3,y<l.

【解析】含有“或”联结词的否定是“且

【详解】解：X>1或y>i的否定是：XVI且yWL

故答案为：且

8.对于正数。，。初可以用有理数指数幕的形式表示为

【答案】J##a075

【分析】将根式转化为分数指数累，再利用分数指数基的运算性质进行化简.

【详解】底=43=值=/.

故答案为：/

9.若幕函数〉=f的图像经过点@,36),则此幕函数的表达式是.

3

【答案】y=/

【分析】将(3,3函)代入函数求得a即可得出.

【详解】将(3,3月)代入函数得3g=3"，解得a=q，所以此事函数的表达式是丫=).

3

故答案为：y=X2.

10.集合AU{1}={1,2,3},则满足条件的集合A共有个.

【答案】2

【分析】求出所有满足条件的集合A即可得出.

【详解】若AU{1}={1,2,3},则4={2,3}或4={1,2,3},共有2个.

故答案为：2.

11.已知方程2x?+x-5=0的两个实根为4，X],则打一当卜.

【答案】叵

2

【分析】由方程易知A>0,根据根与系数的关系写出玉+々、占々，由"一xj=厄+当>-4中2即

可求值.

【详解】由题设知：A=12-4X2X(-5)=41>0,

.15

..Xj4-X2=——,百工2=―/，

2

|xt—x2|=^(Xj+x2)—4X[X2=+10=~~~■

故答案为：叵.

2

12.己知5.4'=3,06=3,则.

xy

【答案】2

【分析】由题可得x=log5,43,y=log063,再利用换底公式可求出.

【详解】因为5.4*=3，0.6'=3.所以x=log5,43，y=log063,

1111

所以二厂=log5.4-log0.6=log9=2.

*3*3333

故答案为：2.

13.若集合A=同办2+2-1=0心外只有一个元素，则实数。的取值范围是.

【答案】｛-1,0｝

【分析】集合A=｛x辰2+2x7=o,xeR｝只有一个元素，则方程“+2x-1=0只有一个根（一元一

次方程）或有两个相等的实数根（一元二次方程），由此可求出实数〃的取值范围.

【详解】当。=0时，方程G?+2x-1=0为一元一次方程2工一1=0,

只有一个实根x=；，此时集合A只有一个元素3；

当4/0时，方程以2+2x-1=0为一元二次方程，

若要使集合A只有一个元素，需使方程依2+2x-1=0有两个相等的实数根，

，A=4+4a=0,解得a=-1,

综上所述，实数。的取值范围是｛T,。｝.

故答案为：｛7,0｝.

14.若不等式版+1<6的解集为（-1,2）,则实数。=.

【答案】机阅-2

【分析】根据绝对值不等式|以+1|<人去掉绝对值符号化为-6<公+1<），分a>0,a<0解不等式,

由不等式的解集列方程可得。的值.

【详解】解：不等式卬解集为（-L2）,则b>0,所以—。<依+1<6,

-b-\_]

fa=-2

当a>0时，不等式的解为-上b」-\<x<b二-\,所以八~a:—-，解得，。不符合，舍去；

a0=23一3

h-\

b—\—b—1afa=-2

当a<0时，不等式的解为幺」所以:,,解得八。符合.

a0土I：2匠3

.a

故答案为：-2.

15.已知aeR,卜+4+卜一1|，1对所有实数x恒成立，则。的取值范围是.

【答案】(9,—2]U[0,M)

【分析】利用绝对值三角不等式结合已知条件可得出关于实数。的不等式，即可解得实数。的取值范

围.

【详解】由绝对值三角不等式可得|x+a|+|x-l|>|(x+a)-(x-l)|=|«+1|,

当且仅当(x+a)(x-l)40时，等号成立，

所以，|a+l|>l,可得或a+1'l,解得。4一2或aNO.

因此，实数。的取值范围是(-8,-2]U[。，”).

故答案为：(F,-2]U[0,E).

16.已知x,)，是正实数，且关于x,y的方程6+6=4历7有解，则实数表的取值范围是

【答案】(L&]

【分析】分离参数后平方，转化为求"+'+2而的取值范围,利用均值不等式求解即可.

x+y

【详解】由4+4=队国有解可化为女=力?有解，

而公=主士2叵=1+2叵41+2更=2,当且仅当X=y时，等号成立，

x+yx+y2dxy

又心x+y+2而=1+也>],

x+yx+y

所以1<公42,又k>0,

可得

故答案为：

三、解答题

17.(1)已知集合4=卜-7-2=0},A[}B=B,求集合3；

(2)已知集合C=1k2+2x_3=o},D=[O,|a|],CCOK0,求实数a的取值范围.

【答案】(D8=0或{一1}或{2}或{-1,2}；(2)(--卜[收).

【分析】(1)解一元二次方程求集合A,根据An3=3有即可求集合B.

(2)解一元二次方程可得。={-3,1},结合交集的结果可知,即可求范围.

【详解】(1)由题设知：A={-1,2},而4口8=8,

:•AqB,

，8=0或8={2}或5={-1}或8={-1,2}.

(2)由题设知：C={-3,1},

又。=[0,|a[],CcD丰0,

||>1,gp6ZG(―—1]kJ[1,4-00).

18.已知关于x的不等式竺BW0的解集为M.

x-a

⑴当。=4时，求集合M；

(2)若5任M,求实数a的取值范围.

【答案】(1)M=*4)

(2)(1,5]

【分析】(1)直接代入得生解出即可.

x-4

(2)分当x=5则分母为0和分母不为0时讨论，若分母不为0,则将x=5代入不不等式左边，不

等号与原符号相反，得到关于。的分式不等式，解出范围，最后综合即可.

【详解】⑴当a=4时,生9。，则产;"I)"。，解得沁<4,

x-4[x-4^04

故集合M=：,4).

(2)当5任

若分母5—a=0,。=5,

若分母不为0,则将X=5代入不等式左边得竺公>0,

5-a

即（5a-5）（5—a）>0,解得1<a<5,

综上，实数”的取值范围是（L5].

19.某新建居民小区预建一面积为7（X）0?的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外

南北两侧人行道宽3m,东西两侧人行道宽4m（如图所示）.问：如何设计绿地的长度和宽度，才能

使人行道的占地面积最小？并求出此时人行道的占地面积.（结果精确到0.1m）

【答案】当设计绿地的长约为30.6m,宽约为22.9m时，人行道的占地面积最小值为414.4（n?）

【分析】设矩形绿地的长约为而，则宽约为理m,利用矩形的面积即可得出人行道的占地面积S,

X

再利用基本不等式即可得出结论.

【详解】设矩形绿地的长约为初，则宽约为—m,人行道的占地面积（记为5（加2））为

5=（x+8）[^—+6^-700,

即S=6x+?竺+48.利用平均值不等式，6x+—>2.L.-=2^3600=80^1,

xxYx

且当且仅当6》=3芈，即x=2oJ=3O.6（m）时，S达到最小值80⑨+48=414.4，此时

1“22.9（m）.

所以当设计绿地的南北侧边长约为30.6m,东西侧边长约为22.9m时，人行道的占地面积最小值为

414.4（m2）

20.已知实数4*.c、d,显然=,定义两实数的误差为两数差的绝对值.

⑴求证：M-cd|W同|b-d|+同

⑵若任取〃，Ae[l,10],。与c的误差、〃与d的误差最大值均为0.1,求必与cd误差的最大值，并

求出此时。、dc、d的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）2.01,此时a=l（）,6=10,c=10.1,4=10.1

【分析】（1）由ab-cd=ab-ad+ad-cd,根据1。±匕区1。1+1匕1即可得证;

（2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解.

【详解】（1）*：\cib-cd\=\ab-ad+ad-cd\

:.\ab-cd\W|+crf|=|a||&-c|.

（2）因为|〃-c|=0.1,\b-d\=0.1

由（1）四一⑼-M+同,一c|W0.1（|〃|+|d|）

<0.1x（10+10.1）=2.01,

此时只需。=10力=10,c=10.1,d=10.1等号成立.

21.已知关于1的不等式（履一F—4）（x—4）>0,其中ZWR.

⑴当女变化时，试求不等式的解集4

⑵对于不等式的解集