四川省仁寿县2024-2025学年高二数学上学期1月期末考试理试卷

Page11四川省仁寿县2024-2025学年高二数学上学期1月期末考试（理）试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.留意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必需运用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必需运用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、命题“”的否定是（

）A．B．C． D．，【答案】B2、在空间直角坐标系中，点在平面上的射影到坐标原点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C3、已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A． B． C．8 D．2【答案】D4、设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则.B．若，，，则.C．若，，则.D．若，，，则.【答案】B5、已知，则是的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C6、已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（

）A．B．C．D．【答案】B7、某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A8、执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A． B． C． D．【答案】B9、如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A10、已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B11、已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A12、如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；③存在点P满意；④满意的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D对于①，如图，CP与AD所成的角即CP与BC所成的角，因为，所以，，，由余弦定理，，由正弦定理，，所以，即CP与AD所成的角的正切值为2，①正确；对于②，点P到平面的距离即点P到直线的距离，点P到直线的距离即点P到的距离，依据抛物线的定义当两距离相等时点P的轨迹为抛物线一部分，②正确；对于③选项，假设，点到距离可以转化成，正好点，且始终垂直平面，所以只须要让即可，点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，同理，，只须要让即可，点P轨迹是以C1为圆心，长度为的圆上，如图1.又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满意，选项③正确；对于④选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则，因为，所以，同理，，平面，平面平面，所以点的轨迹为，所以选项④正确.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、已知双曲线，则该双曲线的实轴长为【答案】214、设分别为直线和圆上的动点，则的最小值为【答案】15、在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________【答案】16、过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则___________【答案】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.(1)证明：平面;(2)证明：平面.【详解】（1）证明：连接交于点，连接,∵，,∴△∽△,即，又∵，∴∴又∵、∴

（2）∵平面，平面，∴，又∵，且是直角梯形，∴，即，∴，又∵，且平面，∴平面.18、圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点.(1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程；(2)若圆与圆相交于E，F两点，求．【答案】（1）即（2）19、已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．【答案】（1）依据题意可得，又，解得，，故所求抛物线C方程，（2）设点，，抛物线的焦点坐标为．当直线l的斜率等于0时，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，设过抛物线焦点的直线l的方程为：；由，消去x得：，，得，由韦达定理得，，因为．所以当时，取得最小值为13．此时直线l的方程为．20、如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）面，且，.∵是中点,所以.同理可证：.又面，面，,平面.∵面，∴平面平面.（2），.以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，如图：则.设平面的法向量则，得，不妨取，则.由（1）得是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21、已知椭圆，长轴是短轴的倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，恳求出常数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：依题意，即，所以椭圆即，又椭圆过点，所以，解得，所以，所以椭圆方程为；（2）解：因为直线不与轴垂直，所以设直线为，，，由，消去整理得，，所以，，因为，所以，所以，即，即，即，解得.22、椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值；(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）依据题意，得，解得，椭圆C的方程为.依题意，设，设直线为，联立，消去，得，恒成立，，故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知：面积的最大值为.（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，假如存在点满意条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于