第11讲 用公式法解一元二次方程（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第11讲用公式法解一元二次方程理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.二、1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则≥0.考点1：公式法解一元二次方程及其逆用例1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，例2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（

）A． B．C． D．例3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（

）A． B． C． D．例4．用公式法解方程，其中求得的值是（

）.A．16 B．C．32 D．64例5．是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B． C． D．例6．方程中，的值为__________，根是___________．例7．解下列方程：(1)(2)(3)例8．解方程：(1)；(2)．例9．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．例10．解下列方程或不等式：（1）；（2）．例11．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（

）A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D．考点2：选择适当的方法解一元二次方程例12．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(

)A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法例13．解方程①9(x-3)2=25，②6x2-x=1，③x2+4x-3596=0，④x(x-1)=1.较简便的方法依次是（

）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法例14．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．①；②；③；④；⑤．(1)直接开平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．考点3：比较一元二次方程根的大小例15．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(

)A．1+ B． C． D．例16．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（

）A．≥B．＞C．≤D．＜例17．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣考点4：公式法的应用例18．若分式的值为，则的值等于_______.例19．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．例20．若，那么________．考点5：创新阅读材料题例21．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（

）A．－1 B．－1或 C． D．1或考点6：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况例22．下列一元二次方程没有实数根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0例23．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根例24．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17例25．方程的根的判别式Δ＝_____，其根的情况_____．考点7：根据一元二次方程根的情况求参数范围例26．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且例27．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（

）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1例28．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞且k≠0例29．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且例30．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．例31．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为_______．例32．如果关于的方程有两个实数根，那么满足______________例33．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是______．例34．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是__________．例35．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：当k≥-1时，该方程有实数根；丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根．A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对考点8：根据相应条件，衍化变形，逻辑推理，并推断出结果例36．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（

）A．若c＝0，则方程一定有一根为0；B．若，则方程一定有两个实数根；C．若，则方程必有一根为－1；D．若，则方程必有两个不相等的实数根．例37．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②考点9：复杂的知根求参（数）；知参（数）求根例38．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根例39．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1考点10：创新阅读材料题例40．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（

）A．a=c B．a=b C．b=c D．例41．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（

）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根考点11：解答证明题例42．已知关于x的方程x（mx﹣4）＝（x+2）（x﹣2）．(1)若方程只有一个根，求m的值并求出此时方程的根；(2)若方程有两个不相等的实数根，求m的值．例43．已知关于x的一元二次方程（m为常数）.（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值．（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围.例44．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．一、单选题1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．12．（2020·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且3．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关4．（2019·河北·统考中考真题）小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根5．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（

）A． B． C．且 D．且二、填空题6．（2022·江苏扬州·统考中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．7．（2021·四川内江·统考中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为___．8．（2017·山东泰安·中考真题）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为_________．9．（2017·湖南岳阳·中考真题）在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为____．10．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．三、解答题11．（2019·湖南常德·统考中考真题）解方程:.12．（2016·甘肃·中考真题）已知关于x的方程．(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．13．（2019·湖南衡阳·统考中考真题）关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．一、单选题1．方程的根是（

）A． B． C． D．2．是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B． C． D．3．以x＝为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝04．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．5．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝06．方程的根为（）A．x=-4 B．x=5C．， D．以上结论都不对7．下列方程中，无论取什么实数，总有两个不相等的实数根的是(

)A． B．C． D．8．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜09．一元二次方程的根是（）A．,B．，C．,D．10．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(

)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④二、填空题11．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.12．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．13．方程（）的根是___________．14．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________.15．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．16．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________．17．一元二次方程的解为_____________________．18．设A是方程x2-x-520=0的所有根的绝对值之和,则A2=________.三、解答题19．不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)；(4)．20．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．21．用公式法解下列方程：（1