2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数余弦函数的性质第2课时正弦函数余弦函数的单调性与最值分层演练新人教A版必修第一册

5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值A级基础巩固1.使函数y=3-2cosx取得最小值时的x的集合为 ()A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}B.{x|x=2kπ,k∈Z}C.{x|x=2kπ+π2,k∈D.{x|x=2kπ-π2,k∈答案:B2.已知函数y=cosx在区间(a,b)上是增函数,则y=cosx在区间(-b,-a)上是 ()A.增函数 B.减函数C.增函数或减函数D.以上都不对答案:B3.下列函数中,周期为π,且在区间[π4,π2]上为减函数的是 (A.y=sin(2x+π2B.y=cos(2x+π2C.y=sin(x+π2D.y=cos(x+π2答案:A4.多选题函数y=sinx-π2,x∈R在 ()A.区间-π2,π2上是增函数B.区间π2,π上是增函数C.区间[-π,0]上是减函数D.区间[-π,π]上是减函数解析:函数y=sin(x-π2)=-sin(π2-x)=-在区间[-π2,π在区间[π2在区间[-π,0]上是减函数,故选项C正确;在区间[-π,π]上不是单调函数,故选项D错误.故选B,C.答案:BC5.不通过求值,比较下列各组数的大小.(填“>”或“<”)(1)sin-37π6<sin49π3;(2)cos870°>sin980°.解析:(1)sin(-37π6)=sin(-6π-π6)=sin(-π6),sin49π3=sin(16π+π3因为y=sinx在区间-π所以sin(-π6)<sinπ3,即sin(-37π6)<(2)cos870°=cos(720°+150°)=cos150°,sin980°=sin(720°+260°)=sin260°=sin(90°+170°)=cos170°.因为0°<150°<170°<180°,且由y=cosx在0°<x≤180°时的单调性知,cos150°>cos170°,即cos870°>sin980°.6.已知函数f(x)=2cos(3x+π4)(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.解:(1)令-π+2kπ≤3x+π4≤2kπ,k∈可得-5π12+23kπ≤x≤-π12+23k故f(x)的单调递增区间是[-5π12+23kπ,-π12+23kπ]((2)当3x+π4=-π+2kπ,k∈即x=-5π12+23kπ(kf(x)取得最小值为-2.B级实力提升7.函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x-π6A.65C.35 D.解析:因为cos(x-π6)=cos[π2-(x+π3)]=sin(所以f(x)=15sin(x+π3)+sin(x+π3)=65所以函数的最大值为65答案:A8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对随意的x都有f(π3+x)=f(π3-x),则f(π3A.3或0 B.-3或0 C.0D.-3或3解析:因为f(π3+x)=f(π3-x),所以f(x)关于直线x=π3对称.所以f(π3)应取得最大值或最小值,即f(π3)=3或f(答案:D9.求下列函数的值域.(1)y=2sin2x+π3,x∈-π6,π6;(2)f(x)=1-2sin2x+2cosx.解:(1)因为-π6≤x≤π6,所以0≤2x+π3所以0≤sin(2x+π3)≤1,所以0≤2sin(2x+π所以原函数的值域为[0,2].(2)f(x)=1-2sin2x+2cosx=2cos2x+2cosx-1=2(cosx+12)2-3所以当cosx=-12时,f(x)min=-32,当cosf(x)max=3,所以该函数值域为[-32,3]C级挑战创新10.多空题已知函数f(x)=2sinωx(0<ω<1).若f(x)在区间[0,π3]上的最大值是2,则ω=34;若f(x)在区间[0,π3]上单调递增,则ω的取值范围是0解析:因为x∈0,π3,即0≤x≤π3,且0<ω<1,所以0≤ωx≤因为f(x)max=2sinωπ3=2,所以sinωπ3=22,ωπ由2k