2025届新高考数学一轮复习对数与对数函数专题基础训练含解析

Page11对数与对数函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知，，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是(

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意，其中星等为的星的亮度为，已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. B. C. D.已知函数，，则图象如图的函数可能是(

)A.

B.

C.

D.若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是(

)

①；②；

③；

④A.②④ B.①③ C.①④ D.②③已知，，则下列不等式正确的是(

)A. B. C. D.已知函数在单调递增，则a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）在同始终角坐标系中，函数与的图象可能是(

)A. B.

C. D.三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）计算：__________.已知函数，则__________.若函数满意：，都有；

，则__________写出满意这些条件的一个函数即可的单调递增区间为__________，值域为__________不等式的解集是__________；不等式的解集是__________.四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分已知画出这个函数的图象；当时，若，利用函数图象求出a的取值范围.本小题分已知函数且在区间上的最大值为求a的值;当函数在定义域内是增函数时，令，推断函数的奇偶性，并求出的值域.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了指数式与对数式的互化及特值法的应用，属于基础题．

化为，从而比较a、b的大小，再利用特值法比较与c的大小即可．【解答】解：，，

而，

故，

又，

故答案选：

2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查基本初等函数的单调性，熟识基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.①，为幂函数，且x的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.【解答】解：①，为幂函数，且x的指数，在上为增函数，故①不行选；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不行选；综上所述，可选的序号为②③，故选

3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

可得：，利用对数的运算性质求解．【解答】解：设太阳的星等是，天狼星的星等是，

由题意可得：，

，则

故选：

4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了函数的性质的应用，函数的图象变换，属于基础题．

由函数的奇偶性及选项逐项解除即可得到答案.【解答】解：由图易知其为奇函数，而为偶函数，为奇函数，解除AB，

当x趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，解除C，

故选

5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了对数的运算和性质，属于基础题.

依据题意，逐一进行推断即可.【解答】解：对于①，左边，右边，故①不恒成立；

对于②，右边，②恒成立；

对于③，左边，所以满意，

右边，故③不恒成立；

对于④，左右两边同时满意，故④恒成立．

故①③符合题意．

故选：

6.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，幂函数以及对数函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．

依据三角函数的性质确定，然后利用指数函数，幂函数的单调性进行推断即可．【解答】解：，，

即，

则，

，，，

，

故选：

7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数和二次函数的性质，属于中档题.

先求出函数的单调递增区间，再利用集合之间的包含关系求解即可.【解答】解：设²，，

由²可得或，

当时，²单调递增，

当时，²单调递减，

而在上单调递增，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

要使函数在单调递增，

则，

即，

故选：

8.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查函数的图象的识别，对数函数的性质以及指数函数的性质，属于基础题.

分和两种状况探讨，即可进行推断.【解答】解：当时，在单调递增且其图象恒过点，

在单调递增且其图象恒过点，

则选项B符合要求；

当时，在单调递减且其图象恒过点，

在单调递减且其图象恒过点，

则选项D符合要求；

综上所述，选项B、D符合要求.

故选：

9.【答案】2

【解析】【分析】本题考查求对数式的化简求值，属于基础题.

依据对数式的性质化简求值即可.【解答】解：原式

故答案为：

10.【答案】0

【解析】【分析】本题考查了对数型函数的函数值、推断或证明函数的奇偶性、对数式的化简求值与证明，属于较易题.

利用函数的解析式推断函数的奇偶性，依据即可求出的值，【解答】解：函数，

则

故

，

又因为，

所以

故答案为：

11.【答案】

【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解、对数函数的性质，属于基础题．

依据题意可推断该函数的单调性，再结合运算性质：可得一函数．即可求解.【解答】解：对于，都有，

说明该函数在上单调递减，又对数函数满意运算性质：，

可选递减的对数函数，取，得

故答案为：

12.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于基础题.

由，求得，再利用二次函数的性质求得结论；依据t的范围，可求得函数的值域.【解答】解：函数的单调递增区间，即时，t的单调递减区间，

由，求得，

故函数的定义域为，

由二次函数的性质可得t的单调递减区间为，

由可得

综上的单调递增区间为，值域为

故答案为；

13.【答案】

【解析】【分析】本题考查了指数不等式与对数不等式求解，属于基础题.

依据指数函数与对数函数单调性以及运算法则进行求解.【解答】解：则，

，

解得，

故不等式解集为

，则，

则，

故不等式解集为，

故答案为；

14.【答案】解：如图：

令，即，解得或

又，

从图像可知，当时，满意，所以a的取值范围是

【解析】本题主要考查了对数函数的图象，利用数形结合解不等式.

由函数整体加肯定值知，只需将函数位于x轴下方的图像关于x轴对称即可；

利用数形结合，结合a的范围即可得解.

15.【答案】解：当时，在区间上是增函数，所以，解得当时，在区间上是减函数，所以，解得所以或当函数在定义域内是增函数时，则，由，得，所以函