2025高考物理总复习含弹簧的机械能守恒问题

第六章机械能守恒定律微点突破3含弹簧的机械能守恒问题目标要求知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。1.由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。3.对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep＝

弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。例1

(2024·江苏省高邮中学期中)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图乙所示，则A.t1时刻小球动能最大B.t2时刻小球动能最大C.t2～t3这段时间内，小球的动能先增大后减小D.t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能√小球在接触弹簧之前做自由落体运动。碰到弹簧后先做加速度不断减小的加速运动，当加速度为0即重力大小等于弹簧弹力大小时加速度达到最大值，而后往下做加速度不断增大的减速运动，与弹簧接触的整个下降过程，小球的动能和重力势能转化为弹簧的弹性势能。上升过程恰好是下降过程的逆过程。由题图乙可知t1时刻开始接触弹簧，但在刚开始接触后的一段时间内，重力大于弹簧弹力，小球仍做加速运动，所以此刻小球的动能不是最大，A错误；t2时刻弹力最大，小球处在最低点，动能最小，B错误；t3时刻小球往上运动恰好要离开弹簧；t2～t3这段时间内，小球先加速后减速，动能先增大后减小，弹簧的弹性势能转化为小球的动能和重力势能，C正确，D错误。例2如图所示，质量为M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l0的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中点，θ＝30°。现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，下列说法正确的有A.下滑过程中小球的机械能守恒√下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，因此小球的机械能不守恒，故A错误；在B点，弹簧恢复原长，因此重力沿杆的分力提供加速度，根据牛顿第二定律可得mgcos30°＝ma，解得a＝

故B正确；到达B点时加速度与速度方向相同，因此小球还会加速，故C错误；因为C是AO′段的中点，θ＝30°，由几何关系知当小球到C点时，弹簧的长度与在A点时相同，故在A、C两位置弹簧弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，有mgl0＝故D错误。例3

(2023·江苏苏州市八校联盟月考)如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为4m，把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等，已知OA与水平面的夹角θ＝53°，OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，滑块P从A到B的过程中，下列说法正确的是A.滑块P的加速度一直减小B.滑块P的最大速度为C.轻绳对滑块P做功为8mgLD.重力对重物Q做功的功率一直减小√根据题意可知，滑块P从A点开始运动时，重物Q的速度为零，则重物Q重力的功率为零，当滑块P到达B点时，重物Q的速度也为零，此时重物Q重力的功率为零，则滑块由A到B的过程中，重物Q重力的功率先增大后减小，故D错误；在A点弹簧对P的弹力向上，在B点弹簧对P弹力向下，可知P先加速上升后减速上升，在A、B间某位置，合力为零，速度最大，则滑块P的最大速度大于从A点到速度最大点，弹簧的弹力不断减小，绳子拉力在竖直方向的分力也减小，可知加速度不断减小，在从速度最大点到B点过程中，绳子拉力在竖直方向的分力越来越小，合力向下，可知P所受的合力越来越大，则加速度越来越大，故A、B错误。例4如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。整个过程中A一直在斜面上且B未与滑轮相碰，求：由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。由牛顿第二定律得4mgsinα－2mg＝0(1)斜面的倾角α；答案30°(2)A球获得的最大速度vm的大小。初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B：kΔx＝mg因B、C的质量均为m，则C球恰好离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零，A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，例5

(2023·江苏扬州市新华中学三模)如图所示，半径为R的光滑半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直方向的夹角为60°，导轨上的C点在A点的正下方，D点是轨道的最低点，质量为m的圆环套在导轨上，圆环通过两个相同的轻弹簧分别与A、B两点连接，弹簧原长均为R，对圆环施加水平向右的力F＝

可使其静止在D点。(重力加速度为g)(1)求弹簧的劲度系数k：如图甲所示，圆环在D点时，BD弹簧处于原长，AD弹簧的伸长量为x＝(－1)R对圆环受力分析，正交分解有F＝kxsin30°(2)由C点静止释放圆环，求圆环运动到D点的动能Ek；C点与D点的高度差h＝0.5R圆环从C运动到D，在C点和D点两弹簧弹性势能的和相等，根据机械能守恒mgh＝Ek(3)由C点静止释放圆环，求圆环运动到D点时对轨道的作用力FN。答案1.7mg，方向竖直向下对圆环受力分析如图乙所示，正交分解有解得FN′＝1.7mg根据牛顿第三定律，圆环对轨道的作用力FN＝FN′＝1.7mg，方向竖直向下。跟踪训练1.(2023·江苏盐城市阶段练习)如图所示，“蹦极”运动中，游戏者身系弹性绳下落。不计空气阻力，游戏者从图中位置下落到最低点过程中，下列说法正确的是A.弹性绳原长位置，弹性绳弹力等于游戏者重力B.游戏者速度最大时，弹性绳的弹性势能为零C.弹性绳的弹性势能最大时，游戏者速度最大D.弹性绳伸长阶段，其弹性势能一直增大，游戏

者的动能先增大后减小√1234弹性绳原长位置，弹性绳弹力为零，小于游戏者重力，故A错误；弹性绳伸长过程，一开始弹力小于重力，游戏者向下做加速运动；当弹力等于重力时，游戏者速度达到最大；之后游戏者继续下落，弹力大于重力，游戏者向下做减速运动，当运动到最低点时，弹性绳伸长量最大，此时弹性绳的弹性势能最大；可知弹性绳伸长阶段，其弹性势能一直增大，游戏者的动能先增大后减小，故B、C错误，D正确。12342.(2023·江苏南通市海安高级中学检测)如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点到O点的距离为

OP与杆垂直。当小球置于杆上P点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是1234C.从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力

先变小后变大D.从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球

受到的摩擦力做功相同√1234根据题意，设弹簧的劲度系数为k，在P点时，由于球置于杆上P点时恰好能保持静止，则有F1＝FN，mg＝μFN1234由平衡条件有FN′＝F′sin45°，由牛顿第二定律有mg＋F′cos45°－μFN′＝ma，1234杆上M、N两点与O点的距离均为l，所以小球在M和N点时弹簧处于原长，小球从M到P过程中，弹簧的压缩量增大、弹力增大，弹簧弹力在水平方向的分力增大、摩擦力增大；小球从P到N过程中，弹簧的压缩量减小、弹力减小，弹簧弹力在水平方向的分力减小、摩擦力减小，故从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变大后变小，故C错误；关于P点对称的任意两点，小球受到的摩擦力相同，所以从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同，故D正确。12343.(2023·江苏扬州市一模)如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，已知弹簧的弹性势能表达式Ep＝

重力加速度为g，不计空气阻力，则1234√小球下落到最低点时重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，且有Epmax＝3mgx0，故A正确；根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有当小球的重力等于弹簧弹力时，小球有最大速度，则有mg＝kx1，再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒有mg(x1＋2x0)

解得最大速度为vmax＝

，故B错误；小球运动到最低点时有kx0－mg＝ma，解得a＝5g，故D错误。12344.(2023·江苏镇江市阶段练习)如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的物体A和B用一劲度系数k＝120N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住。用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆间的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为d＝0.4m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行，现让环C从位置R由静止释放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求：1234(1)小环C的质量M；1234答案0.72kg先以A、B组成的整体为研究对象，A、B整体受到重力、支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为FT＝2mgsinθ＝2×1×10×sin37°＝12N以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图则FT·cos53°＝Mg代入数据得M＝0.72kg1234(2)小环C运动到位置Q的速率v；1234环从位置R运动到位置Q的过程中，小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒1234vA＝vcosα(3)小环