【人教B版高中数学选择性必修第二册】随机变量的数字特征（2）-课件

随机变量的数字特征（2）

高二年级数学则称为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）．

如果离散型随机变量X的分布列如下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn知识回顾：情境与问题：某省要从甲、乙两名射击运动员中选一人参加全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.若从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，要你决定谁参加全运会，你会怎样决定?说明理由.甲的环数X18910P0.20.60.2乙的环数X28910P0.40.20.4因为E(X1)=E(X2)=9，所以仅从平均水平的角度考虑，是无法决定选谁参加的，怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？设甲重复射击足够多次（设为n次）则甲所得环数可以估计为8，8，…，8，9，9，…，9，10，10，…，10.0.2n个0.2n个0.6n个甲这组数的方差为类似的，乙这组数的方差为由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，应该派甲参加全运会.

如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则叫做这个离散型随机变量X的方差.称为离散型随机变量X的标准差.

离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于均值的离散程度（或波动大小）.情境与问题中，甲、乙射击环数的分布列用图直观地表示，也能看出D(X1)与D(X2)的相对大小.例题已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求.解：因为随机变量X的分布列为

而所以X10Pp1-p二项分布的方差若X服从参数为n，p的二项分布，即

，则尝试与发现已知X是一个随机变量，且分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn设a，b都是实数.且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？若X与Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知例题已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.(1)求D(X)；(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).解：(1)因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即X~B(50，0.02)，所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2)

D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.例题

已知某射击选手射击的命中率是0.8，记他三次独立射击时的命中次数为X，求X的分布列、期望和方差.

解：X的可能取值为0，1，2，3.所以X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512方法一：方法二：因为X~B(3,0.8)，所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×0.2=0.48求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？例题

A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2所以，

解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为：Y12812Y2510P0.20.50.3P0.80.2，.，解：(2)由(1)可知，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；同时，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.求随机变量的期望与方差的一般步骤（方法一）：找到随机变量X的所有可能取值；计算X取每一个值xi的概率,得到X的分布列:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn课堂小结课堂小结2.计算（方法二）1.判断随机变量是否服从二点分布、二项分布、超几何分布；2.利用公式求期望或方差.课堂小结超几何分布：若