概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案 第4章 数字特征与极限定理

概率论与数理统计教学教案第4章数字特征与极限定理授课序号01教学基本指标教学课题第4章第1节数学期望课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数学期望、根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望教学难点运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征、根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。教学基本内容一．随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望：设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛，则称其和为随机变量的数学期望，简称期望或均值,记为或，即.2．连续型随机变量的数学期望：设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称该积分值为随机变量的数学期望，简称期望或均值，记为或，即二．随机变量函数的数学期望1．定理：设有随机变量的函数，且存在.（1）设为离散型随机变量，，则（2）设为连续型随机变量，概率密度为，则2．定理：设有随机变量（,）的函数，且存在.（1）若为离散型随机变量，其联合分布律为则（2）若为连续型随机变量，其联合概率密度为，则三．数学期望的性质1．设为常数，则2．设为常数，为随机变量，则3．设为任意两个随机变量，则4．5．设为相互独立的随机变量，则6．若为相互独立的随机变量，则有四．例题讲解例1．求下列离散型随机变量的数学期望：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例2．求下列连续型随机变量的数学期望：(1)指数分布；(2)正态分布.例3．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从以为参数的指数分布，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.例4．设随机变量X的分布律为X-1012P0.30.20.40.1例5．设风速V是一个随机变量，它服从上的均匀分布，而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：（常数k>0），求F的数学期望.例6．设二维随机变量的分布律为XY1210.250.3220.080.35求.例7．设二维随机变量的密度函数为求例8．某工厂每天从电力公司得到的电能X（单位：千瓦）服从[10，30]上的均匀分布，该工厂每天对电能的需要量Y（单位：千瓦）服从[10,20]上的均匀分布，其中X与Y相互独立.设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得300元利润，如工厂用电量超过电力公司所提供的数量，就要使用自备发电机提供的附加电能来补充，使用附加电能时每千瓦只能取得100元利润．问一天中该工厂获得利润的数学期望是多少？例9．例10．设一电路中电流与电阻是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为试求电压的数学期望。

授课序号02教学基本指标教学课题第4章第2节方差课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点方差及其性质教学难点运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征.参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。教学基本内容一．随机变量的方差1．方差：设X为随机变量，若存在，则称之为X的方差，记为或，即.称为X的标准差或均方差，记为.2．若X为离散型随机变量，其分布律为则3．若X为连续型随机变量，其概率密度为，则.4．方差的计算公式：.二．方差的性质1．设C为常数，则D(C)=0.2．设X为随机变量，C为常数，则有.3．设随机变量X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y).4．若相互独立，则有5．一些重要分布的期望与方差分布分布律或概率密度数学期望方差分布二项分布几何分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布，例4.12求下列离散型随机变量的方差：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例4.13求下列连续型随机变量的方差：(1)均匀分布；(2)指数分布.例4.14甲、乙两台机床同时加工某种零件，它们每生产1000件产品所出现的次品数分别用表示，其分布律如下，问哪一台机床加工质量较好？01230.70.20.060.040.80.060.040.1例4.15设随机变量X和Y相互独立，且服从参数为的指数分布，服从参数为9的泊松分布，求.授课序号03教学基本指标教学课题第3章第3节协方差与相关系数课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点协方差与相关系数教学难点协方差与相关系数参考教材作业布置课后习题大纲要求理解协方差、相关系数的概念教学基本内容一．协方差与相关系数的概念1．协方差：设二维随机变量，若存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为，或，即2．相关系数：当时，称为随机变量与的相关系数。3.不相关：当时，称随机变量与不相关或线性无关。4．协方差的计算公式：二．协方差与相关系数的性质1..2.3.4.5.6.的充分必要条件是与以概率1具有确定的线性关系，即，其中为常数.几点说明：（1）越大，这时与的线性关系就越密切，当=1时，与就有确定的线性关系；反之，越小，说明与的线性关系就越弱，若=0，则表明与之间无线性关系，故称与是不相关的.可见，的大小确实是与间线性关系强弱的一种度量.（2）若与相互独立，则与不相关.反之，若与不相关，则与却不一定是相互独立的.（3）设服从二维正态分布，即，可以证明：（4）对二维正态随机变量（X，Y）来说，与相互独立的充要条件为，现在又知，故对二维正态随机变量（X，Y）来说，与不相关等价于与相互独立.三．矩1．设X和Y是随机变量，若存在，则称它为X的k阶原点矩.2．若存在，则称它为X的k阶中心矩.3．若存在，则称它为X和Y的k+l阶混合矩.4．若存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.四．例题讲解例1．设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额（单位：元），现任选一位同时投保汽车保险和财产保险的客户，X表示其汽车保单的免赔额，Y表示其财产保单的免赔额，随机变量的联合分布律为YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y)，.例2．设随机变量在上服从均匀分布.求，例3．若，且，问与是否不相关？是否相互独立？例4．已知求例5．，，授课序号04教学基本指标教学课题第4章第4节切比雪夫不等式大数定律与中心极限定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点切比雪夫不等式、切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律、列维－林德伯格定理和狄莫弗－拉普拉斯定理教学难点切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律参考教材作业布置课后习题大纲要求1.了解切比雪夫不等式。2.了解切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）。3.了解列维－林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）和狄莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）。教学基本内容一.切比雪夫不等式1．定理：（切比雪夫不等式）设随机变量的数学期望和方差都存在，则对于任意，有或二．大数定律1．定理：（伯努利大数定律）设是次独立重复试验中事件出现的次数，而是事件在每次试验中发生的概率，则当时依概率收敛于.即对任意，都有，或.2．定理：（辛钦大数定律）设随机变量独立同分布，并且有数学期望，则在时依概率收敛于，即对，都有，或.三.中心极限定理1．定理：(列维—林德伯格定理)设随机变量独立同分布，具有数学期望和方差：则对任意的都有2．定理：（棣莫弗—拉普拉斯定理）设随机变量服从二项分布，则对于任意，有.四．例题讲解例1．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚时每盏灯开灯的概率均为0.7，假定所有电灯的开或关是相互独立的，试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率.例2．例3．设某品牌汽车的