2021-2022学年度高中数学期末考试卷

2021-2022学年度高中数学期末考试卷

试卷副标题

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数共有（）

A.48个B.60个C.72个D.120个

2.已知随机变量&服从正态分布N（OQ2）,若P（g>2）=0.023,则P（—2VJ42）=

（）

A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023

3.（2x-y）6的展开式中，项的系数是（）

A.30B.-30C.60D.-60

4.已知/（x）=--以在［1,+oo）上是单调增函数，则。的最大值是

A.0B.1C.2D.3

5.现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小

组，则不同的选法共有（）

A.150利1B.180种C.200种D.462种

6.已知随机变量X〜8(〃,p),且E(X)=4,£>(X)=2,则P(X=1)=()

A./B.gC,二D.[

2526

331

7.已知P(AB)=历,P(A)=-,P(B)=-,则P（5|A）=（)

9i-91

A.—B.—C.—D.-

502104

8.关于函数〃x）=5说法正确的是（）

A.没有最小值，有最大值B.有最小值，没有最大值

C.有最小值，有最大值D.没有最小值，也没有最大值

二、多选题

9.关于（7-x），的展开式，下列判断正确的是（）

A.展开式共有8项B.展开式的各二项式系数的和为128

C.展开式的第7项的二项式系数为49D.展开式的各项系数的和为6,

10.已知X的分布列如下表所示，则下列说法正确的有（）

X012

Pa

34

5?

A.P（X=2）=—B.P（X>0）=-C.E（X）=1

D.尸（X=O）<P（X=2）

11.在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3

件，则下列结论正确的有（）

A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；种

B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；种

C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；+C；C；+C；种

D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

12.已知。>0,6>0且e"+ln人>〃+人，则下列结论一定正确的是（）

A.a>bB.ea>bC.ea+b>2D.a+ln〃>0

第口卷（非选择题）

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三、填空题

13.从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选

法有种.

14.已知/'（x）是函数〃x）=2lnx+x2+x的导函数，则/（1）+/'（2）=

is.在（i+xy+（i+xy展开式中，含/的项的系数是.

16.已知某种袋装食品每袋质量X~N（500,16）,则随机抽取10000袋这种食品，袋装

质量在区间（492,504］的约袋（质量单位：g）.（附：X〜则

P（N-<y<X<jn+（y）=0.6827,-2（J<X<p+2a）=0.9545,

P（4-<X,,〃+3b）=0.9973）.

四、解答题

17.从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛.

(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？

(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？

(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1

人，那么有多少种派送方式？

18.某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了6次球.

(1)求恰有4次命中的概率：

(2)求至多有4次命中的概率；

(3)设命中的次数为X,求£(才).

19.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等：

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256.

问题:(〃>0)的展开式中,

⑴求”的值；

(2)若其展开式中的常数项为112,求其展开式中系数的绝对值最大的项.

InX

20.已知函数f(x)=a/+'.

x

(1)当4=0时，求函数/*)的单调区间；

(2)证明：当。=-■^时，g(x)=A/(x)+x在(0，+8)有两个零点.

e

21.假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为g.现有3个篮球，该运动员中准备投

篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完(不重复使用).设耗用篮球数为

X,求：

(l)x的概率分布列；

(2)均值E(X).

22.已知函数〃x)=/(x+l).

(1)求函数f(x)的极值;

(2)若函数g(x)="x)-3e，-,”有两个零点，求实数小的取值范围.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

先排个数，再排其余的数位即可.

【详解】

解：首先排个位数，从1,3,5中选择，所以有3种选择，

再排其他四位数，有A：=24种选法，所以其中奇数的个数为3x24=72.

故选:C.

2.B

【解析】

【分析】

随机变量。服从正态分布N（0,4）,依据正态曲线的性质去求P（-24J42）即可

【详解】

随机变量&服从正态分布N（0,/），

若外§>2）=0.023,则依据正态曲线的性质有

P（-2<^<2）=1-2P（^>2）=1-2x0.023=0.954

故选：B

3.C

【解析】

【分析】

由二项式定理求解

【详解】

由题意（+1=晨（2幻〜（-y）"当厂=4时，X?寸项的系数是15x4=60

故选：C

4.D

【解析】

【分析】

答案第1页，共12页

由/（X）=--如在［1,+8）上是单调增函数，得到在［1,+8）上，f（x）K）恒成立，从

而解得好3,故。的最大值为3.

【详解】

解：.../（x）=--狈在［1,+00）上是单调增函数

•*./（x）=3/-位0在［1,+oo）上恒成立.

即a<3x2

Vxe［l,+oo）时,3企3恒成立

：.a<3

的最大值是3

故选D.

【点睛】

本题主要考查三次函数的单调性的应用、不等式的解法、恒成立问题的解决方法等基础知

识，考查了运算求解能力，化归与转化思想.

5.C

【解析】

【分析】

根据分步乘法计数原理，结合组合数的运算公式即可求解.

【详解】

先从6名男医生中选出3名男医生，再从5名女医生中选出2名女医生，

根据分步乘法计数原理可得，不同的选法共有C：C；=200种.

故选：C

6.C

【解析】

【分析】

根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出〃，夕的值，进而可求.

【详解】

由二项分布的方差和期望公式可得：

7r解得PJ,〃=8,则P（X=I）=C；M0H4

［D（X）=/?p（l-p）=22812）U；2825

答案第2页，共12页

故选：c

7.B

【解析】

【分析】

根据条件概率公式计算可得;

【详解】

3

W一

-

3

2

5-

故选：B

8.A

【解析】

【分析】

对函数求导，利用导数求解函数的最值即可

【详解】

解：函数的定义域为R，

e'-xe*1-x

由〃力=3，得,3=

当xvl时,/(x)>0,当x>］时,/(x)<0,

所以f（X）在（7）,1）上单调递增，在（1,4W）上单调递减,

所以当X=1时，/（X）取得最大值，/*）没有最小值,

故选：A

9.ABD

【解析】

【分析】

根据二项式定理的性质逐项判断即可.

【详解】

展开式共有7+1=8项，故A正确.

展开式的各二项式系数的和为2?=128,故B正确.

答案第3页，共12页

展开式的第7项的二项式系数为C；=C；=7,故C错误.

展开式的各项系数的和为（7-"=6,，故D正确.

故选：ABD.

10.ABD

【解析】

【分析】

先求出。的值，再求出概率和期望即得解.

【详解】

解：由题得汨+a=1,二4=卷，所以P（X=2）*,所以选项A正确；

P（X>0）=；1+15=：2,所以选项B正确；

E（X）=lx；1+2x底5若13,所以选项C错误；

由题得P（x=o）〈尸（X=2）,所以选项D正确.

故选：ABD

11.ACD

【解析】

【分析】

抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步

计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做

法：（i）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合

格；然后利用分类计数法求解.（ii）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所

求.由此判断CD正确

【详解】

解：由题意得：

对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取

1件有C；种取法，7件合格品种抽取2件有C；种取法，故共有C；C；中取法，故A正确；

对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件

产品中有1件不合格、有2件合格，共有C；C；种取法；②抽取的3件产品中有2件不合

答案第4页，共12页

格、有1件合格，共有C；c；种取法；③抽取的3件产品都不合格，C；种取法.故抽出的3

件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；+C；C；+C；种，故B错误，C正确；

对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有C：。，抽出的3件产品中全部合格的取法有

利抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有利I故D正确.

故选：ACD

12.BC

【解析】

【分析】

利用特殊值法可判断AD选项的正误；构造函数/(x)=x-lnx,分析函数f(x)的单调

性，分61、0<5<1两种情况讨论，利用函数/(x)的单调性可判断B选项的正误；证明

对数平均不等式：对任意的々、占€亡且玉#七，7A二^<五卢，利用对数平均不

等式可判断C选项的正误.

【详解】

对于A选项，取a=2,b=e,则e"+lnb=e2+l>2+e=a+b,但。>6不成立，A选项错

误；

对于B选项，由e"+lnb>，+b可得e“-a>b-ln6,即e"—Ine">6-ln6,

1_1

构造函数/(x)=x_lnx,其中X>0,r(x)=l_：=r

当O<X<1时，r(x)<0,此时函数F(x)单调递减，

当工>1时，r(x)>o,此时函数“X)单调递增，

①若621,则函数“X)在［，«»)上单调递增，由e"—lnd'>b-ln匕可得/(e")>〃b)，

且e">l,故e">b;

②若0<人<1,则〃<e".

综上，e">b,B选项正确；

先证明对任意的41、/€/?*且工产/,

/Inx,-Inx22

答案第5页，共12页

2但一1]

不妨设占>々，即证加工>2(、「±)=工~L,

X2尤|+々五+1

%

令，=2>1,即证inf-"二D>0,

三f+1

令g(f)=ln/_2«；),则g()=；_42=;I[〉。，

'，t+\t(r+l)(+1)

故函数g(。在(1，依°)上为增函数，当"1时，g(f)>g⑴=0,

,_,.X,-X,X.+X,

所以，对任意的4、x,eR且X产了2，；----「一<―L，

•Inxt-Inx22

因为e"-Ine">b-ln/?,则e"-b>Ine"-Inb,

ahpa-h

所以，P+>1,可得e"+6>2,C选项正确.

2\nea-\nb

对于D选项，取a=2,b=：,则e"+ln〃=e2-3>2+4=a+Z>,

ee

但a+lnh=2-3<0,D选项不正确.

故选：BC.

【点睛】

思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

(1)判断各个数值所在的区间；

(2)利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.

13.25

【解析】

【分析】

计算反面全是男生的方法数，运用排除法即可

【详解】

从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法数为C；=35

从5名男生和2名女生中，选出3名代表全是男生的方法数为C；=10

所以从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生的方法数为

35-10=25

故答案为：25

答案第6页，共12页

14.8

【解析】

【分析】

求出导函数，从而可得出答案.

【详解】

解：因为/(x)=21nx+d+x,所以尸(x)=：+2x+l,所以/(l)+/'(2)=8.

故答案为：8.

15.30

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式可求不的项的系数

【详解】

(1+》)5的展开式的通项公式为&|=(2；/，故该展开式中V的项的系数为C：；=10,

(1+x)6的展开式的通项公式为\+,=C**,故该展开式中『的项的系数为C：=20,

故在(l+xY+(l+x)6展开式中，含V的项的系数为30,

故答案为：30.

16.8186

【解析】

【分析】

根据正态分布的对称性及3b原则求出P(492vXW504)=0.8186,从而求出袋装质量在区

间(492,504］的约有10000x0.8186=8186袋.

【详解】

由题意得：^(500-4<X<500+4)=0.6827,

P(500-8<X<500+8)=0.9545,

贝ijP(492<X<496)=89545-0.6827=。1359,

2

故P(492<X<504)=0.1359+0.6827=0.8186,

则袋装质量在区间(492,504］的约有10000x0.8186=8186袋.

故答案为：8186

答案第7页，共12页

17.(1)60

(2)91

⑶14

【解析】

【分析】

(1)用组合知识直接求解；(2)先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男

生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；(3)分两种情况进行求解，再使用

分类加法计数原理进行求解.

(1)

从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，C；C：=60,故有60种选法；

(2)

若小王和小红均未入选，则有C；=35种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人

入选，则有C；-C；=126-35=91种选法；

(3)

若2个考点派送人数均为2人，则有=6种派送方式，

若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有=8种派送方式，故一共有

8+6=14种派送方式.

18.(1)0.324135

(2)0.526225

⑶4.2

【解析】

【分析】

(1)利用〃次独立重复试验概率计算公式，即可求出恰有4次投中的概率.

(2)利用〃次独立重复试验概率计算公式，即可求出至多有4次投中的概率.

(3)由题意可知X~8(6,0.7),根据二项分布的期望公式即可求出结果.

(1)

解：(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,则未命中的概率为1-0.7=0.3,

现投了6次球，恰有4次投中的概率为：P=(^x(0.7)4x(1-0.7)2=0.324135.

答案第8页，共12页

(2)

解：至多有4次投中的概率为：

2=C：x0.36+C：x0.7,x0.35+C；x0.7?X0.34+C：x0.73x0.33+C：x0.74x0.32=0.526225.

(3)

解：由题意可知X〜8(607),所以E(X)=6xO.7=4.2.

19.(1)答案见解析

(2)।792X3或—1792%4

【解析】

【分析】

(1)选择①，②或③，利用二项式系数的有关性质求出"=8；(2)根据二项式展开式的通

项公式和常数项求出。的值，从而列出不等式组，求出24r43,得到展开式中系数的绝对

值最大的项.

(I)

选①，c：=C，所以

“=2+6=8；

选②，第5项的二项式系数最大，所以］=4,解得：n=8；

选③，二项式系数的和为2"=256,解得："=8.

(2)

二项式以-于］(〃>0)展开式的通项公式为：

(a4

&=G(ax)j2=(T)/C；x3，

\7

4,

当8-丁=0时，r=6,(-1)-a8-6-C*=28a2=112,

解得：a2=4.a=2(负根舍去).

假设第r+1的系数的绝对值最大，则C；2i>C『2A且C；2〜>C俨2A

解得：24r43,

1616

当r=2时，4=(-I?26C^xy=1792xy，

答案第9页，共12页

当r=3时，7；=(-1)325C^4=-1792X4,

所以展开式中项的系数的绝对值最大的项为1792X号或T792Y

20.(1)单调递减区间为(自+8),单调递增区间为(O,e)；(2)证明见解析.

【解析】

(1)当。=0时，得到函数f(x)=W，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；

(2)求得函数的导数g'(x)=(l+x)(』-e'-2)=o,得到•1=6-,设满足1=靖一2,得至!|

XXX

%e(l,2),进而得到g(x)在(0,%)上为增函数，在(X。,+8)上为减函数，结合零点的存在定

理，即可求解.

【详解】

(1)当4=0时，函数〃力=叱，可得/'(幻=上誓，

XX

令/'(x)>0,即解得0<x<e；

X

令/'(x)<0,即匚坐<0,解得e<x,

x

所以函数fM单调递减区间为(e,+00),单调递增区间为(0,e).

(2)由函数g(x)=-xe*+lnx+x,可得定义域为xw(。,x»),

又由g")=(1+x)(L_e-)=0,即1=e-,

XX

设与满足，=e"2,g|J—=^-2,可得与e(l,2),

X/

当XG(0,X°)时,g,x)>0,g(x)单调递增；

当xe(x°,+8)时，g,(x)<0,g(x)单调递减，

即函数g(x)在(0,%)上为增函数，在(X”+8)上为减函数，

由g)=一入胆、"-+InXQ+JCQ=_jfg---1-Inc~L<>+XQ=_1+2_x。+=]>0,

%

2211--2J

g(e2)=—e2e'+lne-+/=2+/—e""<0，g(—)=—d-1+—<0,

eee

所以g(x)在(0,+8)上有两个零点.

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

答案第10页，共12页

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为

从“X）中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件

构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常

解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符

合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

21.(1)

X123