高中数学人教A版2019必修 第二册-习题2：高中数学人教A版2019必修 第二册 古典概型 公开课教学设计课件资料

10.1.3古典概型-【新教材】人教A版（2019）

高中数学必修第二册同步练习（含解析）

学校:姓名：班级：学号：

一.选择题

1.已知数据1,2,3,4,%（0<%<5）的平均数与中位数相等，从这5个

数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（）

A.-2B.-13C.-D.—7

52510

2.某校高二年级四个文科班要举行一轮单循环（每个班均与另外三个班比

赛一场）篮球赛，则所有场次中甲、乙两班至少有一个班参加的概率是

（）

A.-B.-C.-D.-

3236

3.大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球.若从中任取2个，则事

件“至少有1个红球”所包含的样本点个数为（）

A.5B.7C.8D.10

4.每年的3月5日为学雷锋纪念日，某班有青年志愿者5名，其中男生3

人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选

出的2名青年志愿者性别相同的概率为（）

A.-3B.2-C.1-3D.—

55510

5.A,B,。三人同时参加一场活动，活动前4,B,C三人都把手机存放在

了4的包里.活动结束后6,。两人去拿手机，发现三人手机外观看上去

都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己

手机的概率是（）

A.-11B.-2C.-D.-1

2336

6.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,

5,6）,骰子朝上的面的点数分别为x,%则1"方》=1的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

636122

7.古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，

木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽

取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为（）

8.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出

的三条线段为边可组成三角形的概率为（）

A.0B.-11C.13D.-

424

9.现有7名数理化成绩优秀者，分别用&,4,4,Bi，巳，Ci，G表示，

其中4，A2,4的数学成绩优秀，B2的物理成绩优秀，G，的化

学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个

小组代表学校参加竞赛，则久或当仅一人被选中的概率为（）

121s

A.-B.-C.-D.-

3526

10.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每

一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6556

11.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰

子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获

胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，

这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12

张游戏牌的分配合理的是（)

A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张

C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张

H

12.某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,DC

〃和市中心。的整齐方格形道路网,每个小方

格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随Er□

机地选择一条最短路径，由小区/前往小区C,

AB

则他不经过市中心。的概率是（）G□

2

AB.

-I3

3

D.

4

13.（多选题）一个盒子中共有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,

2,3,4.先从盒子中随机取一个球，该球的编号为加，将球放回盒子中,

然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为〃，该事件记为（巾,九），则

满足条件n>m+2的事件有（）

A.（1,3）B.（1,4）C.（2,2）D.（2,4）

二.填空题

14.连掷两次骰子得到的点数分别为勿和n,记向量五=（科九）与向量3=

（1,一1）的夹角为仇则。为锐角的概率是.

15.若从2,3,6三个数中任取一个数记为a,再从剩余的两个数中任取一

个数记为8,则“蓝是整数”的概率为.

16.因疫情需要，从甲地区3名主治医师和2名护士中任选3人参加乙地区

18.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一

张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的

概率为.

19.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则

该两点间的距离为遮的概率是____.

2-

20.甲盒子装有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，乙盒子装有分别标有

数字2,5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2

张卡片上的数字为相邻数字的概率为.

三.解答题

21.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A2,4和3个欧洲国家名，B2,

当中选择2个国家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括公,但不包

括当的概率.

22.某气象站统计了4月份甲、乙两地相同日期的5天的天气温度(单位：二

)：

甲地：7,8,10,12,13；

乙地：8,9,10,11,12.

(1)利用平均数和方差的知识分析甲、乙两地气温的稳定性；

(2)气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙

两地的温度之和大于或等于20。则被称为“甲、乙两地往来温度适宜

天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率.

23.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已

知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级

制.各等级划分标准见下表.

百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下

等级ABCD

规定：4B,。三级为合格等级，〃为不合格等级.为了解该校高一年级

学生身体素质情况，从中抽取了〃名学生的原始成绩作为样本进行统

计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率

分布直方图如图所示,样本中分数在80分及以上的所有数据为:80,81,

（1）求〃和频率分布直方图中的％y的值，并估计该校高一年级学生成

绩是合格等级的概率；

（2）在选取的样本中，从4〃两个等级的学生中随机抽取2名学生进行

调研，求至少有一名学生是/等级的概率.

24.随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有

颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢.某“网红”

甜品店出售几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外

地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售

价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个

月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：

甜品种类力甜品8甜品。甜品〃甜品£甜品

销售总额（万元）105202012

销售量（千份）521058

利润率0.40.20.150.250.2

（利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售

价格的比值）

(1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于

0.2的概率；

(2)假设每种甜品利润率不变，销售一份4甜品获利/元，销售一份8甜

品获利%2元，销售一份。甜品获利%3元，销售一份〃甜品获利元，销

售一份后甜品获利台元，设歹=—+必+；3+办+%,若该甜品店从五种“网

红甜品”中随机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过三元的

概率.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了中位数与平均数的计算问题，也考查了列举法求概率的问题，是

基础题.根据中位数与平均数的定义求出x的值,再用列举法计算概率的值.

【解答】

解：数据1,2,3,4,%(0<%<5),

若中位数是2时，则平均数为

^x(l+2+3+4+%)=2,

解得％=0,不合题意；

若中位数是3时，则平均数为

解得％=5,不合题意；

若中位数是2.5时，则平均数为

1x(l+2+3+4+x)=2.5,

解得％=2.5,满足题意；

从1,2,2.5,3,4这5个数中任取2个，基本事件数是

Cl=10,

满足这2个数字之积大5的基本事件是

(2,3),(2,4),(2.5,3),(2.5,4),(3,4)共5个，

所求的概率值为P=^=|.

故选B.

2.【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查古典概率的计算，根据古典概型概率计算公式，便可求出最后结果.

先写出所有可能的结果，再求出其中甲、乙两班至少有一个班的情况，计算

出概念即可.

【解答】

解：记4个班分别为甲、乙、丙、丁，则他们的比赛对阵场次为甲乙、甲丙、

甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种，

其中甲、乙两班至少有一个班参加的有5种，

则所求概率P=

6

故选〃

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了基本事件，先编号，再由列举法可得事件数.

【解答】

解：记大小相同的5个球分别为红1,红2,白1,白2,白3,

则“至少有1个红球”所包含的样本点为(红1,红2),(红1,白1),(红1,

白2),(红1,白3),(红2,白1),(红2,白2),(红2,白3),共7个.

故选B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的计算与应用，考查学生的计算能力，比较基础.

5人中选2名志愿者的情况共10种，其中选出的2名志愿者性别相同的情况

有4种，利用古典概型概率公式求解.

【解答】

解：设3各男生分别为力，B,C,2名女生分别为a,b,

从5人中选2名志愿者的情况有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),

(B,b),(C,a),(C,b),共10种，

其中选出的2名志愿者性别相同的情况有(AB),(A,C),(B,C),(a,b)共4

种，

故所求概率p=卷=|.

故选B.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的计算与应用，属于基础题.

先列出所有可能情况，再根据条件得到所有符合条件的种数，最后计算即可

得到答案.

【解答】

解：设4B,。三人的手机分别是,则8,。两人拿到的手机的

可能情况为（8-/，（一心），{B-A,,C-C,y

,C—B7）»

共6种，这两人中只有一人拿到自己手机的情况有（B——

—共两种，故所求概率为：=

故选B

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的计算与应用，考查对数的运算，根据条件可以得到y=

2%,列举出可能的情况，根据概率公式计算即可得到结果.

【解答】

解：由题意知，y=2x,

试验发生包含的事件是6x6=36种结果，

x£{1,2,3,4,5,6],y6{1,2,3,4,5,6],y=2x,

x=1,y=2；x=2,y=4；x=3,y=6共三种情况.

故选c.

7.【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了古典概型，属于基础题.

直接采用列举法求出基本事件个数，再利用古典概型概率计算公式可得答案.

【解答】解：所有基本事件为金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、

水火、水土、火土，共10个，

不相克的基本事件有5个，

则所求的概率为卷=

故选C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查古典概型.写出事件“任取三条不同的线段”发生包含的事件数及“取

出的三条线段为边可组成三角形”发生包含的事件数，由古典概型的概率公

式即可求解.

【解答】

解：由题意知从四条线段中任取三条共有4种不同取法，

满足条件的事件是在“1、2、3、4”这四条线段中，取出的三条线段为边可

组成三角形，

由“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、

3、4”，

共1种取法，

则所求概率%

故选B

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查数据处理能力、

运算求解能力，属于基础题.

先求出基本事件总数ZI=3x2x2=12,再求出4或B1仅一人被选中包含的

基本事件个数为6,由此能求出久或当仅一人被选中的概率.

【解答】

解：现有7名数理化成绩优秀者，分别用A2,Th，Bi，Ci，心表示，

其中』i，A2,4的数学成绩优秀，Bi，B2的物理成绩优秀，6,的化学成

绩优秀.

从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加

竞赛，

基本事件总数九=3x2x2=12,

久或当仅一人被选中包含的基本事件个数Q4I，B2G）,Q4I，B2c2）（4，

Bg）（A2,BI£2）（4,Bi。）共6种，

4或/仅一人被选中的概率为p=^=^=

故选C.

10.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查等可能事件的概率，从对立事件的概率入手时解决问题的关键，属

基础题.

由题意2人总的下法共25种结果，2人在同一层下共5种，故先求该事件的

概率，再由对立事件的概率可得.

【解答】

解：由题意总的基本事件为：两个人各有5种不同的下法，故共有25种结

果，

而两人在同一层下，共有5种结果，

•••两个人在同一层离开电梯的概率是：£

所以2个人在不同层离开的概率为：1-：=£

故选：C.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、

乙各自获胜的概率，为中档题.

由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最

多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可

能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）.其中甲获胜有3种，而乙只

有1种，从而得到甲乙获胜的概率.

【解答】

解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”

表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，

乙）.

其中甲获胜有3种，而乙只有1种，

所以甲获胜的概率是:，乙获胜的概率是:.

44

所以甲得到的游戏牌为12x|=9,乙得到圆心牌为12x；=3；

当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时

获得9张牌，

故选4

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查概率的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意列举

法的灵活运用.

此人从小区A前往〃的所有最短路径共6条.记“此人经过市中心0”为事

件区则，"包含的基本事件为共2个.由此能求出他不经过市中心的概率.

【解答】

解：该试验的样本点有/TGTBTF-C,/TET

C,共6个，

记“此人不经过市中心0”为事件〃，

则"包含的样本点有ATGTBTFTC,ATETOTHTC,共2个，

AP(M)=|=1,即他不经过市中心。的概率为：，

633

故选A.

13.【答案】政？

【解析】

【分析】

本题考查古典概型，属于基础题.

逐一检验求解即可.

【解答】

解：将各个选项逐个检验条件2,

符合条件的有ABD.

故选ABD.

14.【答案】-

12

【解析】

【分析】

本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，古典概型及其概率计算公式的

应用，属于中档题.

【解答】

解：设连掷两次骰子得到的点数记为(nrn),其结果有36种情况，若向量1=

(m,n)

与向量「=(1,_1)的夹角。为锐角，则｛[2m满足这个条件的有15

种情况，如下(2,1),3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(6,1),(62,),(6,3),(6,4),(6,5)共15种，所以6为锐角的概率是1，

故答案为一.

12

15.【答案

【解析】

【分析】本题考查古典概型概率公式的计算，属于基础题.

a,，两个数的组合有(2,3),(2,6),(3,2),(3,6),(6,2),(6,3),共六个基本

事件，蓝是整数的有2个基本事件，由此根据古典概型概率公式的计算即可.

【解答】解：a,。两个数的组合有(2,3),(2,6),(3,2),(3,6),(6,2),(6,3),共

六个基本事件，三是整数的有2个基本事件，故所求的概率P=]=；.

D63

16.【答案】卷

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的计算与应用，属于基础题.

列出所有基本事件和事件所包含的基本事件，再利用古典概型的计算得结论.

【解答】

解：设3名主治医师分别为4B,G2名护士分别为a,b,

则“任选3人”的样本空间。={ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,Aab,BCa,BCb,

Bab,Cab},n(/2)=10.

记事件M=“至少有1名护士”，

则M={ABa,ABb,ACa,ACb,Aab,BCa,BCb,Bab,Cab},

所以n(M)=9,

则9=喘=*

故答案为卷.

17.1答案埒京

【解析】

【分析】

本题考查图表达集合的关系及运算以及利用古典概型求概率，“至少2

个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况；“不超过2个小组”

包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”结合Venn图

利用古典概型概率公式求出答案，属于基础题.

【解答】

解：“至少2个小组”包含“2个小组"和“3个小组”两种情况，

11+10+7+83

故他属于至少2个小组的概率为P=

6+7+8+8+10+10+115

“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个

小组”.

813

故他属于不超过2个小组的概率是P=1-

6+7+8+8+10+10+1115

故答案为|；y|.

18.【答案】|

【解析】

【分析】

本题主要考查了古典概型的求法，属于基础题.

利用分步计数原理可得全部情况有16种，再列举出第二次抽得的卡片上的

数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的情况，利用古典概率可计算.

【解答】

解：由题意从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随

机抽取一张，

则基本事件总数为4x4=16.

则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)八种情况,

故所求概率P=白=》.

loL

故答案为a

19.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查的是古典概型的计算，属于基础题.从五个点中任取两个点，总情况

为10种，满足两点间距离为迎的有四种，故可得结果.

2

【解答】

解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点共有

10种，

其中两点间的距离为次的必选中心，共有4种可能，

2

故该两点间的距离为次的概率是白=f.

2105

故答案为

20.【答案】|

O

【解析】

【分析】

本题考查古典概型概率求法，是基础题.

依题意，求出试验发生的所有基本事件数及满足条件的2张卡片上的数字为

相邻数字的事件数，求解即可.

【解析】

解：先求出试验中的基本事件空间，

若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，样本空间所含样本点总数兀=

4x2=8,

符合条件的情况的有(L2),(3,2),(4,5)三种情况，

故概率为未

故答案为看

21.【答案】解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，

其一切可能的结果组成的基本事件有：{41,4}，{儿旬，{4，/},如出},

[A2，A3}f(i42,Bi)>{^2»{42,83}，{4,81},{4，殳},{83,83},

{九殳},{Bi，%},{B2,B3),共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{a,&}，{41，4}，

{&,4}，共3个,

则所求事件的概率为P=卷=也

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，

其一切可能的结果组成的基本事件有：{4,当},{4殳},{4仇},{4,4},

{Az，4}，{叁，%}，{43，/},。3,4},{43,83},共9个.

包括&但不包括%的事件所包含的基本事件有：{2,&},{4,/},共2个，

则所求事件的概率为P=今

【解析】本题主要考查古典概型，一般题型.

(1)从6个国家中任选两个国家，得到基本事件个数，利用古典概型求解即可;

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，得到基本事件个数，结合题意，得到

满足条件的事件个数，利用古典概型，求解即可.

22.【答案】解：(1)根据题意可知，5尹=：x(7+8+10+12+13)=10,

加三X(8+9+10+11+12)=10.

5

=[(7-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-10)2]=

5.2,

；=，x[(8-10)2+(9-10)24-(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=

2,

——22

•••%用=久乙,S甲＞S乙,

.•・甲、乙两地的整体气温水平相当，乙地的气温更稳定一些.

(2)“从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度”的样本空间C={(7,8),(7,9),

(7,10),(7,11),(7,12),(8,8),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(10,8),(10,9),

(10,10),(10,11),(10,12),(12,8),(12,9),(12,10),(12,11),(12,12),(13,8),

(13,9),(13,10),(13,11),(13,12)),

则n(0)=25.记事件4="甲、乙两地往来温度适宜天气”，

则/={(8,12),(10,10),(10,11),(10,12),(12,8),(12,9),(12,10),(12,11),

(12,12),(13,8),(13,9),(13,10),(13,11),(13,12)},则乳⑷=14,

所以桃)=喘=]

【解析】本题考查甲、乙两地气温稳定性的判断，考查概率的求法，考查平

均数、方差、列举法等基础知识，免费提供查运算求解能力，是基础题.

(1)先求出4月份甲、乙地的天气温度的平均数和方差，根据所给茎叶图利用

平均值和方差的知识分析乙地气温比甲地气温更稳定性.

(2)基本事件总数九=5x5=25,利用列举法求出“甲、乙两地往来温度适

宜天气”包含的基本事件有14个，由此能求出“甲、乙两地往来温度适宜

天气”的概率.

23.【答案】解：(1)由题意可知，n=—^―=50,%=-1-=0.004,

''0.012X1050X10

1-0.04-0.1-0.12-0.56八〜c

V=---------------------=0.018.

z10

抽取的50人中成绩是合格等级的频率为1-0.1=0.9=巳，

可估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为

(2)由