中学数学能力组成成分的分析与探究

我们对学生进行数学知识教学，目的是为了培养学生的数学能力，而不是简单地让学生掌握这些死的数学知识。那么，学生的数学能力包括哪些方面呢？对于这个问题，历来众说纷纭。在教学中，我们还要进一步探讨和实验，以使我们的数学教学增强针对性和实效性。在选择专门实验方法之前，笔者拟定了一个可以辨别有能力的学生和能力差的学生在学习上有明显差别的领域，作为我们的初步指标。换句话说，我们假定在数学能力的一般结构中包含着某些成分。分析心理学和数学的文献以及探察实验（由于受篇幅所限，对于所引用的文献不再一一注明，敬请谅解），都给我们指明了探索数学能力的方向。在许多著作中都提到了概括能力。拉祖尔斯基和他的同事做了一个有趣的分离学习算术能力的尝试。他们“在其他课程中很少使用的心理机能”之中，抽出了“概括能力”。但是，他们并没有充分揭示这种“机能”的心理实质。还应提到的是，美国心理学家桑代克的一本著作中，也谈到了“概括能力”，并把它看作是“代数”能力的一种。在谢瓦列夫、梅钦斯卡娅和她的同事的著作中有些很有价值的材料。谢瓦列夫证实，在解代数题时，概括的联想同个别的联想一样是有价值的。多布拉耶夫、斯捷潘诺夫、塔雷齐娜和雅罗楚克等人的著作都提到了概括数学材料上的个别差异。笔者进一步假定有能力学生和能力差的学生的“缩短”率应当是不同的一一即在解题过程中“缩短”推理过程和“缩短”有关运算系统。有才能的学生推理和运算系统的“缩短”速度很可能极其迅速。上述谢瓦列夫和梅钦斯卡娅的著作，对理解这个问题很有价值。谢瓦列夫曾指出，学生在解答代数问题时，并不需要把推论的全部环节，即解题的完整而详细的逻辑结构全部再现出来。梅钦斯卡娅也曾证实，甚至学生在解答算术问题时，推理过程的中间环节也在逐渐“缩短”。塔雷齐娜、英豕克和索科洛夫用解答几何、化学、物理问题的材料探索了推理过程的逐渐缩短问题。最后，笔者假定数学能力不同的学生从正方向思维灵活地向逆方向思维转换的能力是不同的。很明显，有才能的学生相当容易而较自由地完成这种运算，而大多数学生从直接证明转到间接证明，或从正定理转向逆定理则有一定的困难。从心理学角度可以区别出两种不同类型的联想：“正向”联想——从前一个刺激联想到后一个刺激；“反向”联想——从后一个刺激联想到前一个刺激。卡巴诺娃—梅勒曾用地理学的材料表明，不是全部儿童都能独立地从“正向”联想转到相应的“反向”联想。成绩好的学生，当他在一个方向上很好地建立起联结之后，就能相当容易地在相反的方向上实现这种联结。能力差的学生则很困难：他们需要经过专门的训练才能形成这种“反方向”的联结。这种对数学能力组成成份的假说是我们设计一系列实验目的主要依据。这种看法是在我们研究个别差异的问题时形成的。在深入研究的阶段中，关于数学能力组成成份的假说将以更加完整的形式提出来。这方面的资料首先是由所提到过的那些实验中获得的。这些实验揭示了有数学才能学生的其他一些心理特点。其次，是从对小学、初中年龄阶段的数学天才儿童的初步观察中得来的。这两方面的材料都表明有数学才能的学生的特点是能很好地分析综合题目的条件：既能很快地抓住作为题目本质的基本联系，同时又没有忽略题目中的具体数据。空间观念在数学能力的结构中应起一定的作用。这种能力在能力强的学生身上是以不同方式表现出来的，这可能与数学能力的不同类型有关。但是，必须承认，关于数学能力的结构问题迄今为止还不可能有一个完整的假说，笔者只涉及了它的个别方面。为了进一步研究，我们需要有一个相当完整的关于数学能力结构的假说(因为完整的实验题目体系是按这种假说来设计的)。我们并不妄图更深刻和有意地去分析数学科学(这是数学家的事，它已经超越了我们老师的工作范围)，我们为自己提出了一个有限的研究目标，仅限于中学数学教学。如前所述，我们是把数学能力作为学生创造性地掌握学校数学课程的能力来研究的。当然，数学科学与作为普通教育中学校的一门数学课程来说，两者之间有着根本的差别。在方法学文献中也曾多次指出过这一点。吉布什写道：“当然，学校数学课的各个分支(算术、代数、几何、三角)不是相应科学的翻版。”冈恰罗夫在他的《作为学校课程的数学》一文中也谈到了这个问题，但是他作了重要的补充。数学的基本特征是公理的方法，这是现代数学的特点。事实上，公理的定义就是在一定概念体系中的每个概念都是借助于它与这一体系中的其他概念相联系的那种关系而被确定下来的。因为把一个概念放在概念体系中来考虑，就不会有任何一个对其他概念来说是毫无关系的概念了。在上述所谈到的