高中数学人教A版 习题课时提升作业(十三) 132

课时提升作业(十三)

习题课一函数奇偶性的应用

15分钟基础练Q5分钟30分)

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.若点(-L3)在奇函数y=f(x)的图象上厕f(l)等于()

A.OB.-lC.3D.-3

【解析】选D.由题意知,f(-l)=3,因为f(x)为奇函数所以-f⑴=3,f⑴=3

2.已知函数f(x)=x，则下列描述中，正确的是()

A.它是奇函数，且在(0,+8)上单调递增

B.它是偶函数，且在(0,+8)上单调递增

C.它是奇函数，且在(0,+8)上单调递减

D.它是偶函数，且在。+8)上单调递减

【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知，该函数是偶函数，且在(0,+8)上单调

递增.

【补偿训练】若函数f(x)=x3(x£R)厕函数y=f(-x)在其定义域上是()

A.单调递增的偶函数B.单调递减的奇函数

C.单调递减的偶函数D.单调递增的奇函数

【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数，所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数，因为

f(x)=x3单调递增，所以y=-x3单调递减.

3.(2015唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间［2,5］上的最小值是6,那么f(x)在区

间［-5,-2］上有()

A.最小值6B.最小值-6

C.最大值-6D.最大值6

【解析】选C.因为奇函数6)在［2,5］上有最小值6,所以可设a£［2,5］,有f(a)=6.

由奇函数的性质,f(x)在［-5,-2］上必有最大值，且其值为f(-a)=-f(a)=-6.

【补偿训练】如果偶函数在［a,b］上具有最大值，那么该函数在［-b,-a］

上()

A.有最大值B.有最小值

C.没有最大值D.没有最小值

【解析】选A.偶函数图象关于v轴对称，在［a,b］上具有最大值，那么该函数在［t-

a］上也有最大值.

二、填空题(每小题4分，共8分)

4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示，则f(a)+f(-a)=.

【解析】由图象知f(x)是奇函数,

所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=O.

答案：0

5.(2015・威海高一检测)如果定义在(-8,0)U(0,+8)上的奇函数f(x)在

。+8)内是减函数，又有f(3)=0,则x-f(x)<0的解集为.

【解析】由题意可画出函数f(x)的草图.当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0

时,f(x)>0,所以x<-3.

综上x>3或x<-3.

答案:{x|x<-3或x>3}

三、解答题

6.(10分)已知f(x)是奇函数且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.

【解析】因为x<0,所以-x>0,

所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.

又因为f(x)为奇函数，

所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|

=x|x+2|.

故当x<0时,f(x)=x|x+2|.

2"旋"(15分钟30分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2014新课标全国卷I)设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是

偶函数，则下列结论正确的是()

Af(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x>g(x)|是奇函数

【解析】选C.设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是

奇函数，故A错，同理可知B,D错,C正确.

2.已知f(x)是定义在(-8,+8)上的奇函数，且f(x)在［0,+8)上是减函数则下列关

系式中，正确的是()

A.f(5)>f(-5)B.f(4)>f(3)

C.f(-2)>f(2)D.f(-8)=f(8)

【解析】选C.f(x)在。+8)上是减函数且是奇函数,所以当x>0时,f(x)<f(0)=0;

当x<0时,f(x)>f(0)=0.

【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数在(RO］上是减函数且f⑵=0,

则使得f(x)<0的x的取值范围是()

A.(-8,2)B.(-2,2)

C.(2,+8)D.(-8,-2)U(2,+8)

【解析】选B.由题意知f(-2)=f⑵=0,

当x£(-2,0］时,f(x)<f(-2)=0,由对称性知,x£［0,2)时,f(x)为增函数f(x)<f(2)=0,

故x£(-2,2)时,f(x)<。

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.(2015•信阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)在(-5,+8)上为减函数且函

数y=f(x-5)为偶函数设a=f(-6),b=f(-3)厕a,b的大小关系为.

【解析】因为函数y=f(x-5)为偶函数，所以图象关于x=0对称，

又因为由y=f(x-5)向左平移5个单位可得函数y=f(x)的图象，

所以y=f(x)的图象关于x=-5对称，

因为函数f(x)在(-5,+河上为减函数，

所以a=f(-6)=f(-4)>b=f(-3),

所以a>b.

答案:a>b

4.定义在R上的偶函数f(x)在［0,+8)上是增函数则方程f(x)=f(2x-3)的所有实

数根的和为.

【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,

所以x=3或x=l,

所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.

答案：4

三、解答题

5.(10分)(20分•宿州高一检测)已知分段函数f(x)是奇函数x£(0,+8)时的解析

式为f(x)=^-.

X।JL

⑴求f(-l)的值

(2)求函数f(x)在(-8,0)上的解析式.

⑶判断函数f(X)在。+8)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.

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【解析】(l)f(-l)=-f⑴=-五1二-5.

(2)任取x£(-8,0)厕-x£(0,+8),

所以《刈二高，

-X十_L

因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),

所以-f(x)=3r，

所以f(x)=7£r/xe(-oo0).

XiXz

⑶函数f(x)在区间(0,+8)上是增函数，证明如下：

任取XI,X2为区间。+8)上的两个不相等的实数，

且X1<X2,

则f(X2)-f(xi)==Y--七

X2+1X1+1

=X2X1+X2-X2X1-X1二X2-Xi

(X2+l)(X1+l)(X2+l)(X1+l)

因为Xl>0,X2>0,

所以(X2+l)>0,(X