2021届高考数学复习《空间向量》教师用卷

高考数学专题空间向量

一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)

1.在三棱锥。一/WC中，若。为BC的中点，则而=()

A.lOA+^OC-OBB.++

C.^0B+l0C-0AD,lOB+^OC+OA

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

如图所示，。为BC的中点，OD=^(OB+OC),代入而=前一市即可得出.

【解答】

解：如图所示，

•••。为BC的中点,

OD=|(OB+0<),

AD=OD-OA+OC)-OA,

故选：C.

2.已知三棱锥0-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点，且耐=^,0B=b,0C=c-

用五，石兄表示丽，则而等于()

o,

A.1(b+c-a)

C.^(a-b+c)D.i(c-a-K)

【答案】D

【解析】解：由题意知而=而一而

1―，1—,—,

=-OC--{OA+OB}

■.■OA=a,OB=b,OC=c

__>1---

:.MN=那一b-c)

故选£>.

根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知

向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果.

本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知

棱表示要求的结果，本题是一个基础题.

3.如图，平行六面体ABCD-4/心。1中,AC与8。的交点为点M,设荏=a>AD=b，

何=小则下列向量中与的相等的向量是（）

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G

AB

A・-：Q+：b+c+：匕+cC.-\a-\b-cD.-：Q-：b+c

22222222

【答案】c

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量的基本定理，直接利用空间向量的加减运算即可求解.

【解答】

解：由题意，根据向量运算的加减运算法则，

QM=Z\C+CM=一而一?就=一丽一g须+硒

］一1―.—，

=——AB——AD—AA

221r

=——1a—1,b—c.,

22

故选C.

4.已知向量Z=（8,1,x）,b=（x,^2）,其中x>0.若苍〃B，则x的值为（）

A.8B.4C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线的坐标表示，解题的关键是设出实数;I,根据充要条件写出两个

变量之间的关系.根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，把其中

两个作为方程组求解，得到x的值.

【解答】

解：•・•方//b

・•・存在;I>0使a=Ab

即(81，％)=(Ax,A,2A)

Ax=8,

x

小

x=2A

解得］Z4

故选B.

5.已知向量五=(1,0，—1)，则下列向量中与方成60。夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

【答案】B

【解析】解：不妨设向量为方=(x,y,z),

A.若方=(-1,1,0),贝kos"器=^^=-"点不满足条件.

A若派(1T,。)，则W。=器=熹.满足条件.

C•若石=(。，T，。则血8=晶=蒜=一：％不满足条件.

。廊=(_1,0,1),则cos"矗=£^=-1制，不满足条件.

故选:B.

根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.

本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.

6.已知向量；=(1,2,3),b=(-2,-4,-6)1|c|=V14>若6+b)."=7,则)与展的

夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，以及向量数量积的运算，属于一般题，求出

五1=一7是解题的关键.

由已知可得行+石=一用代入条件0可得五1=一7,将其代入两向量夹角

的余弦公式，可得结果.

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【解答】

解：•.•五=(1,2,3),b=(-2,-4,-6).

b=—2a<'•a+b=-a<

•••(a+b)-c=—a-c=7,•■a-c=-7,

••a，N)=同।储।

-7__1

—V14X>/14-2'

又€K『.1801,

=1201

故选c

7.已知向量Q=QI,0),B=(-1,0,2),且上式+8与2五一石互相平行，则%的值是

()

A.—2B.：C.D.：

335

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线的应用，属于基础题.

由题意得到方程组，解出即可.

【解答】

解：由题意得，k五+方=(卜一1/，2),2方一方=(3,2,-2).

所以口一1法,2)=4(3,2,-2),

住一1=34

即k=2A,

(2=-2A

解得k=—2,A=—1.

故选A.

8.已知平面a内有一个点M(l,—1,2),平面a的一个法向量是五=(6,-3,6),则下列点

P在平面a内的是()

A.P(2,3,3)B.P(—2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,—3,4)

【答案】A

【解析】

【分析】

本题可采用逐一验证法，先求出称，再由诂.％=0可以得点尸在平面内，由此—

验证可得正确答案.

【解答】

解：采用逐一验证法，对于选项4,而=(1,4,1),

二诂.蔡=6-12+6=0，MP1U二点P在平面a内，

同理可验证其他三个点不在平面a内.

故选A.

9.若平面a的一个法向量为(1,2,0),平面夕的一个法向量为(2,-1,0),则平面a和平

面口的位置关系是()

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题.

由数量积的运算可得数量积为0,可得法向量垂直，故平面垂直.

【解答】

解：由题意可得(1,2,0)-(2,-1,0)

=1x2—2xl+0x0=0,

故两个平面的法向量垂直，故平面a和平面0的位置关系为垂直，

故选C.

10.设平面a与向量N=(-1,2,-4)垂直，平面?与向量方=(2,3,1)垂直，则平面a与

平面0的位置关系是()

A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.无法判断

【答案】A

【解析】

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【分析】

本题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题.

由数量积的运算可得两平面法向量的数量积为0,可得法向量垂直，故平面垂直.

【解答】

解：由题知五，石分别是a、夕的法向量，

又五・3=-lx2+2x3-4x1=0，

:.a1

.,.al/?.

故选A.

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

11.已知在空间直角坐标系。孙z中，点4(一3,5,-2),a=(-1,1,1),在yOz面上找

一点B,使得荏//a，则点B的坐标为.

【答案】(0,2,-5)

【解析】

【分析】

本题考查空间点的坐标，考查方程思想.设C点为(0/,y),则由题意得存在一个实数

九使得福=4五，列出方程，即可得出结论，属于一般题.

【解答】

解：设B(0,y,z),则超=(3,y-5,z+2).

•••AB//a<

.♦.存在一个实数九使得荏=4五,B|J(3,y-5,z+2)=2(-1,1,1),

3=—X,

・•・y-5=尢

z+2=4,

解得2=-3,y=2,z=-5,

二点5的坐标为(0,2,-5).

故答案为(0,2,-5).

12.判断下列结论的正误.(正确的打，错误的打“x”)

(1)若A,B,C,。是空间任意四点，则有荏+配+前+无？=0.()

(2)同一w=y+q是获共线的充要条件.()

(3)空间中任意两非零向量共面.()

(4)对空间任意一点0与不共线的三点A,B,C,若方=万瓦？+丁赤+zU?(其

中x,y,z€R),则P,A,B,C四点共面.()

(5)对于空间非零向量£)=0.()

(6)对于非零向量b，由a,b=£1,(：,得a=c.()

(7)在向量的数量积运算中满足［工)二=:G•习.()

【答案】1.V；

2.x；

3.V;

4.x；

5.V;

6.x；

7.x

【解析】

(1)【分析】

由多边形法则可得同+BC+CD+DA=AA=0,即可判断出：

【解答】

解：•••4、B、C、。是空间任意四点，由多边形法则可得荏+灰^+而+石？=AA=0,

故正确；

故答案为V；

(2)【分析】

根据共线向量的条件进行判断；

【解答】

解：忖［-何=卜+彳是共线的充要条件判断错误；

故答案为X；

(3)【分析】

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根据空间向量的关系进行判断即可;

【解答】

解：空间中任意两非零向量3b即可共面判断正确；

故答案为V：

(4)【分析】

对空间任意一点。与不共线的三点A、B、C,如图所示平行六面体，赤=OA+OB+OC，

满足条件，但是P、A、B、C四点不共面；

【解答】

解：对空间任意一点。与不共线的三点A、8、C,如图所示平行六面体，

OP=OA+OB+0C，满足条件，但是尸、A、B、C四点不共面.；

故答案为X;

(5)【分析】

根据空间向量垂直进行判断即可；

【解答】

解：对于空间非零向量£j.IQ]=0由向量垂直的判定可知判断正确；

故答案为，:

(6)【分析】

本题考查的知识点是平面向量的数量积的性质及其运算律，根据平面向量的数量积的性

质及其运算律对题目中给出的四个结论逐一进行判断即可得到正确的答案；

【解答】

解：a-c=b-c^(a—b)-c=0=>(a—b)lc<判断错误；

故答案为x；

(7)【分析】

本利用向量的数量积满足交换律和分配律，但是不满足消去律和结合律，即可得到结论;

【解答】

解：向量不满足结合律，故在向量的数量积运算中满足•展=3G.").是错误的,

故答案为X：

13.如图，以长方体4BCD-&B1GD1的顶点。为坐标

原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空

间直角坐标系，若西的坐标为(4,3,2),则属的坐

标是.

【答案】(-4,3,2)

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

由西的坐标为(4,3,2),分别求出A和6的坐标，由此能求出结果.

【解答】

解：以长方体4BCD的顶点。为坐标原点，

过力的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

•.•西的坐标为(4,3,2),•••4(4,0,0),Cj(0,3,2),

•••AC[=(-4,3,2).

故答案为(-4,3,2).

14.已知长方体力BCD-&B1C1D1中，DA=DDr=1,DC=/2,点E是当心的中点,

建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，则|4E|=.

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【答案】叵

2

【解析】

【分析】

确定A,E的坐标，可得荏的坐标然后求出AE的长度；本题考查向量的坐标及模长的

计算，考查向量的数量积，正确表示向量是关键.

【解答】

解：由题意长方体ABCD-A/iCiCi中，=。历=1,DC=在，点E是81cl的中点，

建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，4(1,0,0),F(i,V2,l),

••AE=(-1,V2,1)

|码=J(-1)2+(V2)2+12=尊

故答案为虎.

2

三、解答题(本大题共4小题，共48.()分)

15.如图所示，在平行六面体4BCD-&B1C1D1中，若亚=|fC,不=2而,记丽(=

a,AB=b,AD=c>

试用I五,瓦下表示前，则结果如何？

【答案】解：如图，连接4凡

则胡=前+正

由已知A8CZ)是平行四边形，

:.AC=AB+AD=b+3

A^D=A1A+AD=—a+c-

又荏=二正，.♦./=一二芯=一工(石+方，

由已知审=2而，

^4F=AD+DF=AD-FD

=AD-^A^D=c-1(c-a)

=l(a+2T),

EF=EA+AF

1一一114

=--(b+c)+-(a+2c)

=^(a-b+c).

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【解析】本题考查了空间向量的加法和减法，向量基本定理，也考查了空间想象能力,

是基础题目，根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的加法几何意义表示出答案.

16.如图所不，在平行六面体中，设44；=a>AB=b，AD=c，M,

N,尸分别是BC,CW1的中点，试用“，b,c表示以下各向量：

⑴而；

(2)而+西•

【答案】解：(1)因为尸是C1O1的中点，所以

,■，-，2，，,一，♦一,一一•♦，，，>1一>1，，，，，

=

APAA1++D]P=a+AD+-=Q4~c+—AB=ci4-c4--fa.

(2)因为M是441的中点，所以

—»—>一1__,一1111

MP=MA+AP=-AA+AP=——a4-(a+c+—b)=50+5%+。

乙t乙乙乙乙

又存=而+西=之近+丽=,而+布=gc+a,

==

所以MP+/VC:((-ci+-6+c)+(ci+-c)-ci+-£>+-c.

【解析】本题考查了空间向量的基本定理及应用和空间向量的加法运算及数乘运算.

17.如图，在三棱柱ABC-AB'C'中，A'AABC,AC=BC=AA',/.ACB=90°,

D,E分别为48,BB'的中点.

(1)求证：CELA'D-.

(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.

【答案】解：(1)证明：设方=日，CB=b，CC'=c>

根据题意，|a|=|K|=|c|Ha-b=b-c=a-c=O>

-.CE=b+-c,-c+-b--a,

2T2D=2

■­.CE-ArD=-b2--c2=0,

22

•''CF

即CE1AD；

(2)^C=-a+c>

二|莉|=&|a|，|CE|=y|a|-

^-6^=(-a+c)-(K+|c)=|c2=|a2,

—r->7^?、_加2_

・•.cosvAC，CE>=房R=77・

V2—axw

即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为叵.

10

【解析】本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角.

(1)先石？=正区=3，，而=芸建立一个基底，再用基底表示在，前，然后计算其数

量积，可得答案：

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(2)由(1)表示彳3ICFI=vs\a\,再用向量的夹角公式求解.

2

18.如图，在长方体4BCD-A/iGDi中，AB=A&=1,E为8c中点.

(1)求证：QD1DiE；

(2)在棱4必上是否存在一点M,使得BM〃平面4D]E?若存在，求黑的值，若不

存在，说明理由；

(3)若二面角为-AE-Di的大小为90。，求AO的长.

【答案】(1)证明：以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设AD=a,

则。(0,0,0),4(a,0,0),0),C(0,l,0),

1),Ci(0,1,1),5(0,0,1),E(al,0),

:.CDi=(0,-1,-1)，DiE=

则C》-O；E=O,

・•・C】D1D1E；

(2)解：设喘■=九，则M(a,0,h),

—>1,0)，AD=(-a,0,1)-

BM=(0,-1㈤，AE=X

(tt

n-AE=--ax+y=0

设平面的法向量为£=