高中数学《概率的基本性质》导学案

3.1.3概率的基本性质

卜课前自主预习

一、事件的关系及运算

\定义表示法

一般地，对于事件A与事件

B，若事件A发生，则事件口

包含豳B3A（或回A

一定发生，这时称回事件B

关系UB）

包含事件A（或称血事件A

包含于事件）

事B

件相等若B卫A,且A3B,则称

A=B

的事件画事件A与B相等

关互斥若随］ACIB为不可能事件,若应］ADI=0,

系事件则称事件A与事件B互斥则A与B互斥

若ACIB为小可能事件,AU若陋］AAB=0，

对立

B为必然事件，则称圈事件且GD］AUB=U，

事件

A与事件8互为对立事件则A与B对立

续表

\定义表示法

若某事件发生当且仅当

并回事件A发生或事件B发

园AU8(或圜A

事生，则称此事件为事件A

+B）

事件与事件B的并事件(或和

件事件)

的

运若某事件发生当且仅当

算交国事件A发生且事件N发

事生，则称此事件为事件A圈AP|B（或EAB）

件与事件B的交事件(或

困积事件)

二、概率的几个基本性质

1.概率的范围：任何事件的概率的取值范围为醒O1],必然事件的概率为

理1,不可能事件的概率为皎2

2.概率的加法公式:若事件A与8是互斥事件，则P(AU8)=理P(A)+P(8).

3.对立事件的概率：若事件A与3是对立事件，则P(A)=且1—尸⑻,尸(A

UB)=_g_l，P(AnB)=MQ.

4自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)在同一试验中的两个事件A与3,一定有「(AUB)=P(A)+P(B).()

(2)对互斥事件A与&一定有P(A)+P(B)=1.()

(3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件8一定是对立事件.()

答案(1)X(2)X⑶X

2.做一做

(1)某射击手在一次射击中，射中10环,9环,8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,

则此射击手在一次射击中不够8环的概率为（）

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

答案A

解析依题意，射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故不够8

环的概率为1-0.60=0.40.

（2）（教材改编P⑵T9掷一枚骰子，设事件A=｛出现的点数不大于3｝,8=｛出

现的点数为偶数｝,则事件A与事件8的关系是（）

A.A^B

B.｛出现的点数为2｝

C.事件A与3互斥

D.事件A与3是对立事件

答案B

解析由题意知事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点

数是2或4或6.故AC8=｛出现的点数为2｝.

（3）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中

任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件8：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件D至多有一件次品.

并给出以下结论：

①AUB=C；

②。U6是必然事件；

®AHB=C；

④Ano=c.

其中正确结论的序号是（）

A.①②B.③④

C.①③D.②③

答案A

解析事件AU&至少有一件次品，即事件C,所以①正确；事件

。，③不正确；事件。U&至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，

所以②正确；

事件ACO：恰有一件次品，即事件A,所以④不正确.

卜课堂互动探究

探究1事件关系的判断

例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1〜10各10张)中，

任取一张.

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

［解］(1)是互斥事件，不是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是

不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是

由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.

(2)既是互斥事件，又是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色

牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，

又是对立事件.

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，”抽出的牌点数为5的倍数”与

“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10,因此，

二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

拓展提升

互斥事件与对立事件间的关系

互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的.一次试验中，两个互斥

事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事

件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发

生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.

【跟踪训练11某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订

甲报”，事件8为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件

。为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互

斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)8与E；(3)8与。；(4)8与C；(5)。与£

解(1)由于事件C”至多订一种报纸"中包括“只订甲报"，即事件A与

事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时

发生的，故8与E是互斥事件；由于事件8与事件E必有一个发生，故B与E

是对立事件.

(3)事件8"至少订一种报纸”中包括“只订乙报''，即有可能“不订甲报”，

也就是说事件8和事件。有可能同时发生，故8与。不是互斥事件.

(4)事件5"至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙

报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报

纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件5与事件C可能同时发

生，故8与。不是互斥事件.

(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，

所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.

探究2事件的运算

例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件G=｛出现1点｝,

事件。2=｛出现2点｝,事件G=｛出现3点｝,事件。4=｛出现4点｝,事件C5

=｛出现5点｝,事件。6=｛出现6点｝,事件｛出现的点数不大于1｝,事件

。2=｛出现的点数大于3｝,事件。3=｛出现的点数小于5｝,事件E=｛出现的点

数小于7｝,事件尸=｛出现的点数为偶数｝,事件G=｛出现的点数为奇数｝,请根

据上述定义的事件，回答下列问题.

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.

［解］(1)因为事件G,。2,G,。4发生，则事件。3必发生，所以GQ03,

。2=。3，

同理可得，事件E包含事件G,J,。3,。4,。5，。6；事件包含事件

C4,C5,C6;事件/包含事件Q,C4,C6；事件G包含事件G，c3,C5.

且易知事件G与事件功相等，即G=D|.

(2)因为事件5=｛出现的点数大于3｝=｛出现4点或出现5点或出现6点｝,

所以。2=C4UC5UC6(或。2=C4+C5+C6).

同理可得，D3=C1+C2+C3+C4,E=Cl+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+

C4+C6，G=Ci+C3+C5.

拓展提升

事件间运算方法

(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，

分析并利用这些结果进行事件间的运算.

(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能

出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.

【跟踪训练2】掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上

的点数是2或3”为事件8,则()

A.AQB

B.A=B

C.A+3表示向上的点数是1或2或3

D.A3表示向上的点数是1或2或3

答案C

解析设4={1,2},B={2,3},A0B={2},AUB={1,2,3},...A+B表示

向上的点数为1或2或3.

探究3互斥事件与对立事件的概率

例3某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示:

人数01234大于等于5

概率0.10.160.30.20.20.04

⑴求派出医生至多2人的概率;

⑵求派出医生至少2人的概率.

［解］设''不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件以“派出2

名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件。，”派出4名医生”为事件E,

”派出5名及5名以上医生”为事件尸，事件A,B,C,D,E,F彼此互斥，

且P(4)=0.1,P(B)=0.16,P(O=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.

(1)”派出医生至多2人”的概率为尸(AU8UC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+

0.16+0.3=0.56.

(2)解法一：”派出医生至少2人”的概率为P(CUDUEUF)=P(C)+P(D)

+P(E)+P(f)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

解法二：”派出医生至少2人”的概率为1-P(AU3)=1—0.1—0.16=0.74.

拓展提升

互斥'对立事件概率的求解步骤

解决事件概率问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互

斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.

【跟踪训练3】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个

白球、1个绿球.从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.

解解法一：(1)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，

得红球或黑球共有5+4=9(种)不同取法，任取1球有12种取法.

二任取1球得红球或黑球的概率为尸产9三十3

(2)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得白球有2

种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为

解法二：(利用互斥事件求概率)

记事件4=｛任取1球为红球｝,

4=｛任取1球为黑球｝,

A3=｛任取1球为白球｝,

44=｛任取1球为绿球｝,

则尸(A|)=V，P(A2)=a，

P(A3)=卷尸(A4)==

根据题意知，事件A1，A2,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

543

P(AUA2)=P(A|)+尸(42)=适+豆=不

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A!UA,UA3)=P(A))+P(A2)+

"(A3)12十12十1212,

解法三：(利用对立事件求概率)

(1)由解法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿

球，即A|UA2的对立事件为A3UA4,所以取得1球为红球或黑球的概率为

2193

--==

P(AUA2)=1—P(A3UA4)=1-P(A3)-P(A4)=17212124,

(2)AilM2UA3的对立事件为4.

所以P(/4|UA2UA3)=1—P(A4)=1—

探究4复杂事件概率的计算

例4某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为

0.3,0.2,0.1,0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；

(2)求他不乘轮船去的概率.

［解］(1)记“他乘火车”为事件A,“他乘轮船”为事件8,“他乘汽车”

为事件C,“他乘飞机”为事件D这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼

此互斥，

所以P(AUD)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.

即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.

(2)设他不乘轮船去的概率为P,则

P=l-P(B)=l-0.2=0.8,所以他不乘轮船去的概率为0.8.

［变式探究］在本例中，如果公务员选乘一种或几种交通工具的概率为0.5,

请问他有可能乘哪种交通工具？

解由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,

P(0+P(D)=0.1+0.4=0.5,

故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.

拓展提升

复杂事件概率的求法

求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件

的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们

常说的“正难则反”.

【跟踪训练4】在数学考试中，小明的成绩不低于90分的概率是0.18,

在80〜89分(包括89分)的概率是0.51,在70〜79分(包括79分)的概率是0.15,

在60〜69分(包括69分)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算：

(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；

(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率.

解小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件”在70〜79分”“在80〜

89分”“不低于90分”的并事件，小明数学考试及格可以看作互斥事件”在

60〜69分”“在70〜79分”“在80〜89分”“不低于90分”的并事件，又可

以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件.

于是分别记小明的成绩“不低于90分”“在80〜89分”“在70〜79

分"''在60〜69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.

(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(8UCUD)=P(B)+P(C)+P(D)=0.18

+0.51+0.15=0.84.

(2)解法一：小明数学考试及格的概率是

P(BUCUDUE)=P(B)+P(Q+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.

解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率

是1—0.07=0.93.

《理方,----

1项堂提加

1.如何判定互斥事件与对立事件

(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事

件，且必须有一个要发生.

(2)利用集合的观点来判断:设事件A与8所含的结果组成的集合分别是A、

8.①事件A与8互斥，即集合AC8=0；②事件A与8对立，即集合AC5=。，

且AUB=/,也即A=[6或8=[/A；③对互斥事件A与8的和A+B,可理解

为集合AUR

注意：对立事件是针对两个事件来说的，而互斥则可以是多个事件间的关

系.

2.如何应用互斥事件的概率加法公式

(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概

率，然后用加法公式求出结果.

(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，

同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏.

(3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥，各事件中有一个发生；②求各个事

件分别发生的概率，再求其和.

3.对立事件与P(A)+P(B)=1的关系

(1)若4、B是对立事件，则P(A)+P(B)=L

(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A和8不一定对立.例如：抛掷一枚均匀的

骰子，记事件A为出现偶数点，事件8为出现1点或2点或3点，则P(A)+P(B)

=1+1=1,显然事件A与事件8不互斥，也不对立.

卜随堂达标自测

1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设4=｛三件产品全不

是次品｝,8=｛三件产品全是次品｝,C=｛三件产品有次品，但不全是次品｝,则

下列结论中错误的是()

A.A与C互斥B.B与C互斥

C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥

答案D

解析由题意知事件A,B,。两两不可能同时发生，因此两两互斥.

2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的

对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.

3.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两

球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？()

①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

答案A

解析①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为

白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件.但这两

个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件.②事件“两球都为白球”

和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.③事件“两球都为白球”和

事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件.故选A.

4.已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机

去的概率分别为050.2,0.3,则这名学生不乘汽车的概率为.

答案0.8

解析因为这名学生不乘汽车即乘火车或飞机，所以这名学生不乘汽车的概

率为0.5+0.3=0.8.

5.三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的

知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)=g,P(B)=1,P(C)

=j,诸葛亮。能答对题目的概率P(0=4如果将三个臭皮匠A、B、C组成一

组与诸葛亮。比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？

解若三个臭皮匠A、B,C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重

复)，

472

则尸(AUBUO=P(A)+P(B)+P(C)=而〉P(D)=y

故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、

8、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮.

卜课后课H寸精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为:，则乙队不输的概率为

()

5「3「2

AA-6B4C3D3

答案C

解析乙队不输的概率为1-：=生

2.根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率

为0.20,则该日晴天的概率为()

A.0.65B.0.55

C.0.35D.0.75

答案C

解析设事件“某地6月1日下雨”为事件A,“某地6月1日阴天”为事

件5,“某地6月1日晴天”为事件C,由题意可得事件A,8,C为互斥事件，

所以P(A)+P(3)+P(C=1，因为P(A)=0.45,P(B)=0.2,所以P(C)=0.35.故选

C.

3.一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是()

A.至多有一次为正面B.两次均为正面

C.只有一次为正面D.两次均为反面

答案D

解析对于A,至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不

是互斥事件；对于B,两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是

互斥事件；对于C,只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是

互斥事件；对于D,两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互

斥事件.故选D.

4.从1,2,3,…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；

②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少

有一个奇数和至少有一个偶数.则在上述事件中，是对立事件的是()

A.①B.②④C.③D.①③

答案C

解析从1〜9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均

为偶数；(3)一个奇数和一个偶数.故选C.

5.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为也事件A表示“小于5的偶数

点出现”，事件8表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+豆(豆表

示事件B的对立事件)发生的概率为()

答案C

解析由题意知，耳表示“大于或等于5的点数出现“，事件A与事件有互

__7242

斥，由概率的加法计算公式可得P(A+8)=P(A)+P(B)=%+d=d=T

二'填空题

6.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随

机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为方，则参加联欢会的教师共有

人.

答案120

解析可设参加联欢会的教师共有〃人，由于从这些教师中选一人，“选中

男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1—

91111Q

4=而再由题意，知药〃一而7?=12,解得〃=120.

7.给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若48为两个事件，则P(A

U5)=P(A)+P(B)；(3)若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(3)+P(C)=1；(4)

若事件A,8满足P(A)+P(B)=1,则A,8互为对立事件.

其中错误命题的个数是.

答案3

解析由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A,3为两个

互斥事件时才有尸(AU3)=P(A)+P(B),故(2)不正确；只有事件A,B,C两两互

斥，且AUBUC=。时，才有P(A)+P(3)+P(0=1,故(3)不正确；由对立事件

的定义可知，事件A,B满足P(A)+P(B)=1且AC8=0时，A,8才互为对立事

件，故(4)不正确.

8.为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易

保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世

贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口

商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括

汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为.

答案0.79

解析设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A,

“