【模拟试卷】期末复习模拟六（选择性必修一、选择性必修第二册数列）

高二期末模拟试题六高二数学期末模拟六

范围(选择性必修一+数列)

一、单选题

1.已知直线/：(m+3)x+(m-2)y-m-2=0,点A(—2,—1),3(2,—2),若直线/

与线段A3相交，则心的取值范围为()

3

A.(―8,—4]u[4,+co)B.(—2,2)C.[,8]

2

D.(4,+8)

2.已知等差数列｛4｝的公差为正数，且。3・。7=-12,%+。6=-4,则$20为()

A.-90B.-180C.90D.180

3.设O—A5c是正三棱锥，G]是的重心，G是。G1上的一点，且OG=3GG],

若而=xZH+y砺+z文，贝!Jx+y+z=().

113

A.—B.—C.—D.1

424

4.已知A(l,—2,3)、3(2,1,—1)两点，则直线与空间直角坐标系中的yOz平面的

交点坐标为()

5171

A.(0,0,0)B.(0,-5,7)C.(j,0,-)D.(-,-,0)

5.已知圆C与直线x—y=0及%—V一4=。都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C

的方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

22

6.已知椭圆++==1（。〉6〉0）的左焦点及，过点耳作倾斜角为30°的直线与圆

%2+/=b2相交的弦长为后b，则椭圆的离心率为（

正

7.已知数列｛4｝的前〃项和为S”,q=2,S,+|=4a“+S“，则%,=（）

8.已知双曲线、-1=l（b>0）的左右焦点分别为《、F2,过点此的直线交双曲

线右支于A、3两点，若AA期是等腰三角形,且NA=120。.则AAW的周长为（）

、多选题

9.（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张

丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世

纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问

日益几何？其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，

每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天

起，每天比前一天多织多少尺布？已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，

记该女子这一个月中的第〃天所织布的尺数为4,d=2册，对于数列｛4｝、｛〃｝,

下列选项中正确的为（）

A.瓯=幽B.也｝是等比数列

03+/+%209

C.他0=105

%+。4+〃6193

10.记数列｛丽｝的前“项和为S”若存在实数H,使得对任意的"CN+,都有

则称数列｛丽｝为“和有界数列”.下列说法正确的是（）

A.若｛斯｝是等差数列，且公差k0,则｛丽｝是“和有界数列”

B.若｛斯｝是等差数列，且｛斯｝是“和有界数列”，则公差d=0

C.若｛丽｝是等比数列，且公比则｛斯｝是“和有界数列”

D.若｛”“｝是等比数列，且｛”“｝是“和有界数列"，则｛”“｝的公比时々

11.定义空间两个向量的一种运算万⑤5=1同・归卜也〈万,5），则关于空间向量上述运算

的以下结论中恒成立的有（）

A.区B）=（X万）（8）5

B.M（g）5=5（8）万

C.（M+5）（8）］=（M（8）^）+（5（8）个）

D.若a=（%，K）,b=（x2，y2）,贝！Ja®b=\^2-x2y\

21

12.已知产是椭圆C：v土+/=1上的动点，。是圆。：（x+l）2+y2=—上的动点,

65

则（）

A.C的焦距为石B.C的离心率为叵

6

C.圆。在C的内部D.IPQI的最小值为拽

5

第H卷（非选择题）

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三、填空题

13.已知过点p（4,l）的直线/与X轴，y轴的正半轴分别交于A、3两点，。为坐标

原点，当AAOB的面积最小时，直线/的方程为.

14.一条光线从点（—2,1）射出，经X轴反射后与圆（X—3）2+（y—4）2=1相切，则反

射光线所在直线的斜率为.

15.如图所示，在正四棱柱ABCD—4gGR中，A4=2,AB=BC=1,动点P、

。分别在线段a。、AC上，则线段PQ长度的最小值是.

16.已知数列｛a,｝与也｝前n项和分别为,T.,且〉0,2s卬=a；+，〃eN*，

,2"+1

b，1=（2"+a）（2n+l+a）,对任意的"eN*，恒成立'则Z的取值范围是

四、解答题

17.已知直线/:3x—2y—6=0.

（1）若直线4过点M（L-2）,且/?/,求直线人的方程；

（2）若直线////,且直线4与直线/之间的距离为加，求直线4的方程.

2222

18.已知圆C]:x+y-2%-6_y-1=0C2:x+y-10x-12_y+45=0.

⑴求证：圆G和圆02相交;

(2)求圆G和圆Q的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

19.记S,为等差数列｛叫的前〃项和.已知星=-%.

(1)若%=4,求｛?｝的通项公式；

(2)若％〉0,求使得S02%,的〃的取值范围.

20.设等比数列｛4｝的公比为心S”是｛4｝的前“项和，已知q+2,2a2,%+1成

等差数列，且$3=4?-1,q>\.

(1)求｛4｝的通项公式；

n

(2)记数列一的前〃项和为7“，若4-4=5+2)5〃成立，求".

21.如图，在长方体ABCD—A4G2中，AD=A&=1,AB=2,点E在线段AB

上.

(1)求异面直线。也与4。所成的角;

(2)若二面角R-EC-。的大小为45。，求点8到平面2EC的距离.

22.已知椭圆。：与+《=1(。〉6〉0)的离心率为告，且椭圆。的右顶点到直线

x-y+y/2=0的距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点尸（2,0）的直线/与椭圆。交于A，B两点,求△Q4B面积的最大值（。为坐

标原点）.

参考答案

【详解】

直线/方程变形得：(x+y-l)m+(3x-2y-2)=0.

x=—

x+y-l=O4j_

.得.•.直线/恒过点C

[3x-2y-2=Q

.=5_=」

L4-7

113

由图可知直线/的斜率上的取值范围为：k<—一或左2—,

m+311m+33--

:.-------<或------->—,即2(加〈8或——<m<2,

m—26m-272

4

又m=2时直线的方程为x=仍与线段A5相交，

-3'

，加的取值范围为一彳，8.

2

故选：C.

解：由等差数列｛«„｝的公差为正数可得等差数列｛4｝为递增数列，

%+《=—4,

。3+。7=-4,与。3•。7=—12联立，由于公差为正数，二解方程组可得。3=—6,%=2,

...d_3——^2.=2,a.—a^—2d——6—2x2——10,

7-3

S20=20al+2d=20X(—10)+\x2=180.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前几项和的计算，是基础题.

3.C

【详解】

如下图所示，连接A。并延长交8。于点。，则点。为的中点，

___.?—-

•••G1为AABC的重心，可得AG】=gAD,

而历=砺+而=砺+^^^砺+^（反_网=3（砺+的,

O^=OA+A^=OA+|AD=OA+|（OD-OA）=|OA+|OD

=砺+：?砺+反）=1砺+砺+反），

—•3——•3（1—•1―-1—■>1--1―-1--

所以，OG=—OG[=--OA+-OB+-OC\^-OA+-OB+-OC,

4i4（333J444

13

所以，x=y=z=—,因此，x+y+z=—.

故选：C.

4.B

解：设直线A3与平面yOz的交点为P（0,弘，Z1）,

（方法一）,:A、B、耳三点共线，则通〃诟，

-2,3）、B（2,l,-1）,

.♦.亚=（—l，X+2,z「3）,AB=（1,3,-4）,

则3以了=幺不，解得卜=：,

13-4E=7

贝!!尸(0,—5,7),

(方法二)VA>B、［三点共线，则的=4•厉+(1—4)•砺,

则(0,%,Z])=4•(1,—2,3)+(1-2)-(2,1,-1),

0=4+2—2A=2—AA=2

则%——2X+1—A=1—3A.,解得%=-5,

zx=32—1+2=42—14=7

贝U尸(。，一5,7),

故选：B.

5.B

【详解】

圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、O；

验证：A中圆心(-1,1)到两直线x—y=0的距离是号=3；

圆心(―1,1)到直线x—y—4=0的距离是g=3后W&.故A错误.

故选:B.

6.B

【解析】

过点右倾斜角为30°的直线方程为：j=—(x+c),即x-Hy+c=0,

则圆心(0,0)到直线的距离：d=-^L=^

由弦长公式可得：2a2_[=回,

整理可得：〃=。2,.〃一。2=。2,〃=2。2

1J2

贝n!II：e92=—,e=-

22

本题选择5选项.

7.B

【详解】因为S〃+]=4%+S〃，所以Sm—S〃=4%,

即%=4%,且％二2，

所以数列｛q,｝是以2为首项，4为公比的等比数列,

所以4=2X4"T=22"T,

故选：B.

8.A

【详解】双曲线的焦点在x轴上，则。=2,2。=4；

设|4鸟|=〃2,由双曲线的定义可知：|4£|=|4£：|+2。=4+根,

由题意可得：IAF]\=\AB|=|AF2\+\BF2\=m+\BF2\,

据此可得：\BF2\=4,又，.•.|B片|=2a+|86|=8,

△ABH由正弦定理有:盘^盘，即।明N“

所以8二6（4+加），解得：加=86—12

3

所以AA5耳的周长为:

|4片|+|5年|+|40=2(4+m)+8=16+2义8*—12=8+竽

故选：A

9.BD

【详解】由题意可知，数列｛4｝为等差数列，设数列｛4｝的公差为d,4=5,

由题意可得30%+30；%/=39。,解得d=!|,

,,、116〃+129

/.%=〃]+(〃_l)a=---------,

b2""+i

Q2=2%,常=万丁=2%F=2d(非零常数)，

则数列｛bn｝是等比数列，5选项正确；

v5J=5x—=—^3,驾=(2"『=25"W23,/84，A选项错误;

2929&''

生。=%+29d=5+16=21,/.〃]Z?3o=5x221>105,C选项错误;

-%+3d=5+3x曳=些，%=%+4〃=5+4x33

4129292929

d+4+a.3a.a.209

所以‘=能=/=£=而'0选项正确.

故选：BD

10.BC

【详解】｛4｝是等差数列，公差为d,则S,,=〃4+若

A.1=0,则5“=〃%,若qNO,则〃—十»时，|S“|3+8,｛“"｝不是"和有界数列”，

A错;

B.若｛诙｝是“和有界数列"，则由|s“|=3〃2+（q—（”知a=0,勾一&=0,即

2222

%=d=。,B正确；

C.｛斯｝是等比数列，公比是4，贝!]Sn=4（1-/），若M<1,则〃—”时，S"一n,

\-qy-q

根据极限的定义，一定存在〃>0,使得|s」<〃，对于任意〃eN*成立，C正确；

a,,n=2k-l||||

D.若q=-l,%/0,则S“=："，/eN*）,S“<2同，｛”“｝是“和有界数

0,n=2k

列“，D错.故选：BC.

11.BD

解：对于A：力（汗区9=九（同.„!!（万,5》，（4万）（8）5=回同.忸„4万,，

故4,（8）5）=（X万）（8）5不会恒成立；

对于5,a（8）1=同卡卜山（万,5），b®a=^by\a\sin（b,a^,故万区行=4区三恒成立;

对于C若£=高,且干>0,（日+5）因m=（1+4啊.同sin（5,0,

（a®c）+^®cj=k可-|c|sin（b,c^+（-|c|sin（5,=（1+X）忖.同sin",

显然（1+5）■=（万（8）小（5（8）。不会恒成立；

(

对于0,co,(叫一同啊sin(a,b

\｛同W

/、2/、2

即有万区5=同.|年]_%1%2+%%I2%％2+必％

【同"〔同J

=卜1%-%2%|・

则2(8)3=|九-恒成立.

故选：BD.

12.BC

【详解】

由工+丁=1可知，1=6/2=1,。2=5,则焦距2c=2百，离心率e=£=g=画；

6-aa6

设P(尤,y),圆心。(—1,0),半径为厂=¥，

则|PD|=J(x+iy+y2=J(x+l)2+]_:=++g>g,故圆O在C的内

部；

当p。取最小值t时，IPQI的最小值为n9,

综上所述，选项BC正确,

故选：BC

13.x+4y—8=0

【详解】

由题意可知，直线/的斜率存在且不为零，

可设直线/的方程为y—1=左(尤—4),即丁=米+1-必.

4"]

在直线/的方程中，令x=0,可得y=l-4左；令y=0,可得％二-----.

k

,j。，

即点4竽,。)

、3（0,1-4左）由题意可得＜k，解得左＜0,

1—4人〉0

△AOB的面积为

141

$△408=­X---------x=8,

2k

当且仅当—工=一16左(左＜。)时，即当左=—,时，等号成立,

k4

所以，直线/的方程为y-l=-*-4),即x+4y-8=0.

故答案为：x+4y-8=0.

43

14.

【详解】点(-2,1)关于x轴的对称点为(—2,—1),则反射光线过点(—2,—1),

设反射光线所在直线为y+l=k(x+2),即Ax—y+2左一1=0,

|3上—4+2%-1|43

二圆心到直线距离——I=—[=1,解得：左=—或左==,

VF7T34

43

•••反射光线所在直线的斜率为；或二.

34

43

故答案为：；或一.

34

【详解】由题意可知，线段PQ长度的最小值为异面直线G。、AC的公垂线的长度.

如下图所示，以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、》、z轴建立空

间直角坐标系，

则点4（1,0,0）、C（0,l,0）,G（0,1,2）、£＞（0,0,0）,

所以，AC=(-1,1,0),"=(0,1,2),B4=(1,0,0),

设向量〃=(x,y,z)满足5_1_恁，n±DQ,

x=y

ft-AC=—x+7y=0

由题意可得__解得《yf取y=2,则x=2,z=—1,

n-DC、=y+2z=0z=---

2

可得〃=(2,2,—1),

।__.IDA-HI2

因此JPQL=T=『

2

故答案为：—.

3

,1

16.k>-

3

【详解】

因为2s“=q：+a“，

所以当〃22,〃eN*时，2sl=«„-i2+%,

两式相减得：2a“=aj+an-aa_J一>

整理得,(%—-1)(4+)=。,

由。〃>0知，an+an_x。0,

从而cin—dn_x-1=0,

即当〃22,〃£N*时，an-an_x=1,

当九二1时，2〃]=〃；+〃],解得q=]或0(舍)，

则｛4｝首项为1,公差为1的等差数列，

则4=l+(〃—l)xl=〃.

2〃+111

fi|r以b=-------------------=-------------------

"(2"+〃)(2"+1+〃+1)T+n2n+i+n+l

…，，,111111

z，12"366112"+〃2n+1+n+l

111

-------:------<一

32"+1+n+l3

所以餐.

故答案为：k>—.

17.【详解】(1)因为直线/的方程为3x—2y—6=0,所以直线/的斜率为3士.

2

2

因为4，/,所以直线4的斜率为一§.

9

因为直线4过点”(1,—2),所以直线4的方程为y+2=—§(x—1),即2光+3y+4=0.

(2)因为直线与直线/之间的距离为旧，所以可设直线/2的方程为3x-2y+m=0,

|772+6|-

所以的2)2="3,解得/"=7或加=一19.

故直线"的方程为3尤-2y+7=0或3x-2y-19=0.

18.【详解】⑴圆G的圆心£。,3),半径4=&1,

圆。2的圆心G(5,6),半径々=4,

两圆圆心距d=|GG|=5，4+弓=拒+4,|彳一回=4一而，

所以卜一目<d<(+弓，圆G和02相交；

⑵圆G和圆。2的方程相减，得4x+3y—23=0,

所以两圆的公共弦所在直线的方程为4%+3y-23=0,

圆心G（5,6）到直线4x+3y—23=0的距离为:

|20+18-23|--------「

d=।।=3,故公共弦长为2g5=2币.

19.【详解】(1)设｛4｝的公差为d.

由S9=9(%；/)=9a5=―生得:%=°，,2d=%—%=—4,解得：d=—2,

—3)d—4—2(〃—3)——2Tl+10；

(2)由(1)知：a5=09即％+4d=0,，％=-4d,又生>。，/.d<0,

:.an-Oy+(H-l)d=Yd+(〃-l)d=(〃-5)d,Sn=二〃(:9)4,

〃一9)

由S“2a“得：-21di(n-5)d,由d<0得：n2-11Z7+10<0，

解得：1W〃W1O,又〃eN*，二〃的取值范围为｛HlK〃<10,〃eN*｝.

20.【详解】因为q+2,2a°,%+1成等差数列，

所以4a2=q+2+“3+1=4+“3+3，即4%[=47]+qq2+3,①

由S3=4%-]可得(+=4qq_],即％_3qq+%q2+]=0,②

联立①②及q>l解得q=1,4=2,

所以%=2小.

nn

(2)由(1)知一=夕工，

a”乙

所以北=:+»…+畀

112n-1n

5小吩+初+…+产+/

两式相减得=*：+'+…+击—右

i-X

所以卜=T」=2-3,所以T=4-驾•

2112"2"n2"T

1----

2

又因为S〃=上2=2"—1,

"1-2

所以4-7；=（〃+2）S〃可化为*=2"-1,即2"-'.（2"—1）=1,

可变形为（2"）2—2〃—2=0,整理得（2"—2）（2"+1）=0,解得“=1.

21.【详解】分别以ZM、DB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

（1）由A。，0，1），得9=。,0,1），

设石（1,。,0）,又2（0,0,1）,则球

■-D^^E=l+0-l=0,:.DA^±^E,则异面直线与所成的角为90。;

（2）平面DEC的一个法向量为加=（0,0,1）,

设平面CEB的一个法向量为n=（x,y,z）,设点E（l,a,0）,其中0WaW2,则C（0,2,0）,

用=(0,-2,1),CE=(l,«-2,0),

n-CD.=—2y+z=0-

由/c、八，令y=l，则x=2—a,z=2,...〃=(2—a,l,2),

n-CE=x+^a-2)y=0

I