第10讲 用因式分解法解一元二次方程（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第10讲用因式分解法解一元二次方程正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方方程的应用。一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点1：因式分解法解一元二次方程例1．方程的根为(

)A． B． C． D．或例2．方程的解是（

）A． B． C． D．例3．解下列方程(1)(2)例4．用适当的方法解下列方程：(1)(2)例5．用适当的方法解方程：(1)．(2)．例6．一元二次方程的根是__________．考点2：因式分解法解一元二次方程易错题例7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是

(

)A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2例8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（

）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0考点3：因式分解法解一元二次方程的应用例9．如果代数式与的值相等，那么x=______．例10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0例11．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．例12．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（

）A．11 B．21 C．11或21 D．11或1考点4：换元法例13．已知，则的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．例14．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．考点5：分类讨论思想例15．关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（

）A．2个B．4个C．6个D．无数个例16．解方程的解是（

）A． B． C． D．考点6：创新题型例17．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（

）A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2例18．于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（

）A．6 B．2 C．2或 D．2或或6例19．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（

）A．13 B．10 C．8 D．7一、单选题1．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0二、填空题4．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．5．（2020·贵州毕节·统考中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．6．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．三、解答题7．（2022·四川凉山·统考中考真题）解方程：x2－2x－3＝08．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．一、单选题1．方程的根是（

）A． B． C． D．2．方程的根是（

）A． B． C． D．3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（

）A．∵，∴或B．∵，∴或C．∵，∴或D．∵，∴4．下列方程适合用因式分解法解的是（

）A． B．C． D．5．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．56．若x，y都是负数，且，则的值是（

）A． B． C．5 D．7．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（

）A．7 B．10 C．10或11 D．118．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为()A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，19．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（

）A． B． C． D．10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（

）①当时，若，则②无论x取任何实数，等式都恒成立，则③若，，则④满足的整数解共有8个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．一元二次方程的解是________．12．一元二次方程的解是________．13．一元二次方程的解为__．14．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为____________．15．若方程和的解相同，则的值为______．16．菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为______．17．定义新运算“”，规则：，如，．若的两根为，则_____．18．已知正整数满足：，则值为___________．三、解答题19．用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．20．用因式分解法解下列关于x的方程（1）

（2）（3）

（4）21．用因式分解法解下列关于x的方程：（1）；（2）；（3）；（4）．22．已知关于的方程．(1)求证：无论取什么数，方程总有两个实数根；(2)若已知方程有一个实数根是，试求出另一个实数根．23．以下是小滨在解方程时的解答过程．解原方程可化为，解得原方程的解是．小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．24．已知关于的一元二次方程，其中分别是的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状；(2)若是等边三角形，试求该一元二次方程的根．25．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．小白：哈哈！结果为正数．

小青：x，y不一定相等哦．结合他们的对话，请解答下列问题：(1)当时，①求x的值．