高中数学必修一集合与常用逻辑用语知识点总结第569854期

高中数学必修一集合与常用逻辑用语知识点总结

1、已知集合4={%|-2WxW4},B={x\-m+l<x<2m-l}.

⑴若m=2,求4U8,4C(CRB)；

(2)若4UB=4,求m的取值范围.

答案：(1)4(JB={x\-2<x<4},An(CRB)={x|-2Sx<-1或3cxs4}

(2)(-8,j]

解析：

(1)根据交集、并集和补集的定义即可得解；

(2)A(JB=A,即BUZ,分B=0和BH0两种情况讨论，从而可得出答案.

⑴

解：若?n=2,则8={x|-lWxW3},

所以4uB={x|-24xW4},

CRB=[x\x<-1或X>3},

所以4n(CRB)={x|-2wx<-1或3<xW4}；

⑵

解：因为/U8=Z,所以BU4

当B=。时，

贝I]2nl—1<—m+1.解得m<|,

此时BUA,符合题意，

当B#0时，

—m+1<2m—1

则，—m+1>—2>解得9

2m—1<4

综上所述m<|,

所以若4UB=4,0的取值范围为(一8,|].

2、已知a,b是实数，则"a+b<ab+1"是"a<1且b<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：

由a+b<ab+1可得a>1月力>1或a<1且匕<1,结合充分性、必要性的定义即可得出答案.

由a+b<ab+1可得ab—a—6+1>0)则(a—1)(6—1)>0,

所以a>1且b>1或a<1且b<1,

a+b<ab+1不一定有a<1且b<1,a<1且b<1则必有a+b<ab+1,

所以，"a+b<ab+1"是"a<1且b<1"的必要不充分条件.

故选：B.

3、若全集S={2,3,4},集合4={4,3},则Cs4=;若全集S={三角形},集合6={锐角三角形},则C$B=

;若全集S={1,2,4,8},4=0,则C$4=；若全集归{1,3,a：'+2a+l},集合4={1,3},QA={4},

则a=；己知〃是全集，集合4={0,2,4},Ci/4={-1,1},C[/B={-1,0,2},则8=.

答案：{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或一3##-3或1口,4}##{4,1}

解析：

利用补集的定义，依次分析即得解

若全集S={2,3,4},集合4={4,3},由补集的定义可得CsA={2};

若全集S={三角形},集合6={锐角三角形},由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故CsB={直角三角形

或钝角三角形};

若全集S={1,2,4,8},A—0,由补集的定义Cs4={l,2,4,8)；

若全集八{l,3,a'+2a+l},集合力={1,3},Q4={4}，故U=4UQA={1,3,4}

即a2+2a+l=4,即a?+2a-3=(a-l)(a+3)=0,解得a=1或一3；

已知〃是全集,集合/={0,2,4},CuA={-l,1},i&U=AUCvA={-1,0,1,2,4},QB={-1,0,2},故8={1,4}

所以答案是：{2},{直角三角形或钝角三角形},{1,2,4,8},1或一3,{1,4}

4、已知集合4={-1,1},集合B={x|ax-1=0},若力nB=B,则a的取值可能是()

A.2B.-IC.1D.0

答案：BCD

解析：

根据4nB=8可知BcA,然后对参数进行分类讨论求解.

2

解：・・・集合A={-1,1},集合8=—1=ACB=B

BQA

当a=0时:8=0,成立；

当a工OH't,B—(-1,故2=—1或工=1,解得Q=—1或a=1

IQJaa

综上a的取值可能是-1,0,1.

故选：BCD

5、已知集合”={1,2,3},N={1,3,4},则MnN等于()

A.{1,3}B.{1,2,3,4}C.{2,4}D.{1,3,4}

答案：A

解析：

根据交集的定义计算可得；

解：因为M={1,2,3},N={1,3,4),所以MCN={1,3}；

故选：A

6、在下列命题中，试判断p是q的什么条件.

(l)p：Z>0,<7：QO；

(2)p：a与b都是奇数；q：a+b是偶数;

(3)p：一元二次方程--2x+c=0有两个实数根，q：c<0；

答案：(1)必要不充分条件；

⑵充分不必要条件；

⑶必要不充分条件；

解析：

根据充分、必要条件的知识进行逐一分析，由此确定正确结论.

⑴

由于6:；，所以p是q的必要不充分条件.

(2)

由于《Ip，所以P是q的充分不必要条件•

3

⑶

对于p,一元二次方程/-2x+c=0有两个实数根，则A=4-4c20,cW1,

所以p是q的必要不充分条件.

7、已知集合2=[2,6),B=[-1,4),则4UB=.

答案：[-1,6)

解析：

直接利用并集运算得答案.

"A=[2,6),B=[-1,4),

•■A(JB=[2,6)U[-1,4)=[-1,6).

所以答案是：[—1,6).

8、命题p：R,x<f+2x计5=0是(填“全称命题"或"特称命题")，它是命题(填"真"或

"假").

答案：特称命题假

解析：

根据全称命题和特称命题的定义，结合一元二次方程根的判别式进行分析判断即可.

命题0,含有特称量词m是特称命题，

X+2X+5—O,

所以A=22-4x1x5=-16<0,

方程无实数解，命题为假命题.

所以答案是：特称命题；假.

9、已知集合A={1,2,3,4},B=(x\2x<5},则4nB=()

A.{1}B.{1,2}C.[1,2,3}D.{1,2,3,4}

答案：B

解析：

求出集合B,根据集合的交集运算求得答案.

因为B=[x\2x<5}=[x\x<j},所以4nB={1,2},

故选：B

4

10、若集合力={%|(。-1)/+4%-2=0}有且仅有两个子集，则实数a的值是.

答案：±1

解析：

分析出集合A有1个元素，对a讨论方程解的情况即可.

因为集合4={%|(a-l)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，

所以集合力有1个元素.

当a=l时，4={x|4x-2=0}={1},符合题意；

当州1时，要使集合A只有一个元素，只需A=42-4(a-1)x(-2)=0,解得：a=-1：

综上所述：实数a的值是1或-1.

所以答案是：±1.

11、(多选)下列"若P，则/形式的命题中，。是。的必要条件的有()

A.若x,y是偶数，则x+y是偶数B.若a<2,则方程2x+a=0有实根

C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D.若泌=0,则a=0

答案：BCD

解析：

根据必要条件的定义逐一判断即可.

A：x+y是偶数不一定能推出必y是偶数，因为x,y可以是奇数，不符合题意；

B：当方程x'-2x+a=O有实根时，则有(—2)2—4a20=aWl,显然能推出a<2,符合题意；

C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；

D：显然由a=0推出劭=0,所以符合题意，

故选：BCD

12、某校学生积极参加社团活动，高一某班共有40名学生，其中参加围棋社团的学生有23名，参加合唱社团

的学生有25名(并非每个学生必须参加某个社团).请问，在该班学生中，同时参加围棋社团和合唱社团的最

多有名学生，最少有名学生.

答案：238

解析：

依题意当参加围棋社团的学生，同时也参加合唱社团，此时同时参加两个社团的人数最多，每个学生至少参加

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一个社团时，此时同时参加围棋社团和合唱社团的最少，从而计算可得;

解：依题意，当参加围棋社团的学生，同时也参加合唱社团，此时同时参加围棋社团和合唱社团的人数最多,

最多有23人，当每个学生至少参加一个社团时，此时同时参加围棋社团和合唱社团的最少，最少有23+25-

40=8人，

所以答案是：23；8；

13、已知集合M=(x0-2<x<3},N={xHx<a}.

(1)当a=l时，求MCN,MUN,MC(CRN)；

(2)当MnN=0时，求a的取值范围.

答案：(1)Mn/V={x|-2<x<l),MUN={x\x<3},Mn(CRN)=(1,3]

(2)(-8,-2]

解析：

(1)由集合的交集运算和并集运算、补集元素概念可得答案；

(2)由集合间的关系可求得a的取值范围.

⑴

当a-1时，N-{x\x<1},又M={%|—2<x<3},

所以MCi/V={x|-2<x<1},MUN={x\x<3}：

CRN=(1,+8),则Mn(CRN)=(1,3]

⑵

当MflN=0时，则需QW-2,所以a的取值范围(一8,-2].

14、如图，设集合4,B为全集U的两个子集，则4UB=.

答案：{1,234,5}

解析：

由题知4={1,2,3,4},B={3,4,5},进而求并集即可.

6

解:由题知4={1,2,3,4},B=[3,4,5},

所以4UB={123,4,5}.

所以答案是：{123,4,5}

15、设「:产一2xW0,q:(x-m)(x-m-3)<0,若p是-iq的充分不必要条件，则实数的取值范围是

:若是<7的必要不充分条件，则实数小的取值范围是.

答案：m>2或m<—3m>2或m<—3

解析：

先化简命题p,q,再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可

由p:x2—2x<。可得0<%<2；由q:(x—m)(x—m—3)<0可得m<x<m+3

所以-iq满足：x<m或x>m+3

。是rq的充分不必要条件，则，771>2或?71+3<0,即?n>2或m<-3

则->p满足：x<0或%>2

若->p是g的必要不充分条件，则m>2或m+3<0,即m>2或m+3<0

所以答案是：^l>2或m<-3；m>2或m<-3

16、命题，x>0,lnx-x+1<0"的否定是()

A.rtVx<0,lnx-x+l<0wB."Bx<0,lnx-x+1>0,z

C.>0,lnx-x+1<0,zD.w3x>0,Inx-x+1>0,z

答案：D

解析：

根据全称命题的否定即可求解.

命题，％>0,Inx—%+1<0"的否定是：3x>0,Inx—x+1>0.

故选：D

17、设集合X是实数集R的子集，如果实数而满足：对任意r>0,都存在x€X,使得0<|x-xol<r成立,

那么称殉为集合X的聚点，则下列集合中，1为该集合的聚点的有()

A.{x卜=#0,n€Z}B.{x[x=^Y，n6N*}

C.{x\xG(?,x0}D.整数集Z

答案：ABC

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解析：

利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.

解：对于A,因为集合卜卜=誓=1+；,几。0m62｝中的元素是极限为1的数列，所以对于任意r>0,都

存在n>j,使得0<|x-1|=3<r成立，所以1为集合卜卜=乎,n#0,?1€Z｝的聚点，故正确；

对于B,因为集合｛%,=缶=l-W，n€N*｝中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项与1之间的

距离均小于5所以对任意r>0,都存在n+l>'使得0<|x—l|<7'的x,所以1为集合｛%卜=羔=1-

W，n€N*｝的聚点，故正确；

对于C,对任意r>0,都存在x6（1,1+：）nQ,使得0<|x-1|<r成立，那所以1为集合｛x|x€Q,x力

0｝的聚点，故正确；

对于D,对任意r>0,如r=0.5,对任意的整数，都有|x-&|=0或|x-与|21成立，不可能有0<

|x—xol<03成立，所以1不是集合整数集Z的聚点，故错误；

故选：ABC

18、下列命题中，不是真命题是（）

A.若x,y€R且x+y>2,则％,y至少有一个大于1

B.Vx6R,2X>x2

C.。+6=0的充要条件是三=一1

b

D.3xeR,X2+2<0

答案：BCD

解析：

理解命题，对选项依次判断

对于A,若%,y均小于等于1,则x+y<2,可知A正确

对于B,当x=2时，2"=产，故B错误，

对于C,当a=b=0时，满足a+b=0,但f无意义，故C错误，

对于D,由二次函数性质知D错误，

故选：BCD

19、已知全集为U,集合4B,C都是U的子集，用集合U,A,B,C表示图中的阴影部分.

8

u

答案：[Q(4nBnC)]n[(^4nB)uQ4cC)u(BcC)]

解析：

根据韦恩图，利用交集，并集与补集的概念及运算求解.

根据韦恩图可知：阴影部分为：[Cu(AnBnc)]n[(4nB)uG4nc)u(Bnc)].

20、设4为非空集合，令4x4={(x,y)|x,yea},则AX力的任意子集R都叫做从4到A的一个关系(Relation),

简称4上的关系.例如4={0,1,2}时，&={(0,2)},R2=AXA,R3=0,=K。，。)，(2,1)}等都是4上的关

系.设R为非空集合4上的关系.如果R满足：

①(自反性)若VxeA,有(x,x)CR,则称R在/1上是自反的；

②(对称性)若V(x,y)eR,有(y,x)CR,则称R在4上是对称的；

③(传递性)若V(x,y)，(y,z)eR,有(x,z)eR,则称R在4上是传递的；

称R为A上的等价关系.

⑴已知4={0,1,2}.用列举法写出4x4,然后写出4上的关系有多少个，最后写出4上的所有等价关系.(只

需写出结果)

(2)设8和%是某个非空集合4上的关系，证明：

(i)若&是自反的和对称的，则治UR?也是自反的和对称的；

(行)若治，/?2是传递的，则也是传递的.

⑶若给定的集合4有n个元素(ri>4),A1,A2,—,Am(2<m<n)为4的非空子集，满足&UA2U---UAm=4且

两两交集为空集.求证：R=(&XAjuGlzxA2)U…U(4„x4m)为4上的等价关系.

答案：(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

9

⑶证明见解析

解析：

(1)由AxA的定义可直接得到结果；根据4x4中元素个数可得其子集个数，即为A上的关系个数；根据等价

关系定义列举出所有满足的R即可；

(2)(i)由(x,x)eRi，(y,y)e8可知{(x，x)，(y，y)}=(Riu/?2)，自反性得证；由V(x,y)C/?i，有

(y,x)eR1；v(s,t)e&，W(t,s)G/?2,根据并集定义可知{(%、)，0/),。/),95)}£(&1^/?2)，对称性得证;

(ii)采用反证法，可知％或/?2不是传递的，假设错误，传递性得证；

(3)采用假设的方式，分别假设asC4,可知{(as，as)}a(&X&)UR，自反性得证；假设as，4e4,可

知{@，2，&&)}=(4*4)£/?,对称性得证：假设as，a1,aq6%(1WqWmWn),可知

{(as，at),(&,as),(as，aq)}u(&xa)UR,传递性得证;由此可得结论.

⑴

由题意得：AxA={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}；

•••4x4共有9个元素，;4x4共有29个子集，即4上的关系有27=512个；

所有等价关系有:%={(0,0),(1,1),(2,2)},R2={(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},

R3={(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},R4={(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)},

R5={(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(0,2),(2,0),(0,1),(1,0)}.

(2)

<i)若任意在4上是自反的，令(x,x)eRi，(y,y)eR2,

•••{(x,x),(y,y)}£Ru&)，则&U凡是自反的;

若在A上是对称的，则V(%,y)eRi，有(y,x)€Ri；V(s,t)6R2,有(t,s)eR2,

•••((x,y),(y,x),(s,t),(t,s)}e(&uR2),则％u&是对称的;

综上所述：若R-/?2是自反的和对称的，则Riu/?2也是自反的和对称的.

(ii)假设不是传递的，

则式居y)e(&n£)，(y,z)e(&n/?2)，(x,z)金(&c&),

即(x,z)任治或(x,z)任/?2，此时治或&不是传递的，与已知矛盾，

••.若R】，/?2是传递的，则&n/?2也是传递的.

⑶

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令4={ai，ci2，a3,…,即}，

•••&UA2U-UAm=4且两两交集为空集，

设cise4s(1wsWmWn),则除4s外，其余集合不包含元素c^；

则{Ss，as)}U(4sXAs),又(4X4)u(&X勺)U(4X力2)U-U(AmX/),

(as,as)eR,贝IJR在4上是自反的；

设as，&ea(1WtWmWn),则除劣外,其余集合不包含元素生；

则{&,&),(&,as))UG4txAt),

又01tXAt)£X&)U(A2X4)U-U01mXAm)，

(as,at)6R,(at,as)GR,则R在4上是对称的；

设as，a〃aqe&(14q4mWn),则除劣外，其余集合不包含元素as，&,ciq；

则{3,&),(&,as),Ss，aq)}£(AqXAq),

又(ax4q)C(&X&)u(A2XA2')U-UG4nlx/),

(a5,at)eR,(at,as')eR,(a^a,)eR,则R在4上是传递的;

综上所述：R=(4X4)U(4X4)U-U(AmX4n)为4上的等价关系.

小提示：

关键点点睛：本题考查集合的自反性、对称性和传递性的证明，解决此问题的关键是能够充分理解已知中所说

的性质的含义；解题基本思路是采用假设的方式和反证的方式，通过说明元素与集合、集合与集合之间关系证

得结论.

21、已知{和6是两个命题，如果4是8的充分条件，那么8是1的条件，是「6的条件.

答案：必要必要

解析：

根据充分必要条件的定义，从而得到答案.

解：如果4是8的充分条件，那么6是力的必要条件，「4是「6的必要条件，

所以答案是：必要，必要.

22、已知全集(/=凡集合4={123,4,5},B={%[0<x<4},则图中阴影部分表示的集合为()

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G»

A.[1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{4,5}D.{5}

答案：C

解析：

根据韦恩图中阴影部分所表示的含义，由集合的补集和交集定义可得.

集合4={1,2,3,4,5},B={x|0<x<4},图中阴影部分表示4nCuB,

又CuB=[x\x>4,或x<0},所以4ClQuB={4,5}.

故选：C

23、判断下列命题的真假：

（1）a=b是|a|=|b|的必要条件；（）

（2）a>b是a?>/的充分条件；（）

（3）两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；（）

（4）（2x—l）x=0是x=0的充分而不必要条件.（）

答案：假假真假

解析：

（1）利用四种条件的定义，进行判断；

（2）利用特例进行判断；

（3）利用四种条件的定义，进行判断；

（4）利用四种条件的定义，进行判断；

（1）因为a=b,所以|a|=|b|,反之|a|=网，不一定得出a=b,所以a=b是|a|=|b|的充分不必要条件；

故命题为假.

（2）例如1>一2,但是12<（—2）2；（—2）2>12但是一2<1,所以a>b是a2>炉的既不充分也不必要条件;

故命题为假.

（3）两个三角形的两组对应角分别相等则这两个三角形相似，反之两个三角形相似则两个三角形的对应角均

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相等，所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；故命题为真.

(4)因为(2x—l)x=0,所以x或x=0,所以(2x-l)x=0是x=0的必要不充分条件，故命题为假.

24、下列四个命题中为真命题的是()

A."X>2"是"X<3"的既不充分也不必要条件

B."三角形为正三角形”是"三角形为等腰三角形”的必要不充分条件

C.关于x的方程a/+bx+c=0(aH0)有实数根的充要条件是4=b2—4ac>0

D.若集合则xe4是X6B的充分不必要条件

答案：AC

解析：

根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得，注意集合的包含关系与充要条件的关系.

{x\x>2}>{x\x<3}且{x|x<3}>{x\x>2},所以A正确：

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以"三角形为正三角形"是"三角形为等腰三角

形”的充分不必要条件，故B错误；

一元二次方程有实根则ANO,反之亦然，故C正确；

当集合止8时，应为充要条件，故D不正确.

故选：AC.

25、设。={x|xW1},Q={x|-1W%<2},那么PnQ=()

A.{x|-1<%<1}B.{x|-1<x<2}

C.{x|l<x<2]D.{x|-1<x<1}

答案：D

解析：

直接根据集合交集运算求解即可.

解：因为P={x\x<l],Q={x\-l<x<2},

所以PnQ={x|-lW%Sl}.

故选：D

26、在①4UB=B；②"xeA"是"x€B”的充分不必要条件：③4nB=0这三个条件中任选一个，补充到

本题第(2)问的横线处，求解下列问题:

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已知集合4-{x\a—l<x<a+l},B-{x\x2—2%—3<0}

(1)当a=2时，求/UB；

⑵若,求实数a的取值范围.

答案：⑴4UB={x|-1<x<3}

(2)条件选择见解析，(-oo,-2)U(4,+oo)

解析：

(1)化简集合4与B之后求二者的并集(2)先判断集合4与8的关系，再求a的取值范围

⑴

当a=2时，集合4={x|l<x<3},B={x|-1<x<3}.

所以4uB={x|-lWxW3}；

(2)

若选择①4U46,则4cB,

因为力={x|a-1<x<a+1}>所以4丰0,

又B={%|—1<x<3},

所以『二11Vl，解得0式aW2,

所以实数a的取值范围是[0,2].

若选择②，9€4"是9€8”的充分不必要条件，则4B,

因为4={x|a-1<x<a+1},所以AH0,又B={x|-1<x<3},

所以I。二解得0<a<2,

所以实数a的取值范围是[0,2].

若选择③，AnB=0,

因为“=[x\a-1<%<a+1},B=(x\—1<x<3],

所以Q-1>3或a+1<—1,

解得a>4或a<-2,

所以实数a的取值范围是(一8,-2)U(4,4-00).

27、已知集合4={%|a/+2x—l=0},若集合力中只有一个元素，则实数d的取值的集合是

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答案：{0,—1}

解析：

分a=0和a*。两种情况保证方程a/+2%-1=0只有一个解或重根，求出a的值即可.

当a=0时，ax2+2x—1=0只有一个解x=

则集合4={x}ax2+2x-1=0}有且只有一个元素，符合题意；

当aRO时，若集合4中只有一个元素，

则一元二次方程a/+2x-l=0有二重根，

即A=4+4a=0,即a=-1.

综上，<1=0或一1,故实数a的取值的集合为{0,-1}.

所以答案是：

28、设集合4={1,2},

（1）请写出一个集合Z?，使"xe71"是"xeB"的充分条件，但"xeA"不是"xeB"的必要条件；

（2）请写出一个集合Z?,使是的必要条件，但"无€4"不是的充分条件.

答案：B={1,2,3}（答案不唯一）8={1}（答案不唯一）

解析：

根据充分必要性判断集合4与集合B之间的包含关系，从而写出符合题意的集合B.

（1）由于%€4"是"x68"的充分条件，但"x64"不是"XWB"的必要条件，所以集合4是集合B的真子集，由

此可得B={1,2,3}符合题意.

（2）由于于9€父是"xeB"的必要条件，但"xe4'不是"XWB"的充分条件，所以集合B是集合a的真子集，

由此可知B={1}符合题意.

29、命题eR,祸+cosx0<2"的否定为（）

A.3x0GR,XQ+cosx0>2B.3X0GR,XQ+cosx0>2

C.Vx£/?,x2+cosx>2D.Vx£/?,x2+cosx>2

答案：D

解析：

根据题意，写出命题的否定即可

2

存在量词命题的否定为全称量词命题，故"%oGR,XQ+cosx0<2"的否定为"Vx6R,x+cosx>2",

15

故选：D

30、已知集合｛2,一｝与｛4,x｝相等，则实数x=.

答案：2

解析：

由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.

因为集合｛2,%2｝与｛4,X｝相等，则｛彳二:，解得x=2.

所以答案是：2.

31、下列叙述正确的是()

A.若命题"pAq"为假命题，则命题"pVq”是真命题

B.命题“若/=1,则％=1”的否命题为“若一于1,则「

C.命题“VxCR,2丫>0”的否定是勺X。6R,2X<><0"

D."a>45。”是"tana>1”的充分不必要条件

答案：BC

解析：

利用复合命题的真假判断A的正误；四中命题的逆否关系判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充要条

件判断D正误.

若命题"p/\q"为假命题，如果p,q都是假命题，则命题"pVq"是假命题，故A错误；

命题"若/=1,贝归=1"的否命题为“若X2M1,贝1卜力1",故B正确；

命题“VxCR,2*>0"的否定是"V&6R,2汇。40”,故C正确;

a>45。时,如取a=120。，则tana=一百<0,二“a>45。"不是"tana>1”的充分条件；tana>1,如取

tana=V3,a可以为一120。，故"a>45。"不是"tana>1"的必要条件，故D不正确；

故选：BC.

32、已知集合"=｛x|a/+bx+1=0｝,N=｛x\x2+ax+d=0｝,若MnN#0,-3e(CRM)nN,则Mn

N=,MUN=.

答案：｛1｝｛-3,i,l)

解析:

16

因为MnNH0,且％=1同时满足方程Q/+/?%+1=0与/+QK+b=0,可的MnN,以及a+b+l=0；

又一3E(CRM)nN,可得9—3Q+/?=0,进而求出Q,b,由此即可求出M,N,进而求出MUN

因为MnNH0,所以方程QM+匕％+1=o与/+Q%+力=o有公共解，又％=1同时满足方程+旅+

1=0与％2+。%+%=0,所以IEM,1G/V,所以MCN={1}；由上可知，Q+8+1=0,由一3W(CRM)n

N得：9—3Q+b=0,联立方程组解得a=2,b——3,所以M=(x|2%2—3%+1=0}

=g,l},N=(x\x2+2x-3=0}={-3,1},故MUN={-3卷,1}.

所以答案是：{1},{-3,p1}.

33、设全集U=R,已知集合4={1,2},B={x|0<x<3},集合C为不等式组的解集.

⑴写出集合4的所有子集；

(2)求CuB和BUC.

答案：(1)0,⑴,{2},{1,2}；

(2)CyB=[x\x<0或>>3},BUC={x|-1<x<3}.

解析：

(1)直接写出集合4的所有子集即可；

(2)直接写出QB,求得C,再求BUC即可.

⑴

因为4={1,2},故力的所有子集为0,{1},{2},{1,2).

(2)

因为C={x|-l<x<2],CuB={x\x<0,或x>3},

SUC={x|—1<x<3].

34、设集合4={1,2,a},8={2,3}.若BU4则。=.

答案：3

解析：

由题意可知集合B是集合4的子集，进而求出答案.

由Bc4知集合B是集合4的子集，

所以3eA=a=3,

所以答案是：3.

17

35、命题勺geR,以一与+1>0"的否定是,该命题为命题(填"真""假").

答案：VxER,x2—x+1<0假

解析：

对特称量词的否定用全称量词，直接写出命题的否定，取特殊值片0对命题进行否定.

因为原命题为勺x()eR,诏-&+1>0"，所以其否定为：VxeR,X2-X+1<0.

当足0时，x2-x+1=1>0,所以该命题为假命题.

所以答案是：VXG/?,X2-X+1<0；假.

36、定义集合4B的一种运算：A0B=[x\x=a2-b,aeA,beB),若4={-1,0},B={1,2},则4(g)B中

的元素个数为()

A.IB.2C.3D.4

答案：C

解析：

根据集合的新定义确定集合中的元素.

因为4(g)B={x|x=a2-b,ae4beB},A={-1,0},B={1,2},

所以4(g)B={0,—1,一2},

故集合408中的元素个数为3,

故选：C.

37、下列叙述中不正确的是()

A.若a,b,ceR,则"a/+bx+cN0"的充分条件是—4ac40"

B.若a,b,c€R,则"ah?>(:抉"的充要条件是"a>c"

C.命题"对任意％6R,有/20"的否定是"存在xeR,有/NO"

D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

答案：ABC

解析：

选项4当a<0时不成立可判断；选项B当b=0时不充分可判断；选项C否定是"存在X6R,有M<0"可判断;

选项D由不等式性质可判断.

对于A,当b2-4acW0时，若a<0,a/+占尤+c20不一定成立，A错误；

18

对于B,当a£>2>附2时可以推出a>c,但是a>c不一定可以推出ab?>cb2,

比如,b=0,所以"a炉〉时2"的必要不充分条件是"a>c",B错误;

对于c,"对任意xe/?,有的否定是"存在xeR,有/<0",c错误；

对于D由"a>l,b>1",则"ab>l"成立,

但由ab>1,不能推出a>1,b>1,

例如：取a=4,b=5满足ab>1,但不满足a>1,h>1,

所以a>Lb>1是ab>1的充分条件，故D正确.

故选：ABC

38、已知集合4={1,4,a},8={1,2,3},若AUB={1,2,3,4},则a的取值可以是()

A.2B.3C.4D.5

答案：AB

解析：

根据并集的结果可得{1,4,a}{l,2,3,4},即可得到a的取值；

解:因为AUB={1,2,3,4},所以{l,4,a}{l,2,3,4},所以a=2或a=3；

故选：AB

39、已知集合力={x|2a—l<x<a+l},F={x|0<x<1}.

⑴在①a=-1,②a=0,③a=1这三个条件中选择一个条件，求4UB；

(2)若4n(CRB)=2,求实数a的取值范围.

答案：(1)答案见解析

(2)aS—1或a21

解析：

(1)分别对a赋值，利用集合的并集进行求解；

(2)先根据题意得到AUCRB,再利用集合间的包含关系进行求解，要注意4=0的情形.

⑴

解：若选择①:当a=-1时，A=(-3,0),

因为B=[0,l],所以4U8=(-3,1].

若选择②:当a=0时，A=(-1,1),

19

因为B=所以4UB=(-1,1].

若选择③:当a=1时，A=(1,2),

因为B=所以4UB=[O,2).

⑵

解：因为8=[0,1],

所以CRB=(-oo,0)U(l,+oo).

因为an(CRB)=a,所以auCRB,

当Z=0时，2a—12a+l,即a22；

当4H。时,{或[Ci，

即aS—1或1Sa<2；

综上，a«—1或a>1.

40、已知集合时={幻》2=4},N为自然数集，则下列结论正确的是()

A.2GMB.M={-2,2}C.0UMD.MUN

答案：ABC

解析：

将集合M用列举法表示，再结合元素与集合、集合与集合间的关系逐项判断即可.

解：对A,集合M={X|%2=4}={-2,2},所以26M,故A正确；

对B,集合M={x|%2=4}={-2,2},故B正确；

对C,0是集合M的子集，所以0UM,故C正确；

对D,因为-2£N,故集合M不包含于自然数集，故D错误.

故选:ABC.

41、已知全集Q{1,2,3,4,5,6,7,8},集合4={2,3,5,6},集合8={1,3,4,6,7),则集合

Ac(C阳=,6c(C物).

答案：{2,5}{1,4,7}

解析：

根据补集的定义求得相应补集，再根据交集的定义进行运算.

因为匕｛1,2,3,4,5,6,7,8),

20

A=[2,3,5,6},B={1,3,4,6,7},

所以(：物={1，4,7,8},QUB=Q,5,8}.

所以/n(CH3)={2,3,5,6}n{2,5,8}={2,5},

5n(C«4)={l,3,4,6,7}n{l,4,7,8}={1,4,7}.

所以答案是：{2,5}；{1,4,7).

42、已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则「p为()

A.任意一个无理数，它的平方不是有理数

B.存在一个无理数，它的平方不是有理数

C.任意一个无理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方是无理数

答案：A

解析：

根据存在命题的否定的性质进行判断即可.

因为存在命题的否定是全称命题，

所以「P为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，

故选：A

43、已知命题p：VxGR,x2+2x+2>0,则p的否定为；

2

答案：3x0GR>X。2+2xo+2WO##mx€R,x+2x+2<0

解析：

根据含有一个量词的命题的否定的方法即可求解.

22

命题"VxGR,x+2x+2>0,则p的否定为：3x0GR,x0+2x0+2<0.

2

所以答案是：3x0GR-x0+2x0+2<0.

44、下列结论正确的是()

A.V26Q

B.集合4、B,若AuB=4nB,则4=B

C.若4nB=8,则BU4

D.若a€4,a&B,则ae4nB

21

答案：BCD

解析：

根据元素与集合的关系可判断A选项；利用交集与并集的性质可判断BC选项；利用交集的定义可判断D选项.

对于A,V2gQ,A错；

对于B,因为G4uB)£au(AnB)且AuB=2nB,则4UB=4=4nB,

同理可得4uB=B=AnB,所以，A=B,B对；

对于C,因为B=G4nB)U4,即BC4C对；

对于D,因为a€4,a€B,则a€4CB,D对.

故选：BCD.

45、设集合M={1,2,3},N={2,3,5},则MUN=()

A.{2,3}B.{1,2,3,5}C.{1,2,5}D.{1,5}

答案：B

解析：

依据并集的定义去求MUN即可解决.

MUN={1,2,3}u{2,3,5}={1,2,3,5}

故选：B

46、已知集合5={1,2,…，n}(n23且€N*),A={aj,a2,---,am],且4as.若对任意心e4,%•64

(1<i<J<m),当aj+a/Wn时，存在纵64(1SkWm),使得生+为=纵，则称4是S的m元完美子集.

⑴判断下列集合是否是5={1,2,3,4,5}的3元完美子集，并说明理由；

①…{1,2,4}；②&={2,4,5}.

⑵若4={%,。2«3}是5=口，2,…,7}的3元完美子集，求的+a2+<^的最小值;

⑶若4={的,ci2,…,即3是5={1,2,n}(n23且neN*)的zn元完美子集，求证：ai+a2+“,+am2

西罗，并指出等号成立的条件.

答案：⑴为不是S的3元完美子集；&是S的3元完美子集；理由见解析

(2)12

⑶证明见解析；等号成立的条件是由=震eN*且为=黑*(2<i<m)

22

解析：

（1）根据m元完美子集的定义判断可得结论；

（2）不妨设的<a2<a3.由的=1,%=2,%>3分别由定义可求得的+做+的的最小值；

（3）不妨设%V02<Q?n，有6V七+的<见+<…V%+Qm+1-i<九・%+的,%+。2,…，%+

Qm+1-i是4中租+1-i个不同的元素，且均属于集合3+1，/+2,…，&n｝，此时该集合恰有血一i个不同的元素,

显然矛盾.因此对任意都有见+Qm+.iNn+1,由此可得证.

⑴

解：（1）①因为1+2=345,又3£4,所以4不是S的3元完美子集.

②因为2+2=445,且4£42，而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5,

所以4是S的3元完美子集.

⑵

解：不妨设

若的=1,则为+QI=2E/,1+2=3E4,14-3=46/1,与3元完美子集矛盾；

若%=2,则%+。1=4£42+4=664而24-6>7,符合题意，此时由+a24-a3=12.

若%>3,则%+ax>6,于是@224,a3>6,所以的+g+%213.

综上，%+g+。3的最小值是12.

⑶

证明：不妨设%Va2V…V

对任意都有Qi+Qm+1-i2几+1，

否则，存在某个i（1WtWm）,使得见+Qm+1-i工儿

由VQ2V…Vamf得/V/+vQi+a2V…VQi+^m+1-i工九.

所以《+altai+。2,…，4+Qm+i-i是4中m+1—i个不同的元素，且均属于集合｛4+[,/+2,…，am｝，

该集合恰有m-i个不同的元素，显然矛盾.

所以对任意1<i<m,都有见+am+1_i>n+1.

于是2（%+奥+…+am-l+Q?n）=（01+am）+（。2+am-l^+…+（am-l+a2）+（am+。1）—6（九+1）.

即%+的+…+之皿;+”.

等号成立的条件是由=黑eN*且由=答*（2<i<m）.

23

47、设集合4={x[l<x<3},B=[x\x<a},若A£B,贝b的取值范围是.

答案：[3,+8)

解析：

根据A£B列出不等式即可求解.

因为4={x[l<x<3},B={x\x<a],AQB,故只需a23即可满足题意.

所以答案是：[3,+8).

48、设集合X是实数集R的子集，如果点X。6R满足：对任意a>