2021年中考数学复习：《三角形综合》几何专项练习题（含答案解析）

2021年中考数学复习：《三角形综合》几何专项练习题

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点力在第二象限，点8在y轴正半轴上，4AOB与

△CO5关于y轴对称，延长工8至。，使得连接

(1)求证：。。//)/轴；

(2)若OB=AB,且点力的横坐标为-3,连接02

①求点。到力。的距离；

②点尸为线段。。上一点，且NQCO=45°,求点户的纵坐标.

2.在△S8C中，N8AG90。，58的垂直平分线交8c于例，交于反ZC的垂直

平分线交8c于N,交4C于尸.

(1)若Z8=/IC,/_BAC=120°,求证8/W=/WN=NC;

(2)由(1)可知是三角形；

(3)去掉(1)中的“/必C=120°”的条件，其他不变，判断的形状，并证

明你的结论；

(4)当N8与NC满足怎样的数量关系时，△/〃川是等腰三角形？直接写出所有可能

的情况.

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N

3.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点/(0,473).B(/77,-2V3).C(〃，

-273),且利、。满足而孤'+(-6)2=0,线段6C交/轴于点”

(1)请直接写出8、C两点坐标；

(2)若力6=12次，点户以每秒4愿个单位的速度从点6出发沿线段84向终点工运

动，点户的运动时间为/秒，当/尸=/〃时，请求出此时的片直；

(3)在(2)的条件下，若在点尸运动的同时，点。从点C出发，以每秒3个单位速

度沿射线C8运动，连接〃尸、/IQ,是否存在某一时刻，校SQAHP=4SAAHQ，若存在,

请求出片直，并直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由.

4.在△48C中，4?=AC,点。是直线8c上一动点(不与8、。重合)，以4。为一边

在AD的右侧作使AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.

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A

图1图2

(1)如图1,当点。在线段6c上，如果/MC=90°,贝IJN8cE=度；

(2)如图2,

①说明：XABD^ACE,

②说明：CE^DC=BC;

(3)设NMC=a,ABCE=^.当点。在直线8c上移动，则a,B之间有怎样的数

量关系？请直接写出你的结论.

5.已知：平面直角坐标系中，如图1,点4(a,b),/Six轴于点B,并且满足

"V2a+b+6+(a-b+12)2=0-

(1)试判断△408的形状并说明理由.

(2)如图2,若点C为线段56的中点，连OC并作O0_LOC,且OC,连

交x轴于点£试求点三的坐标.

(3)如图3,若点例为点8的左边x轴负半轴上一动点,以AM为一边作//U4N=45°

交V轴负半轴于点N,连MN,在点从运动过程中，试猜想式子OM+MN-02的值是

否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围.

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6.在平面直角坐标系中点，5(0,5),B(5,0),点C为x轴负半轴上一动点，过点

8作801/1C交)/轴于点£

(1)如图①，若点C的坐标为(-2,0),请直接写出点E的坐标；

(2)如图②，若点C在x轴负半轴上运动，且OCv5,其他条件不变，连接。O,求

证：DO平分乙CDB,，

(3)如图③，若点C在x轴负半轴上，且/004=60°,猜想8、OC和8。间的

7.如图1所示，在边长为6cm的等边△S8C中，动点尸以lcm/5的速度从点Z出发,

沿线段48向点8运动.设点户的运动时间为/(s),/>0.

(1)当/=时，△以C是直角三角形；

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(2)如图2,若另一动点Q从点C出发，沿线段C4向点4运动，且动点RQ均以

167/5的速度同时出发.那么当/取何值时，△必。是直角三角形？请说明理由；

(3)如图3,若另一动点。从点C出发，沿射线8c方向运动，且动点P,。均以1cm/s

的速度同时出发，当点尸到达终点8时，点。也随之停止运动，连接尸Q交/IC于点D,

过点尸作户EL/C于后试问线段。£的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若

不变，请求出。E的长度.

图1图2图3

8.如图，△S8C是等腰直角三角形，N/C8=90°,AC=BC=3M，。在线段8C上,

三是线段工。上一点.现以CF为直角边，C为直角顶点，在6的下方作等腰直角△氏万,

连接8厂.

(1)如图1,求证：LCAE=NC8尸；

(2)当片、£尸三点共线时,如图2,若6尸=2,求4尸的长；

(3)如图3,若/34。=15°,连接。尸，当厂运动到使得N/CT=30°时，求△。&

的面积.

AA

F

F

图1图2图3

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9.已知如图，在等腰直角△S8C中，Z5/4C=90o,AB=AC,〃是线段8c的中点，F

是射线工”上一点.

(1)如图1,当尸在线段力〃上时，求证：(ABF=LACF、

(2)如图2,当尸在“〃的延长线上时，F是上一点，连接用，EC,若BF=EF,

求线段ZEAB,C厂之间的数量关系；

(3)在(2)的条件下，点G在ZC上，连接BG,若N£CG=2/G8C,AE=\Q,

ZG=8,求。尸的长.

C重合)，点户是平面内一动点(户与。，下不在同一直线上).令/尸以=/1,/.PEB

=Z2,/.DPE=Ao.

(1)若点尸在边4?上，如图⑴所示，且/a=40°,则/1+/2=°;

(2)若点尸在△/8C的外部，如图(2)所示，则N。，Z1,22之间有何关系？说明

理由.

(3)若点尸在△48C边M的延长线上运动(CE<8,直接写出Na、ZKZ2

之间关系.

BpAB4---------------------\

图⑴图(2)

BA

备用图

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参考答案

1.(1)证明：•・•△408与△COB关于y轴对称，

:.^AOB^£\COB,

：.AB=BC,/_ABO=ZCBO,

•：BD=AB,

BD-BC,

/_D=/_BCD,

*.*ZABC-ZA/_BCD,

:.2/_ABO=AD,

；"ABO=£D,

：.CD\\y轴；

(2)解：①如图1,过点4作4EL8O于E,过点。作。尸1%。于F,

・•・点/的横坐标为-3,

:.AE=2>,

5△48O="^■/48x尸O="^■OSxAB=OB,

:.AE=。尸=3,

..•点。到的距离为3;

②如图2,连接ZC,OD,

根据轴对称的性质，知/C_Ly轴，

又由(1)知，CO//y轴，

:.AC]_CD,即N/C0=9O°.

■：BD=AB,AB=BC,

是斜边工。的中线，即8c是边力。上的中垂线，

：./_BCD=^ACB=45°,

•.•/尸8=45°,

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.・•点尸即为线段5c与线段。。的交点，如图2所示,

作/E1X轴于尸，QFlx轴于£

OB-AB-BD,

:.AAOP=9Q°,

AAOF^Z.POE=90°,

■：/.OPE^/_POE=90°,

NAOF=ZOPE,

,:乙OAC=ZOCA,LAOF=ZOAC,

ZOPE=ZOCA,

•••4OPC=±OP®45°,/oe=/001+45°,

NOPC=ZOCP,

OP=OC=OA,

在△/O厂和△。在中，

，ZAOF=ZOPE

<ZAFO=ZOEP,

,AO=OP

:AAO24OFE〈AAS),

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2.(1)证明：连接4W、AN,

■：AB^AC,NMC=120°,

B=/_C—30°,

,.1从E是线段AB的垂直平分线，

：.MA=MB,

r.N/VM8=N6=30°,

同理，NA=NC,

，NAZ4C=/C=30°,

，N/W/W=NC+/M4c=60°,

为等边三角形，

:.AM=MN=AN,

：.BM=MN=NC;

(2)解：由(1)可知是等边三角形，

故答案为：等边；

(3)解：是等腰三角形，

理由如下：

••.N8=NC,

•:/.MAB=LB,乙AMN=/.B+(MAB,ZNAC=ZC,(ANM=ZC+/.NAC,

：.AAMN=AANM,

：.AM=AN,

是等腰三角形;

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(4)解：当N8=/C时，AM=AN;

当2/8+/C=90°时，4c=90°,

NFIIMA,

■：CF=FA,

CN=CM,

.-.NA=^CM=MN,

同理，当N8+2/C=90°时，MA=MN,

综上所述，当N8=NC、2/8+NC=90°、N8+2/C=90°时，△4V/AZ是等腰三角

形.

3.解：(1)Vm+3n+(^-6)2=0,

fm+3n=0

"ln-6=0，

解得篇*，

：.B(-18,-2V3),C(6,-273)；

⑵(0,473),B(-18,-2V3)1

:.AH=6M、BH=\8,

-'-AB=VAH2+BH2=12V3-

•.•点尸以每秒4«个单位的速度从点8出发沿线段BA向终点/运动，点尸的运动时间

为/秒，

.­./^1273-473A

•:AP=AH,

二12«-4折=6愿，

1.5;

(3)过点尸作尸轴于点G,如图1,

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S^APH二AP

,：SRAPH=^AH・PG,

^AABH福

.ix^xp\i2v§-w§t

yX6>/3X1812«

解得，PGHt.

分两种情况：

①如图2,当Q在线段C〃上时，HQ=6-3t,

S&AHP=ASXAHQ，

：.XAHXPG=4X-j-XAHXHQ,gpPG=4HQ,

.1.18-6/=4x(6-3/),

解得/=1,

此时〃Q=6-3=3,

.•.Q(3,-273);

②如图3,当Q在线段6〃上时，HQ=3f-6,

S4AHp=AS-、

:.^-xAHxPG=4x^xAHxHQ,BPPG=4HQ,

.*.18-6/=4x(3/-6),

解得心云7

o

此时，HQ=7-6=],

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C?(-1,-2日)，

综上所述，当/=1时，$&AHP=4SAAHQ，Q(3,-273)；当/=£时，S4AHp=AS^AHQ，

o

Q(-1,-273).

4.解：(1)■：/.DAE^ABAC,

：.ABAC-ADAC=ZDAE-ZCAE,

即/84。=/。1£

在△必。与4f中，

<AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.^BAD^l\CAE(5/5),

/_B=Z_ACE,

•■•N34C=90°,AB=AC,

：.AABC=/_ACB=A5°,

：./_ACE=45°,

:./_ACE=/_ACB+/_ACE=90°,

故答案为：90;

(2)①.../MC=NO/4F,

.,.ZBAl>ADAC=ZEAC+ADAC,

即ZCAE,

在△48。与△4CT中，

，AB=AC

>ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.^ABD^/\ACE{SAS);

②由①得BD=CE,

CE+DC=BD+DC=BC;

(3)①当点。在线段8c上移动，a+B=180°,

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E

BCD

理由：由(2)得4AB%4ACE,

B=ZACE,

：./_B+AACB=AACE^AACB,

N6+NACB=B,

•.,a+N8+/4C8=180°,

r.a+B=180°;

②当点。在射线8c上时，a+B=180°;

理由：■：ABAC=/_DAE,

/BAD-ZCAE,

在△48。和中，

，AB=AC

-ZBAD=ZCAE,

,AD=AE

：./\ABD^^ACE(SAS),

/ABD=Z_ACE,

■：ABAC+AABD+Z.BCA=}SQ°,

.■,ZBAC+ABCE=ZBAC+ABCA+/_ACE=ZBAC+/.BCA+/.B=180°,

.,.a+P=180°;

③当点。在射线8c的反向延长线上时，a=B.

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A

理由：•••ZDAE=ZBAC,

/DAB-ZEAC,

在△S08和中，

，AD=AE

<ZDAB=ZEAC,

AB=AC

：./\ADB^l\AEC(5/15),

/_ABD=/.ACE,

-：/_ABD=/_BAC+/_ACB,乙ACE=/_BC曰(ACB、

/.BAC=/.BCE,

即a=B,

综上所述，a,B之间的数量关系为a+B=180°或a=|3.

5.解：(1)是等腰直角三角形，

理由如下：■\/2a+b+6+(a-b+12)2=0，

.'.2cf+b+6=0,a-jtn-12=0,

o=-6,b=6,

•••点4(-6,6),

•.•/Six轴，

:.AB=BO=6,N/8O=90°,

△/is。是等腰直角三角形；

(2)如图2,过点。作08于”

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图2

:./_DHO=/_CBO=90°,

ZBCOABOC=ZDOH+ACOB,

・・.NDOH=ZBCO,

又,一,CO=DO,乙DHO=/_CBO=qO°、

:•丛BC8XHOD<AAS),

:.DH=BO,BC=OH,

.・•点C是48的中点，

AC=BC—3,

:.OH=3fBH=BO—OH=3,

、：AB=DH,/_AEB=ADEH,ZABE=ZDHE=90°,

:.XAB匹丛DHE(AAS),

3

/.BE=EH=^、

2

9

：.OE=O"EHG，

9

・,•点”-半0);

(3)OVR/VW-CW的值不变，

理由如下：过点工作/户1例。于「，SQ1”轴于Q,/G1/VW交y轴G,

:.AP=AQ=6tAPAQ=90°=/.MAG,

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・・./%〃=NO4Q,

又•.2/加=N/QG=90°,

:.^APM^^AQG{ASA),

：.AM=AG,MP=QG,

・・・NM4N=45°,

:./_MAN=々GAN=A5。,

又*;AN=AN,

:.XANMSXANG〈SAS),

:.MN=GN,

OM+MN-ON=OP^MP^GN-ON=b+MP+ON^OG-ON=6+QG^-OG=6+6=

12.

6.解：(1)..)轴_1_)/轴，

，ZAOC=NBOE=90。,

:./_ACO/_CAO=9Q°,

'：BDlACt

:./_BC!>/_CBE=90°,

.\/_CAO=ACBE,

•・.点8的坐标分别为(0,5),(5,0),

OA=OB—5,

在△/OC和△8OE中，

rZCA0=ZCBE

•OA=OB,

,ZA0C=ZB0E

:.l\AOC^t\BOE{ASA),

OE=OC,

•••点c的坐标为(-2,0),

OC=OE-2,

•••点三的坐标为(0,2);

(2)如图②，过点。作OA4J_8。于例，ONLAC千N,

'：l\AOC^l\BOE,

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^^AOC-SRBOE、BE,

：.—AC*ON=—BC»OM,

22

OM=ON,

，点O一定在NCOS的角平分线上，

OMIBD,ONLAC

：.DO平分乙CDB;

(3)结论：BD=CD^OC.

理由：如图③所示，在。8上截取。尸=OC,连接。冗连接O。,

平分NCOS,

ZPDO=ZCDO,

■；OD=OD,

；.t\OPD^XOCD〈SAS],

OC=OP,ZOPD=ZOCD=60°,

在RtABOC中，ZOCA=60°,

.-./.OBE=90°-NOC4=30°,

.-.ZBOP=ZOPD-ZOBE=30°=ZOBE,

BP=OP,

BP=OC,

：.BD=DP^BP=CD+OC,

图③

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y

M

Bx

图②

7.解：(1).「△/SC是等边三角形,

.'.AB=BC—AC=6,/_A—/_B=/_ACB-60°,

若△以。是直角三角形，则/427=90°,

...26=30°,

:.AP=^AC^3,

/=3-;-1=3(s),

故答案为：35；

(2)分两种情况:

①当//尸。=90°时，如图2-1所示:

则N/QP=90°-NA=30°,

:.AQ=2AP,

由题意可得：AP=BQ=t,贝

.1.6-/=27,

解得：片2;

②当尸=90°时，如图2-2所示:

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o

p,

------------、C

图2-2

则N49Q=90°-NZ=30°,

:.AP=2AQ,

:.t=2(6-/),

解得：/=4;

综上，当/为25或45时，Q是直角三角形；

(3)线段。5的长度不变化，理由如下：

过点。作交/C的延长线于尸，如图3所示:

图3

■：PELAC,QFLAC,

ZAEP=ZDEP=ZCFQ=90",

■：AQCF=Z.ACB=6Qa,

.,.//=/QCF,

又♦.40=CQ,

.,△APE^XCQF<AAS),

:.AE=CF,PE=QF,

又,：乙PDE=LQDF,

：.△PDE^.△QDF{AAS),

.1.DE=DF=^EF,

■：EF=CB-CF,AC=CB-AE,

:.EF=AC=6,

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:・DE*EF=3、

即线段0E的长度不变，为定值3.

8.(1)证明：:△/ISC,△EC厂都是等腰直角三角形,

CA=CB,CE=CF,乙ACB=£ECF=qO°,

ZACE-ZBCF,

:.l\AC'XBCF〈SAS),

ZCAE-ZCBF\

(2)解：•.•/IC=8C=3«,//IC8=90°,

.'.AB=\[2,AC=3A/5>

由(1)得：ZCAD=ZDBF,

ZADB=/_CAD^-Z_ACD=/_DBR/_DFB,

••./_DFB=/_ACD=90°,

AF22

-=7AB-BF=7(3^6)2-22=5V2；

(3)解：过点尸作于"，如图3所示：

・:△/8C是等腰直角三角形，^ACB=90°,/C=8C,

.,.N34c=N/8C=45°,

/_BAD=15°,

,\/_CAE=45°-15°=30°,

:./_ACE=/.CAE^30°,

:.AE=CE=CF,

同(1)得：/\ACE^/\BCF{SAS),

:.BF=AE、乙ACE=/_BCF=30。,

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・•.CF=BF,

.\Z.BCF=ACBF=30°,

•：FC=FB,FH1BC,

CH=BH=—BC=例=返。〃=§,CF=BF=2FH=3,

2232

NCED=ZCAE^AACE=60,ZECD=90°-30°=60°,

.,.△HA是等边三角形，

;.EC=CF=CD=3,

2

^-x3+|x