初高中-案例分析与教师发展

案例分析与教师发展

主题：建议通过案例分析来促进教师的发展.教师发展

的途径很多，每个教师的发展都会有自己的个性化轨迹，切

入点也各有不同：有的在职业激情中学习，有的在教学实践

中研究，有的在案例分析中前进，有的在反思提炼中突破，

有的在互动交流中提升，有的在论文写作中发展.我根据自

己的体会建议把案例分析作为促进教师发展的一个突破口：

'积累学科教学知识（PCK）

案例分析一提高教学与研究能力-促进教师发展.

生成实践性智慧

1案例分析的活动感受

我将用分析案例的方式来说明案例分析，可以认为是学

习“案例分析”相关概念和做法的情境创设.

1-1案例的呈现（自行车问题）

例一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶

5000M后报废，若安装在后轮则行驶3000k〃后报废.如果

行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮

胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少而？

（请用代数或算术等多种方法求解，求解后想想如何让

学生也学会解）

如果你不能求解，没关系，请先做第2题.

例1-2—件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干

前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，

如果两工程队同时动工，甲工程队干前半段、乙工程队干半

后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），

使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属

于什么题型？中途交换如何处理？思考练习1分钟）

如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求

解第2题，没关系，请先做第3题：

例1-3—件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工

程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整

个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）

如果你能求解第3题，请返回做第2、第1题；如果你

不能求解第3题，请看第4题.

例1-4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程

队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程

几小时完成？

这是标准的工程问题了.你最终至少要用两个以上的解

法完成第1题.再想一想有什么体会.

1-2案例的分析

案例分析1：关于解法.

让我们从新开始，缺什么就设什么，有

解法1：（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为

k,则安装在前轮的轮胎每行驶1加的磨损量为磊，安装在

后轮的轮胎每行使1版的磨损量为又设一对新轮胎交

换位置前走了a加、交换位置后走了6加，分别以一个轮胎

总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）

kakb

-------1-------①

50003000

②

两式相加，得

③

50003000-'

贝Ia+b-―~--=―：——-：­==3750（.km'）.④

k।k1।1怎么算:？

50003（50003000

（这是2009年初中数学联赛的参考答案）

作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解

题”这只不过是新的开始一一反思分析.

反思1:当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正

确，也不乏趣味性的技巧.特别是，这个解法对“用字母表

示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母

k,a,b,既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程,

又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺

术.但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生接受带来

困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和“+》，学生不太

好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们

思考：能不能把题目处理得更好接受一些？

首先，既然人,兄。都只有辅助的作用，而①、②式的等量

关系也被更实质性的③式代替了，那么，我们能不能一开始

就抓住③式这个更本质的结构呢？事实上，不管甲轮胎还是

乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的，

就是说，若设一对新轮胎可走x而，则一对轮胎在前轮走了

xkm,在后轮也走了x而，有（可以不列方程组，列方程就

行了）

解法2:（方程解法，去掉a力）设每个新轮胎报废时的

总磨损量为攵，则安装在前轮的轮胎每行驶1加的磨损量为

蔡，安装在后轮的轮胎每行使1加的磨损量为就.又设

一对新轮胎可走xkm,则一对轮胎分别在前后轮各走了xkm,

有

kxkx…

_______।_______=2^

50003000'

贝!!।2=3750（km）.⑤

kkII

----------1-------------------------1----------

5000300050003000

说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”

的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；

原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两

条方程相加、“整体”得出④式了.

反思2：这个解法中人只有辅助作用，能不能也去掉，怎

么去？另外，由④及⑤中的运算式［2］=3750,我们看到

----------1----------

50003000

了一种结构——工程问题（这正是上述教学设计的一个基本

考虑），我们能不能一开始就抓住这个本质结构呢？有

解法3：（算术解法，用1代替人）设每个新轮胎报废时

的总磨损量为1,则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又

由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1%的磨损量为」一，

5000

安装在后轮的轮胎每行驶1加的磨损量为嬴，进而，每\km

一对轮胎的磨损量为嬴+募；用总磨损量除以单位磨损量

可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶”

—~-—―=3750（km）.

------T--------

50003000

说明2:这个题型小学说是“工程问题”，到中学可以说

是“调和平均”已（高中）或“反比例函数模式”.人（初

ab

中，参见案例分析3）.

反思3：解法3是在④、⑤,2攵中取左=］（这是小

kK

5000+3000

学的惯例），女只能取1吗？由后面的运算知：取5000与3000

的最小公倍数更方便.有

解法4：（技巧解法）假设自行车行驶了15000版,则前

轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮

胎同时报废能行驶理=3750（加）.

4

说明3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理”.由

这个解法可知，前、后轮的磨损有3：5的比例关系，从而

可以改写为

解法5：（按比例分配）假设自行车已走了3000加，后

轮磨完，则一对轮胎只剩下前轮的2000加磨损量；接下来按

3：5的比例分配，前轮会磨掉2000%的3,由2H）X?司知，

88

一对轮胎可走

3000+750=3750（加）.

反思4：解法1由目标牵引，进行了①、②“两式相加”,

而由两式相减呢，立即可得a=b,就是说，若一对新轮胎同

时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后

轮行驶的路程.这个实事有明显的几何意义：方程组①、②

中的两条不平行直线（或说两个互为反函数的图像）关于对

角线y=x对称，其交点在对角线y=x上，有

解法6：（创设解法情景）设一对新轮胎交换位置后同时

报废时自行车共行驶了X加，我们不妨设想自行车的车把和

车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装

卸.当自行车行驶到9加时，磨掉了一半的磨损量（正好等

2

于一个轮胎的磨损量），有（如图1）：前轮的磨损量恰好是

后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损

量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、

后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废.于是

2

一个新轮胎的总磨损量

=前进，加的磨损量+交换前后轮返程二加的磨损量，

22

xx

有N-+且=1,—................前轮

50003000广/人

(这就是方程③上+上=2%,)

50003000

得x=--一一j-=3750.图1

---------------1---------------

2x50002x3000

不管题目还会有多少解法，我们已经有了三类解法：方

程解法、算术解法、技巧解法.这可以认为是反思解法1的

成果，并且是“只要去做、人人都能做到”.

案例分析2：关于教学设计的意图.

这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学

是解题活动的教学，当中有四个基本的考虑.

(1)解题化归的教学设计：如果你不能求解第1题，

请先做第2题；……，如果你也不能求解第3题，请先做第

4题，一路转化为基本题型.这就是化归：把一个未解决或

较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题.

(2)揭示问题的深层结构：自行车问题有工程问题的

深层结构.可列表说明如下：

例i-i自行车问题例1-2工程问题

一对轮胎的磨损（感觉磨损有破坏一件工程（感觉工程有建设性）

性）

磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成一件工程）

轮胎有两个工程有两段（甲乙轮胎对应前后两段工

程）

甲、乙轮胎磨损量相等前、后两段工程量相等

轮胎放在前面位置行驶5000切,报甲工程队干前段5000小时完成

废

轮胎放在后面位置行驶3000k〃报乙工程队干后段3000小时完成

废

如果行驶一定路程后，交换前、后如果两工程队同时动工，甲工程队干前

轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎段、乙工程队干后段一定时间后，甲、

同时报废（交换前、后轮胎好像是乙两工程队交换，使前、后两段同时完

实质的，否则，怎能“使一辆自行工（甲、乙两工程队交换不交换是非实

车的一对新轮胎同时报废”？）质的，使前、后两段同时完工即可）

这辆车将能行驶多少版？整个工程几小时完成？

可见，”自行车问题”与“工程问题”有相同的结构！

这时，是从“工程问题”的角度重新理解题意，体会”条件

是什么、结论是什么”的最好机会.甲乙轮胎对应前后两段

工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队（如图2,轮胎

是工程、位置是工程队、磨损是干工程）.于是，从“工程

问题”的观点看例1-1,可以认为有两个条件：其一是磨完

一个新轮胎，自行车的前轮位置需走5000加（相当于完成工

程前半段甲工程队需5000小时），其二是磨完一个新轮胎，

自行车的后轮位置需走3000版（相当于完成工程后半段乙工

程队需3000小时完成）；结论是：求自行车的前、后轮一起

磨完两个新轮胎需走多少而（相当于甲、乙两工程队一齐干,

整个工程几小时完成）.

\乙工程队

前半段工程后半段工程

图2

（3）沟通一题多解的内在联系.

从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法,

我们说三类解法不是各别孤立的.由③（或⑤）式有

a+b=­：-------：—=-------------=3750（km）・

kk11

--1----------------F------

5000-------50003000

这是方程解法的结果，约去％（或说令％=1）便是工程解

法，而取左=15000,就是技巧解法.所以，三类解法是可以沟

通的.也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深

层结构，形成优化的认知结构.

（4）呈现解题分析的两个关键环节一一解题思路的探

求和解题过程的反思.解题思路的探求是把“题”作为认识

的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到

未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个

认知过程，如找出解法1）.解题过程的反思是继续把解题活

动（包括题目与初步解法）作为认识的对象，不仅关注如何获

得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、

优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点

在怎样学会解题（这是一个再认知过程，如找出解法2至解

法6）.

案例分析3：工程问题的深层提炼.

题目完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需

要3天，甲乙一齐干几天完成？

这是小学时的“工程问题”，其基本关系是：

工作效率x工作时间二工程总量（定值）.

对这个基本关系作抽象，有

单位量x单位数=总量（定值）.

再作形式化抽象，得

xy=k（定值）.

可见，“工程问题”的本质是一个反比例函数模式：

（1）一件工程，对应着存在一个反比例函数关系

y=这是反映题型特征的基本关系（X对应工作效率,

y对应工作时间，上对应定值工程总量）.

（2）甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，对应着

在反比例函数y=/（x）中因变量取乂=2,%=3.

（3）甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值/（%+々）：

弘%X%

计算结果与比例系数%无关，这就是说，即使不知道比

例系数％（工程总量）和自变量芭，々（每个工程队的工作效

率），也能求出函数值/（x+w）（两个工程队一齐干的工作时

间）.

（4）更一般地，“工程问题”的反比例函数模式是:

对反比例函数产j（）.,给出函数值%%，，%，求

/任+±++七）.其求解步骤是：首先将士表示为巴,然后代

yi

入所求式

/(尤|+%++x,,)=f—+—++—

Xy2%

X：M%

计算结果与比例系数人无关，这就是说，即使不知道比

例系数女和自变量再,孙用，也能求出函数值/（4+占++天）.

（5）如果把工程平分为〃段，〃个工程队干每一段分别

需X，%，“天，贝IJ〃个工程队一起干需二三一^天完成.

一十一+

有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问

题迅速识别，并提取相应的方法加以解决.如

例1・5（某地中考题）某人从甲地走往乙地，甲、乙

两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发

现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟

开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几

分钟.

（一个思路是分解为相遇问题与追及问题）

解法1设人的速度为V人，公共汽车的速度为V车，又设

在一个发车间隔的时间里公共汽车走s千米.由“每隔6分

钟开过来一辆到甲地的公共汽车”知，汽车与人相向而行

（相当于相遇问题），有

%+丫人=7，

由“每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车”知，

汽车与人同向而行（相当于追及问题），有

丫车-以=丘，

于是，汽车本身的速度为

得发车间隔时间为

”丁\=/T=8.（分钟）

DJ11

-4—I

612612

说明1:对比自行车问题的求解

2k2/\

x=­：--------：—=----------：—=3750\km）.

kk\\

-----1-----------1----

5000300050003000

立即可以发现，它们有完全一样的数学结构1T（工程问题

--1--

ab

或调和平均），只有具体数字的微小差别，当然也可以取6

与12的最小公倍数来处理，请看解法2.

解法2假设人从甲地出发往乙地走了12分钟，依题意,

其间必有一部公共汽车从他的后面开过来Q|=i],然后他立

即掉头（掉头时间忽略不计），再走12分钟返回到甲地，依

题意，又必有2部电车与他迎面相遇（吊=2）,于是，在24

分钟的时间内（12+12=24）从甲地发出了3部车（1+2=3）,得发

车间隔为§=8（分钟）.

说明2：为什么例1-5与自行车问题有相同的结构呢？

我们也拿一个工程问题来与例1-5作比较：

例1-6一件工程，甲单独干一半6天完成，乙单独干

一半12天完成，甲乙合起来一齐干，整个工程几天完成？

解设工程量为S,则甲单独干的工作效率为'乙单

26

独干的工作效率为工工，甲乙合起来的工作效率为:传，

21221612；

所以，一齐干完全工程所需要的时间为

"小。=二=8（天）.（取了5=12）

S,S2+1

一十---

612

例1-5与例1-列表对照如下（左右两边有“相当于”的对

应关系）:

例L5：发车间隔问题例1-6：工程问题

一个发车间隔里的路程为S千米设工程量为S

每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，甲单独干一半6天完成，甲单

汽车与人对向的相对速度为$千米/分独干的工作效率

26

每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，乙单独干一半12天完成，乙

汽车与人同向的相对速度为±千米/分单独干的工作效率为L9

12212

汽车自己的速度甲乙合起来的工作效率为

墨+总千米/分

2(612；

发车间隔时间=下至歹=12r甲乙合起来完成工程的天=

2s2

—+———4-——

612612SS—11

--F--F-

612612

例1-7小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和万

(a<b),其全程的平均时速为v,则(A)

(A)a<v<y[ab(B)v-y[ah

(C)而”j(D)V=史史

22

(2012高考数学陕西文科第10题)

解设甲乙的路程为S,则往返为2S,又小王从甲到乙

用时为生从乙到甲用时为，往返共用时其全程的

平均时速为人冷，下来取。力的特殊值便可比较出算术平

—+-

ab

均、几何平均与调和平均的大小，但是，十几万考生的得分

率只有0.14,比随机回答的得分率0.25还低，这再次说

明，人们认识“调和平均”的结构是有难度的.

例1-8向一个水池里注水，甲龙头6小时注满，乙龙

头12小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？

例1-9有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要

6小时，从乙到甲逆流而上需要12小时，问轮船在静水中走

甲乙同样的距离需要几小时？

例1-9从甲地到乙地，客车需〃小时，货车需0小时，现

两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相

遇？

例1-10某公路由上坡、下坡两个等长的路段组成，已

知一汽车上坡时速度为a千米/小时，下坡时时速度为b千米

/小时，求这部汽车在整段路面上的平均速度.

例1・口某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长

量都相等，在各时段内平均增长速度分别为VI,V2,⑥该生

物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为

1+1+1

(A)匕+♦+%(B)匕吗匕

33

(C)际(D)

-----1--------1------

匕岭匕

(2007高考数学陕西文科第12题)

例1・12妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米,

或乙布3米.若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多

可各买几米？

例1・13妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米,

或乙布3米，或丙布6米.若三种布都买同样多的米数，问

所带的钱最多可各买几米？

例1-14如图3,在直线〃上平放有3个面积相等的矩

形，其高分别为2米，3米，6米.现

作一平行于底的直线b,使截得三部।।QZ1

■忽I

分阴影面积之和恰好等于一个矩形

的面积，求a1之间的距离.图3

案例分析4：方程解法与算术解法的对比.

下面，我们来议论一个问题：方程解法与算术解法的对

比.（以解法2、解法3为代表）

（1）基本情况：方程解法是设每个新轮胎报废时的总

磨损量为女，一对新轮胎可走x加之后，视总磨损量和路程均

为已知数，从一对新轮胎可走x而出发，就可以求出在前轮

位置的磨损率和磨损量、在后轮位置的磨损率和磨损量，得

出轮胎磨损的等量关系（方程），根据等量关系解出未知的X，

将未知数还原出来.

算术解法是设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，总磨

损量成为已知数,然后,从已知数据“装在前轮行驶5000加”、

“装在后轮行驶3000加”出发，算出一个轮胎的磨损率、一

对轮胎的磨损率，一步步得出一对新轮胎可走多少加.

（2）对比分析：由上面的基本情况可以看出这两种处理

的两个不同.

第一、对“未知”的思想认识不同.

在方程解法中已知与未知是辩证统一的，它是先把未知

看作已知（设未知数），然后参与运算，与已知相结合建立

起通向未知的桥梁（列方程），通过桥梁把未知还原为已

知.而在算术解法中已知与未知是机械分离的，已知就是已

知、未知就是未知，只能使用已知之间的关系铺设一条通向

未知的路来，把结论作为最后的摸索目标.于是

结论1：方程解法设出结论X后比算术解法多了一个可

供参与运算的条件，列出相关式子更容易、更方便；寻找等

量关系的途径增加、思路开阔.

第二、通向“目标”的思维方向不同.

方程解法把结论设为X后，就以明确的目标为牵引，带

动所有条件，建立起相关量（包括已知与未知）的平衡；而

算术解法则要在所有已知条件建立起平衡之后才能呈现目

标.就是说，方程解法把条件与结论同时抓、一起用，算术

解法是看着结论用条件，列式、运算只用到条件.于是

结论2：方程解法把条件与结论同时抓、一起用，比算

术解法目标更加明确，对目标的使用更加自觉、更加给力，

沟通条件与结论的联系更加容易、更加方便.

（3）直观比喻：如果把解题比作过河，河的这边是条

件（已知），河的那边是结论（未知），那么算术方法就好像

是趟水过河，人从已知的岸边开始，一步一步摸着石头、把

着竹竿，摸索着走向对岸；方程解法则不同，它像是将一根

带钩的绳子甩过河去，钩住对岸的目标（未知数），拴紧绳

子（甚至装好滑轮）后（建立方程），人沿着绳子拉（滑）

过对岸.两者的思维方向相反，一个是由条件摸索过去的，

一个是由结论牵引过去的.

所以，从思想方法上看，方程解法优于算术解法，这并

不否定算术解法也可以有精彩的技巧处理，但是，方程解法

的一般性可以解释（或导出）精彩技巧的特殊性.下述变形

22ab（ab+h2）+（ab-b2）八b（a-b）

-j———=0H

1,1a+ba+ha+b

—i—

ah

可以解释“工程问题”的算术技巧解法（最小公倍数、按比

例分配）.

案例分析5：对“学解题、教解题、编习题”的启示.

总结上面的讲解，每个人都有机会领悟一些有益的启示

（千万别进宝山而空还），由于这是一个个性化的经验生成

过程，认识的差异是难免的，作为抛砖引玉，我们谈三点启

示就教于同行.

（1）关于解题学习的启示.解题获得答案是必要的，但

学解题不要满足于获得答案，继续分析解题过程是认识问题

深层结构、学会怎样解题的有效途径.如同大家所看到的，

对自行车问题的反思分析就如同给我们的眼睛配备了显微

镜和望远镜，既看得更细了（微观更透彻），又看得更远了

（宏观更开阔）.

（2）关于解题教学的启示.解题教学不仅要教解题活

动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程一一暴

露数学解题的思维活动.没有过程的结果是事实的外在灌

输，没有结果的过程是时间的低效消费，解题教学不仅要获

得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程

与结果结合起来.对于自行车问题，我们建议：不妨依次转

化为例1-3、例1-4——进行化归思想的教学；或者反过来回

忆小学时的例1-4,然后例1-3,从小学的“公式”讲到中学

的“方程”一一进行模式提炼的教学(数学是关于模式的科

学).把获得答案转变为获得答案的过程、转变为渗透数学

思想方法的活动过程.

(3)关于习题编拟的启示.沿着例1-4、例1-3的路线,

我们可以从教材出发编拟出很多习题，既实用又易行，于是,

我们每一个教师都可以方便地在自己的每一节课上进行

“变式练习”，并把中国数学教育的“变式教学”传统发扬

光大.

(罗增儒：一个自行车问题的教学分析.中学数学教学参考(中旬)，2013,1〜2)

1-3对案例分析的启示.

(1)这就是一个“亲身参与”的解题教学案例.

(2)我们通过这个活动来启引大家认识案例、关注案

例研究，实际上是在进行“案例教学”.

(3)进行这个教育意义的活动、分析提炼内蕴于其背

后的思想、意义与道理，就是案例研究.

2案例分析的理论提炼

2-1案例研究的理论支持

通过案例分析促进教师发展有国内外的理论与实践的

支持，如对教育研究方法的反思，教师知识组成的新认识

等.仅说国内的三点支持.

（1）范良火博士论文的结论.

范良火在其博士论文中研究得出：教师的教学知识是存

在的；教师教学知识的最重要来源是

①自身的教学经验和反思；

②和同事的日常交流.

至于职后培训、当学生时的经历、职前培训、阅读专业

报刊等都是其次的、第三、第四位的，教师自主的实践中学

习、及教师群体内部的自主交流是对教师的专业发展贡献最

大的两个方面.

（2）顾泠沅“行动教育”模式.

（青浦经验：1977年，以初中一、二年级的数学常见题，对全县

中学最高年级的4373名学生进行统考，总平均分数为11.1分，零

分学生的比例高达23.5%,约有三分之二的学生连小学的分数运算

都不熟练.经过近九年的改革，青浦县的数学质量从七十年代的全市

最低水平开始逐年稳步上升，1985年初中升学考试数学成绩，全市

各区县平均为69.7分，青浦县平均为79.1分.）

顾泠沅在上海的调查研究表明：

①保持同事间的互助指导，还须注重纵向的理念引领；

（防止萝卜煮萝卜还是萝卜）

②保持侧重讨论式的案例教学，还须包含行为跟进的全

过程反思.

③因此在通常的教师培训形式之外，构建了以课例为载

体、专业引领与行为跟进相统整的“行动教育”模式，为教

师在职教育提供了一种有价值的选择.基本模式如下图所

示.

图4

（3）我的个人体会.

我是在耀县水泥厂当了十年矿山职工之后调到子弟当

中学教师的（1978）,既不懂数学又不懂教学，不懂就学，

通过分析教学案例学教学，通过分析解题案例学解题.记得

我当中学教师时（1978-1986）常常问自己:

・有专业学者的功底吗？

・有教育理论家的修养吗？

・有教学艺术家的气质吗？

・有青年导师的榜样形象吗？

如果我们没有向这四个方向努力，我们怎能心安理得地面对

充满求知渴望的孩子，又怎能问心无愧地面对我们的崇高职

业和激情人生？我的体会是“案例研究”促进了我所有这四

个方面的发展，所以，我今天选择了这样一个经验话题来与

大家交流.

2-2名词解释

“案例”一词源于法学，就是一个案件，哈佛法学院将案

例应用于法律人才的培养，产生案例教学；哈佛工商学院将

其应用于工商管理人才的教学，取得显著成效；之后，人们

把“病例”用于医生培养，把“战例”用于军官培养，把“课

例”用于教师培养，都叫做案例教学.教师教育中的案例教

学始于20世纪70年代，伴随案例教学而进行的分析、反思、

提炼又促进了“案例研究”的发展.这里有三个词：案例、

案例教学、案例研究.案例是一个教学实例，案例教学是一

种教学方法，案例研究是一类研究方法.三者既有联系又有

区别.

（1）案例（课例）.

①案例（课例）的界定：数学教育上的案例是具有典型

意义的教学过程的描述.

对于数学教学上的案例，我们更习惯叫做课例，在形式

上，可以是体现教育理论与教学技能的课堂实录，可以是学

生学数学的生动故事，可以是教师教数学的有趣设计，还可

以是教学实践中遇到的意外与困惑的事件.为了教学研究的

需要，课例的叙述可以对课堂信息的摄取有所侧重，对课堂

之外的情况（如教师、学生的背景）及心理活动有所描述（动

机、态度、思想、意图、需要等），这就使得用于教学分析

的课例与记录教学实验的课例略有区别.创作课例可以是一

种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来.

②案例的作用：教学课例包含有充分多的信息（可以代

表一类事物），蕴含一定程度的理论原理，反映了教学实践

的经验与方法，渗透着对特定教学问题的深刻反思，可以帮

助数学教师树立一种观念，明白一个道理，理解一个概念，

学到一种方法；案例是了解教学的窗口，是问题解决的源泉,

是教学理论的故乡，是教师发展的阶梯.

③案例的特征：典型性、研究性、启发性.

（2）案例教学.

①案例教学的界定：是一种通过典型教学过程（课例）

的分析来学习教育理论与教学技能的教学方法.

它与传统的讲授法不同，强调教与学双方直接参与，共

同对案例或疑难问题进行讨论.案例教学突出体现了教学内

容、学习方式、教育观念的转变.这是一种研究性学习.

②案例教学的步骤.教师培训中的案例教学可分成3个

步骤来实施:

•教员提供课例，学员体会情景.

较长的课例可以课前提供，较短的情节可以随堂呈

现.提供的方式可以是书面材料、录相或口头叙述.

•教员组织讨论，学员分析材料.

这是一个师生互动、生生合作的学习过程.一般说来，

每个课例都可以从多个角度进行分析，每个学员又都有自己

的兴趣指向，如果引导启发不当，有的学员会不知从什么地

方开始谈，有的学员会只谈现象与技节.因此，教员要充分

了解课例的内容，提前进行精心的准备，临场还得有机敏灵

活的动态调节.为了使讨论相对集中，可以随课例的呈现提

出几道重点思考题.

在案例教学中，教员更多地从讲台站到了学员的背后，

聪明不是由教师告诉、而是由学员自己去获得.

・教员总结评述，学员掌握原理.

这一步主要由教员进行，教员的总结首先要有理论深

度，使学员确实学到东西；其次要体现现场讨论的情况.

老师们在日常教学中，可以独立地进行经常性的课例分

析，也可以以教研组为单位开展交流.

需要说明的是：案例教学与举例说明是不同的；课例分

析与评优课、或说课也是不同的.然而，课例分析水平的提

高，可以促进所有这几方面水平的提高.

（3）案例研究.

①案例研究的界定：在对典型教育事件进行具体描述的

基础上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的

研究方法，叫做案例研究.

在案例研究中，作为研究素材的一个或多个案例本身是

研究的一部分，对案例的收集、整理和叙述本身体现着研究

者的研究旨趣和研究立场，但是，案例素材本身并不是理论,

需要研究者对案例素材进行分析、解释、判断和评价，形成

特定的理论.从这个意义上说，案例研究是从具体经验事实

走向一般理论的一种研究工具.（类似于生物学研究中的标

本）

案例研究突破了理论脱离实践的困境，建构了与实际问

题紧密相连的知识体系，便于教师结合自己的教学实际开展

研究.

②案例研究的视角.

通过现场听课、录像播放、文本阅读等获得案例是很方

便的，但是，怎样开展案例研究呢？我们建议抓住三个主要

视角.

视角1:数学的视角（主要看数学功底）

•内容结构：数学内容充实、完整，逻辑线路明晰.

・知识构建：原有知识经验明确，有构建新知识的合理

过程.

・数学概念：清晰、准确，有发生过程.

・数学论证：科学、正确，有思维揭示.

・数学思想：有数学思想方法的渗透、提炼或阐明.

视角2：教学的视角（主要看教学能力）

•教学目标：体现三维目标，定位准确，教学性质清楚.

•教学要求：恰当、适合学生的最近发展区.

•教学方法：创设发现情景，鼓励探索质疑，多向交流

沟通，促成意义建构.

•教学过程：有序、完整，思路清晰，使用多媒体，激

励性评价.

・教学效果：突出了重点、突破了难点，实现了教学目

标.

视角3：观念的视角.

已经进行了十几年的数学新课改课堂，我们的眼光不要

停留在十几年前，观察课堂、寻找特色，应该与时俱进，有

新的认识：

・新课改所倡导的教学理念经过十几年的贯彻，必然会

与数学学科特征有机结合，产生出既区别于其他学科、又区

别于传统的数学教学新特色.其实质是创新.

・新输入的课改理念经过十几年的贯彻，必然会与数学

教育的中国道路相互作用，促进中国数学教育在新课程背景

下的现代发展.其实质还是创新.

・如今的数学教学大体上都是：以问题情景作为课堂教

学的平台，以“数学化”作为课堂教学的目标，以学生通过

自己努力得到结论（或发现）作为课堂教学内容的重要构成,

以“师生互动”作为课堂学习的基本方式.就是说，数学现

实、数学化、再创造、师生互动是四个关键词.

最重要的是能从这些视角里看清基本事实，并用这些事

实去分析相关的数学处理、解释相关的教学行为.当然，课

例分析的共识有的只能作为教师的营养，间接进入课堂，而

有的则可以直接进入课堂，这两方面都将促进教学的发

展.课例分析不应是“空对空”的“纸上谈兵”，而应该是

“实对实”的“行动研究”.

3案例分析的实践巩固

3-1案例2：“线段、射线、直线”的教学

在“线段、射线、直线”的公开课上（听课教师数百人）,

执教老师希望学生“了解线段、射线、直线的定义”，并结

合实际“理解直线公理”（经过两点有且只有一条直线）.

3-1-1教学情节的呈现

（1）让学生直观感受直线：教师引导大家回忆小学时的

相关概念，出示了一组图片，有玉米地，高速路，铁轨，还

有如图5的做广播操队列等.

图5

（2）让学生进行“队列活动”（站起来），体验：两点

确定一条直线.

活动1：教师让一个学生（甲）先站起来，然后请同学

们自己确定，凡是能与甲同学共线的就站起来.一开始，你

看看我、我看看你，没有人站起来，不一会四面八方有人站

起来，最后全班学生都站起来.老师总结：过一点的直线是

不唯一的，所以每个同学都可以与甲同学共线（图6（1）,

经过一点有无数条直线）.

活动2：教师让两个学生先站起来，然后请同学们自己确

定，凡是能与这两个同学共线的就站起来.学生很快作出反

应，站起来了一斜排同学（其他同学没有站起来）.老师总

结：两点确定一条直线，所以有且只有一斜排学生与这两个

同学共线（图6（2）,经过两点有且只有一条直线）.

活动3：教师让三个学生先站起来，然后请同学们自己

确定，凡是能与这三个同学共线的就站起来.当三个学生共

线时，站起来了一斜排同学；当三个学生不共线时，有个别

学生站起来(与其中两个同学共线)，后来又坐下了，最终

没有一个人站起来.老师总结：经过三点可能有一条直线，

也可能没有直线(图6(2)或(3)).

整堂课，学生活动或回答问题不下四、五十人次，有的

学生站起来等活动不下六、七次，课堂气氛很热烈.

(3)对“直线”的反馈调查.

课后了解，学生很欢迎这堂课，都很高兴.

①调查学生.询问学生“今天这节课你学到了什么？”

学生回答：学到了线段、射线、直线.询问学生所理解的直

线是什么？学生不能回答.追问“说说直线是什么样的图

形”，学生还是答不上来.

②调查听课教师.把询问学生的情况向听课教师汇报，

特别提出，学生学习了一节课直线，但说不出直线是什么，

老师们，你们也听课了、可能还上过这个课题，你们说说直

线是什么？全场肃静，没有一个老师回答.

③调查执教老师.转而询问执教老师：你认为直线是什

么？教师没有正面回答，更多的是介绍教学设计的意图.

结论：学生学了直线不知道直线.

3-2-2教学情节的反思

我的评课，首先肯定了教师的教学功底扎实，教学热情

饱满，教学组织流畅，课堂气氛活跃，呈现出几个突出的特

八占、、.♦

・重视学生参与，努力体现学生在探究活动中的主体地

位.

•重视情景创设，努力体现情境对意义建构的重要作

用.

•重视合作学习，努力体现学习共同体对学生学习的推

动作用.

•重视积极评价，努力发挥过程性评价在学生学习中的

激励作用.

・重视人文熏陶，努力发挥数学文化对学生情感态度发

展的促进作用.

然后我谈了四点反思.

(1)反思知识的封闭性.

①第一个表现是，不知道直线没有定义！

②第二个表现是，不明确直线的一些属性，教学中不能

自觉渗透这些属性.

如，无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸,

很直很直，等等.但是，“连续”、“无穷”、“很直”等又是

需要定义的，因而，这些词语都只是粗糙的解释.从公元前

三世纪欧几里得《几何原本》以来，数学家曾作过直线定义

的许多努力，但都没有成功，因为点、直线，平面是原始概

念，不能严格定义.描述它们的基本办法是用公理来刻画，

本节课中的“直线公理”：经过两点有且只有一条直线，正

是直线的本质特征.试想，如果“直线”不是很直很直的，

那经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”

不是两端可以无穷延伸的，那经过两点的线段就可以延伸出

长短不一的很多很多直线.教学上也有一些处理技术，比如,

本节课中先描述“线段”，然后，用线段来描述直线，把直

线理解为线段两端无限延伸所形成的图形.

（2）反思情景的局限性.

现实原型与数学模式之间既有联系更有区别，比如图9

中的做广播操队列与直线之间可以找到很多不同，列表表示

如下：

内容项目做广播操的队列直线图形

具体与抽象有宽度、有高度没有宽度、没有面积

粗糙与严格学生之间凹凸不平、高低不直线是“很直”的

齐

一维与三维三维立体的一维的

有限与无限有限个人组成无限个点组成

连续与间断间断的连续的

特殊与一般一个现实原形许多现实原形的形式化抽象

实在与形式生活中存在生活中不存在

现实情景的有限性难以表达抽象直线的无限性，现实情

景的离散性难以表达抽象直线的连续性.一条高速路，当着

眼于距离时能提炼出线段，当着眼于笔直延伸时能提炼出直

线，当着眼于面积时能提炼出矩形，当着眼于用料时，能提

炼出长方体.生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能

给我们提供太多的理性承诺，学校教育恰恰应该着眼于社会

生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验.

情景的局限性还给我们寻找恰当的情景带来困难，这时

我们常常采用经过加工的拟真情景一一源于现实而又不拘

泥于真实，关键只在于这种情境应具有相关数学知识的必要

因素与必要形式，如，有的教师或资料提问：“白纸对折64

次，有多高？”这只能理解为“拟真情景”，白纸对折1、2、

3、4、5、6次不难，是真实情景，但继续下去，不到10次

纸就会折断，对折10次都不可能，对折64次只能是一种想

象一一数学思维实验.不了解这些情况，万一学生提出“对

折64次根本不可能”时，教师难免会“无言以对”.

（3）反思活动的单一性.

通过站起来，体验”两点确定一条直线”的活动，确实

设计得很精彩，但给人的感觉是：更关注“唯一不唯一”的

量性收获，缺少为什么“有且只有一条”的质性渗透，本质

上是数学化过程不足.所以学生学了“直线公理”不会用“直

线”去解释“公理”、或不会用“公理”去解释“直线”.

（4）反思“数学化”过程不足.

学生虽然在队列“前后对正、左右看齐”的活动中感受

过直线的“直”，但从具体情景到抽象数学模式之间有一个

“数学化”提炼的艰苦过程，还需要教师去做“数学化”的

提炼工作，把不是数学的“广播操队列”提炼成数学上的“直

线图形”（可能不是一节课就能完成的）.没有这个提炼过程,

学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学，也可

能是借学生的“嘴”代替老师的“灌”（机械接受学习）

数学化过程需要不同程度地经历：辨别、分化、类化、

抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤.在教学条件下，

通常的做法是从大量具体实例出发，从学生实际经验的肯定

例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，通常是

沿着：“具体一一半具体、半抽象一一抽象”的路线前进.较

为关键的是如下5个步骤：

①辨别一类事物的不同例子；

②找出各例子的共同属性；

③从共同属性中抽象出本质属性；

④把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使

新概念与已知的有关概念区别开来；

⑤把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明

确它的外延；

这个过程很重要，体现了数学学习的一个核心价值一一

数学化.弗赖登塔尔认为，如其说学习数学，不如说学习“数

学化”.

在数学教学生活化取向、活动化取向的大潮中，教师的

数学化能力凸现，这是一个创作与创造的过程.数学教师要

有充实的数学知识，数学教学要有数学化的能力.

3-2案例3：三视图的解题活动

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视

图，这是新课程增添的一项内容.不少人认为无非是“长对

正、高平齐、宽相等"（很简单），有的省份还明确规定高考

不考.其实，三视图以及由三视图还原实物（并进行相关几

何量的计算）等内容涉及识图、画图、空间想象能力，逻辑

推理能力和运算求解能力，并有十分丰富的开放性，我们说,

丰富得不仅使学生存在认识封闭，也使高考命题专家出现失

误.

为了呈现三视图课题的开放性，纠正封闭认识，笔者曾

组织过关于三视图的解题活动，经过在中学演示，学生普遍

感到很有收获，趁此机会名酒教育同行.（解题教学的案例）

第一组活动.

例3-1-1如图7,给出正方体ABC。-AgCQ.请画出正

方体的三视图.（为了避免相关方向的线被重合，比如的与

AP重合，图形作了一些技术性的调整，希望不会引起歧义）

讲解学生大笑，不就是三个正方形吗，太容易了.笔

者请大家保留三个正方形，后面继续使用.

例3-1-2若在正方体ABC。-A用G2中截去一个三棱锥

得到如图8的几何体，请画出它的三视图.

讲解学生在上述保留图上画，虽然正方体缺了一个

角，但三面正投影轮廓还是正方形，这与例3-1相同，不同

的是多了三条面对角线，结果为三个正方形各加一条对角

线，如图9.

俯视图

图9

例3-1-3若在图8的基础上再截去一个三棱锥。-比6

得到如图10（右）的几何体，请画出它的三视图.

图10

讲解学生又笑了，他们惊奇发现图8、图10（右）的

三视图均为图9,因为图10（右）的正视图中AB1与3重合,

侧视图中他与BG重合，俯视图中BQ与8。重合.

结论1不同的几何体可以有相同的三视图.

就是说，一个几何体的位置确定之后，它的三视图是唯

一的，但反过来，相同的三视图可以对应不同的几何体（视

图上的线可能是直观图上两根线的重合，斜线与垂线可能有

相同的投影线，同样是虚线可以是挖去一个几何体也可以是

放进一个几何体，三个方向投影相同也可以其他方向投影不

同）.在这一认识上出现封闭就会导致编题失误，请看

例3-1-4（2010年宝鸡第二次质检题）如图9,是某几

何体的三视图，其中三个视图的轮廓都是边长为1的正方形,

则该几何体的体积为.

讲解配套答案给出的几何体正是图8,体积为

.但大家由上面的讨论知这是错误的，如图10所

326

示，几何体并不惟一，还可以体积为：.同学们又笑了，原

来题也有错的.

第二组活动.

例3-2-1若在图8的基础上再截去两个三棱锥8-阴c,

G-BCR得到如图11（右）的几何体，请画出它的三视图.

D,C,D,

图11

例3-2-2再从图11（右）的几何体中再截去三棱锥

O-ACR得到如图12（右）的正四面体ABC9，请画出它的三

视图.

讲解图11（右）、图11（右）的三视图均为图13,因

为图11（右）中三棱锥。-AC2的相关线段被图12（右）中

的三视图重合了：

正视图中，图12（右）中的RA重合了图11（右）中的DQ,

图12（右）中的AC重合了图11（右）的DC;

左视图中，图12（右）中的2c重合了图11（右）中的

DR,图12（右）中的AC重合了图11（右）中的4）；

俯视图中，图12（右）中的。①重合了图11（右）中的AD,

图12（右）中的〃c重合了图11（右）中的。c.

上视图左视图

结论2同一个几何体摆法不同可以有不同的三视图.

这组练习一方面强化了结论1（不同的几何体可以有相

同的三视图），另方面，又通过图12（右）告诉大家，正四

面体三视图的轮廓可以是三角形，也可以是正方形.

与第一组活动最后做一道“错题”（例3-1-4）相反相成,

这一次做一道高考“对题”：

例3-2-3（2012年高考数学陕西卷文科第8题）将正方

体（如图14所示）截去两个三棱锥，得到图15所示的几何

体，则该几何体的左视图为（）.

(A)(B)(C)(D)

图16

解这个几何体比图11、图12还简单，但与图11、图

12有相同的左视图，其轮廓为正方形，而AA的投影是一条

从左上角到右下角的实对角线，4c的投影是一条从右上角到

左下角的虚对角线，故答案为（B）.

第三组活动.

进入第三组活动，综合性加强，对、错题并举，并练习

如何纠正错题.

例3-3-1若把正方体木块A6co-AgGA截去四个三棱

锥A-ABQ,B-ABXC,C,-BXCDX,D-ACD,,可以得到一个正四

面体木块4-ACQ（如图17（右），保持其在正方体中的位置

不动）；而正方体平移取出这个正四面体后，可得到一个“中

空正方体”木块，如图17（左）.对这两个木块几何体给出

四个判断：

（1）两个几何体有相同的三视图，