高中数学数列通项公式的常用求法

数列通项公式的求法

一、定义法

干脆利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.

例1.等差数列｛%｝是递增数列，前n项和为S“，且6,%,%成等比数列，求数列｛%｝的通项

公式.

金评：利用定义法求数列通项时要留意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前〃项和s”与明的关系，求数列｛%｝的通项明可用公式.......求解。

例2.已知数列｛/｝的前〃项和S“满意S“=+(-1)",〃>1.求数歹lj"｝的通项公式。

点评：利用公式......〃二求解时，要留意对n分类探讨，但若能合写时肯定要合并.

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，

有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1递推公式为。向=%+/5)解法：把原递推公式转化为。向-氏=/(〃)，利用累加法(逐差相

加法)求解。

已知数列｛%｝中，q=1，且a2*=出1+(-1)"，=旬+3'，其中人=1,2,3,....,求数列｛%｝的通项公式。(高

考题)

例3.已知数列｛*｝满意。|=」，“用=%+——,求4。

2〃~十〃

类型2(1)递推公式为4向=/(〃)/解法：把原递推公式转化为-=/(")，利用累乘法(逐商相乘

法)求解。

己知数列｛｝,满意&=l-+2a2+3a3+…+(〃—1)T(〃22),则｛｝的通项(高考题)a=P〃+

"—n>2

例4.已知数列｛%｝满意囚=2,。求明。

3〃+1

(2).由%a=/(〃)《,和卬确定的递推数列｛%｝的通项可如下求得：

由已知递推式有-2)a“_2，•••，/=/(1)0依次向前代入，得

“T0

a=f(n-l)f(n-2)--f(V),简记为/冈(〃之1,口//)=1),这就是叠(迭)代法的基本模

nai攵=1&=1

式。

(3)递推式：％「》“+/,(〃)解法：只需构造数列h｝,消去了⑹带来的差异.

例5.设数列｛a“｝：a1=4,a“=3a“_j+2〃-1,(〃22),求a“.

说明：（1）若f（ri）为〃的二次式，则可设a=。“+A/+斯+C;（2）本题也可由

4=3%_1+2〃-1,J=3%_2+2（〃T）T（“23）两式相减得凡=3（%_1-%_2）+2转化为

b”=pb“_i+q求之•

Q，7_1

例6,已知4=3,〃“+]=-----a（n>l）,求明。

3〃+2n

类型3递推公式为《用="〃+夕（其中p,q均为常数，（pq（p-1）工0））。

解法：把原递推公式转化为：。,向T=°（为一），其中r=—乙，再利用换元法转化为等比数列求解。

「P

在数列也,｝中，若％=1,4向=2%+3（〃Nl）,则该数列的通项（高考题）

例7.已知数列｛〃,,｝中，a,=1,a用=2%+3,求明.

类型4递推公式为%=pa“+q"（其中p,q均为常数，（pq（p-l）（q-l）/0））。（或%+]=pa“+ny”,

其中P，q,r•均为常数）

设数列｛为｝的前"项的和S“=ga“-gx2"+i+|,〃=1,2,3,一求首项力与通项勺；（高考题）

解法：该类型较类型3要困难一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以《"I得：肃=/・亍+｝

引入协助数列也,｝（其中a=々），得：么用="a+，再应用类型3的方法解决。

qqq

例&已知数列｛%｝中,％=.,。,川=+“+（3严，求明。

类型5递推公式为-2=/”用+（其中P，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为a,.-sa“T=r（a,用-sa“）其中s,t满意‘+'=再应用前面类型3

st=_q

的方法求解。

已知数列｛靖满意q=1,《川=2%+1（〃eN*）.求数列｛q｝的通项公式；（高考题）

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例9.已知数列中，q=1,生=2,%+2=铲“+1+铲”，求为。

类型6递推公式为S“与牝的关系式。（或S“=/（a"））解法：利用......（”1）进行求解。

〔S“-S,i....（〃N2）

已知正项数列｛｝,其前n项和满意10,56且a⑶$成等比数列，求数列｛｝的通项（高考题）

例10.已知数列｛%｝前n项和S,,=4-%-白.（1）求明M与%的关系；（2）求通项公式巴.

类型7双数列型解法：依据所给两个数列递推公式的关系，敏捷采纳累加、累乘、化归等方法

求解。

例1L已知数列｛4｝中，%=1；数列也,｝中，々=0。当〃22时，”“=，2%+*），2=gai+次_1）,

求明,瓦,.

四、待定系数法（构造法）

求数列通项公式方法敏捷多样，特殊是对于给定的递推关系求通项公式，视察、分析、推理实力要求

较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化

未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列｛/的形式求解。一般地，形如山〃（0W1,W0）型的递推式

均可通过待定系数法对常数（7分解法：设，山（„）与原式比较系数可得一，即」一，从而得等比数列

P-1

｛/。

例12、数列｛a,J满意J,“；,一1"22）,求数列｛a.｝的通项公式。

说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列｛a.一2｝,从而达到解决问题的

目的。

例13、数列｛a,J满意J,+4-7=0,求数列｛a.｝的通项公式。

例14.已知数列｛《,｝满意卬=1,且“=3q,+2,求明.

点评：求递推式形如%（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列

%+I+4=伏％+4）来求得,也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年高考考得许多的一

p-11-P

种题型.

例15.已知数列｛%｝满意q=1,an=3"+2an_t（〃N2）.求明.

点评：递推式为。川=2为+夕川5、口为常数）时，可同除夕向，得

编=乙々+1,令2=2从而化归为*=pa“+q（p、q为常数）型.

qqqq

2、通过分解系数，可转化为特殊数列｛%-%-｝的形式求解。这种方法适用于许,2=+4%型的递

推式，通过对系数P的分解，可得等比数列｛/-。…｝：设4+2-版用=6（。,用-版,,），比较系数得

h+k=p,-hk=q,可解得人,％。

己知数列｛4｝满意q=1,%=3,%+2=31—2a“（〃wN*）.

（I）证明：数列｛a,用-q｝是等比数列；（）求数列｛%｝的通项公式；（高考题）

例16、数列｛a,,｝满意4=2,4=5,a“+2-3a“+i+2*=0,求数列｛a“｝的通项公式。

分析：递推式。,+2-3”用+2%=0中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项明川的系

数分解成1和2,适当组合，可发觉一个等比数列｛a,-%

例17、数列｛%｝中，q=1,4=2,3/+2=2a,用+a„,求数歹U｛a,,｝的通项公式。

说明：若本题中取&==1,则有。"+2+｝"+1=4+1+9,即得

｛-+；/｝为常数列，%+£=“"+，1=・-=42++|=2+3=：故可转化为例13。

例18.已知数列｛%｝满意％=1,a2=2,a“+2=ga,,+i++,，求明。

点评:递推式为a“+2=Pl+的(p、q为常数)时，可以设a,+2—s%+i=f(a“+i-sa“),其待定常数s、t

由s+f=p,sf=-g求出，从而化归为上述已知题型.

五、特征根法

1、设已知数列｛%｝的项满意％=b,an+i=cq+",其中c#O,c#l,求这个数列的通项公式。作出一个方程

x=cx+d,则当/=为时，a”为常数列，即a“=6;当玉产/时,a“=6”+玉)，其中｛么｝是以c为公比的等比数

列，即2=btc"~',b］=at-x0.

例19.已知数列&｝满意：2,〃eN,q=4,求明.

2、对于由递推公式a,"=pa“+］+qa“，q=a,4=/给出的数列｛“"｝，方程-—px-4=0，叫做数列｛“"｝

的特征方程。若和匕是特征方程的两个根，当x尸乙时，数列｛%｝的通项为a“=Ar；i+&；i,其中A,

B由％=a,%=夕确定(即把外,。2，关”》2和〃=L2,代入区,=土7+Bx7，得到关于A、B的方程组)；

当X］时，数列｛%｝的通项为=(A+B")X：T,其中A,B由q=a,%=〃确定(即把。|,。2，七，々和〃=L2，

代入a,=(A+,得到关于A、B的方程组)。

例20：已知数列｛〃“｝满意卬=a,a2=b,3an+2-5an+l+2an=0(«>0,neN),求数列｛a“｝的通项公式。

3、假如数列｛明｝满意下列条件：已知生的值且对于〃eN,都有*H=国华(其中小q、八人均为

ran+/?

常数，且「〃工在"工0必片-或)，贝h可作特征方程》=成辿，当特征方程有且仅有一根与时，则

rrx+h

，」一］是等差数列；当特征方程有两个相异的根4、％时，则［上土］是等比数列。

ax

vn~2.

数列｛a“｝满足％=1且+2/+5=0(〃>1).求数列｛%｝的通项公式.(高考题)

例21、已知数列｛a,J满意性质：对于〃eN,a,i=?之±，且/=3,求｛〃,,｝的通项公式.

2a“+3

例22.已知数列｛%｝满意：对于〃eN,都有%+1=13。"-25

a“+3

(1)若q=5,求(2)若q=3,求%;(3)若q=6,求a“；(4)当％取哪些值时，无穷数列｛%｝不存

在？

说明：形如：勺="犯I递推式,考虑函数倒数关系有_L=以_L+_L)nJ_=h_L+&令a=_L则

k(a,i+b)a„%man%man

物,｝可归为a“M=M“+4型。(取倒数法)

例23：%=丁『闩=1

六、构造法：构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联

想出一种适当的协助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产

生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数

列的通项公式，此类题通常较难，但运用构造法往往给人耳目一新的感觉.

1、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数列的通项公式明显，对于一些递推数列问题，

若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

例24：设各项均为正数的数列｛氏｝的前n项和为S“，对于随意正整数n,都有等式：a「+2a,,=4S“

成立，求｛a,,｝的通项.

解：an+2%=4S“=>a,12+2a,I=4sl'

(o„+a,i)(a„-an_x-2)=0,*.*an+””一产0,/.an-an_t=2.即｛a“｝是以2为公差的等差数列，且

a：+2al=4%=>勾—2.

例25：数列｛4｝中前n项的和S“=2〃-a“，求数列的通项公式％.

解：*.*%=S[=2—qnq=1当n22时，

a

,>~S“_S“_]=2n-an-[2(n-l)-an_t]=-an+2+an_t==不a„_]+1=>a„-2=—(a„_t-2)

令b“=a”—2,贝且仿=1-2=7

也,｝是以;为公比的等比数列，b„=-1x(1)-'

2、构造差式与和式：解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采纳迭加的方法就

可求得这一数列的通项公式.

例26：设｛%｝是首项为1的正项数列，且。；-43-〃勺-〃。,1=0，(nGN*),求数列的通项公式.

解：由题设得3“-")=0.

=q+(4-4)+(“3-4)+…-a,i)=1+2+3+…+〃=例27：数列｛%｝中，a,=1,a2=3,且

%+2=5+3)。川-(〃+2)a“，(nGN*),求通项公式％.

解：。“+2一%+1=(〃+2)(a,“1-a“)=("+2)(〃+l)(a“-a“_J

an=a