广西专版2024-2025学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时二倍角的正弦余弦正切公式课后训练新人教A版必修第一册

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列计算正确的是()A.2tan22.5B.1-2sin275°=3C.cos4π8-sin4D.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=5答案ACD解析A中,2tan22.5°1B中,1-2sin275°=cos150°=-32C中,cos4π8-sin4π8=cos2π8+sin2πD中,cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=1+14=2.已知sin(α+π4)=13,则sin2α的值为(A.-89 B.89 C.-79答案C解析因为cos[2(α+π4)]=1-2sin2(α+π4)=79,所以cos(2α+π2)=-sin2α=79,所以sin2α3.已知角α是第三象限角,cosα=-513,则sin2α等于 (A.-1213 B.1213 C.-120169答案D解析由角α是第三象限角,且cosα=-513,得sinα=-12所以sin2α=2sinαcosα=2×-1213×4.函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx的最小正周期是 ()A.π2 B.π C.2π D.4答案B解析∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin2x∴f(x)的最小正周期是π.5.已知角α为锐角,且满意cos2α=sinα,则角α等于 ()A.30°或60° B.45° C.60° D.30°答案D解析因为cos2α=1-2sin2α,所以由题意,知2sin2α+sinα-1=0,即(sinα+1)(2sinα-1)=0.又角α为锐角,所以sinα=12,所以α=30°.故选D6.若2±3是方程x2-5xsinθ+1=0的两个根,则cos2θ等于.

答案-7解析由题意得5sinθ=4,即sinθ=45所以cos2θ=1-2sin2θ=1-2×1625=-77.sin6°sin42°sin66°sin78°=.

答案1解析原式=sin6°cos48°cos24°cos12°=sin6°cos6°8.若1+tanα1-tanα=2023,则1cos2α答案2023解析1cos2α+tan2α=1cos29.已知角α是第一象限角,且cosα=35,求1+2解∵cosα=35,且角α∴sinα=45∴cos2α=cos2α-sin2α=-725sin2α=2sinαcosα=2425∴原式=1+210.化简下列各式:(1)11(2)2cos解(1)原式=(1+tanθ)-((2)原式=cos2α2tanπ4-αcos2实力提升1.已知等腰三角形底角的正弦值为53,则顶角的正弦值是 (A.459 B.259 C.-4答案A解析设底角为θ,则θ∈0,π2,顶角为π∵sinθ=53,∴cosθ=1∴sin(π-2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×532.函数f(x)=cos2x+6cosπ2-xA.4 B.5 C.6 D.7答案B解析由题意可知f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sinx-322+112,又sinx∈3.(多选题)已知函数f(x)=12cosxsin(x+π3),则下列结论错误的是(A.f(x)既是奇函数又是周期函数B.f(x)的图象关于直线x=π12C.f(x)的最大值为1D.f(x)在区间0,答案ACD解析f(x)=12cosxsinx+π3=14sinxcosx+34cos2x=18sin2x+38(1+cos2x)=14sin(2x+π3)+38,所以f(x)不是奇函数,f(x)的最大值不为1,f(x)在区间0,π4上不是单调函数,所以选项A,C,D中结论错误;令2x+π3=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ24.已知tanθ2=3,则1-cosθ答案3解析原式=2sin2θ2+2sinθ2cos5.已知tanx=2,则tan2x-π4答案3解析tan2x-π4=tan2x6.函数f(x)=cosx-sin2x-cos2x+74的最大值是.答案2解析由题意可知,f(x)=cosx-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+74=-cos2x+cosx+74=-(cosx-12)2当cosx=12时,f(x)取得最大值,且最大值为27.化简:(1+sinα+cosα)sinα2-解原式=2cos2α2+2sinα2因为π<α<2π,所以π2<α所以cosα2<0,所以原式=cos8.在△ABC中,sinAcosA=sinBcosB,且A≠B.(1)求证:A+B=π2(2)求sinA+sinB的取值范围;(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,试确定实数x的取值范围.(1)证明因为sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,化简可得A=B或A+B=π2因为A≠B,所以A+B=π2(2)解由(1)可知A+B=π2,故sinA+sinB=sinA+sinπ2-A=sinA+cosA=因为0<A<π2,所以π4<A+所以1<2