概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第5章 第2讲 抽样分布

第2讲抽样分布概率论与数理统计（慕课版）第5章统计量及其分布01抽样分布02正态总体的抽样分布本讲内容01

抽样分布3抽样分布统计量是随机变量，因而具有一定的分布，这个分布叫做统计量的抽样分布

.正态分布在概率论部分已经有了详细的阐述，接下来对另外三大分布进行详细的介绍.401

抽样分布1.x2分布设相互独立且都服从N(0，1)，则称服从自由度为n的χ2分布，记为χ2(n).性质1；性质2设，并且相互独立，则501

抽样分布5101520三大抽样分布的密度可以忽略不记χ2分布的密度其中.601

抽样分布设随机变量，且X与Y独立，则2.t分布服从自由度为n的t分布，记为t(n).性质密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正态分布.701

抽样分布t分布的密度函数801

抽样分布3.F分布为服从自由度是n1，n2的F分布，记为F(n1,n2).若，X，Y独立，则性质若F~F(n1,n2)，则1/F~F(n2,n1).

901

抽样分布1001

抽样分布后两章用到查表4.上侧分位数(点)称xα为X的上侧α分位数(点).的上α分位数分别记为设X为随机变量，给定，若实数xα满足，📝定义1101抽样分布1201抽样分布解因为，由正态结论，有设，且X，Y相互独立，分别为来自X和Y的样本，求的分布.📚例11301抽样分布又因，所以，进而综上，01抽样分布02正态总体的抽样分布本讲内容1502

正态总体的抽样分布1.一个正态总体正态总体的抽样分布设是总体的样本，分别是样本均值与样本方差，则有：1602

正态总体的抽样分布样本方差分别记为

与，

则2.两个正态总体设与分别是来自两个互相独立样本均值分别记为，的正态总体与

的样本，；样本；1702

正态总体的抽样分布(3)当时，其中1802

正态总体的抽样分布解则设为其样本，求的分布.📚例21902

正态总体的抽样分布解在总体N(10,4)中随机抽容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.求.📚例32002

正态总体的抽样分布人们乘坐飞机或高铁时都需要通过金属探测安检门，那么安检门的高度是如何确定的呢？设计安检门的高度时，需尽可能使乘客不用低头通过，同时为控制整体成本，又不能设计的太高.解设乘客身高

X~N(171.3,5.62).（单位：cm）不妨设门高度为h，乘客低头进车的概率不超过0.01，有只要求出满足该式的最小的h即可.📚例42102

正态总体的抽样分布为此只要求出满足由于为h的单调函数，的h，记，则该式等价于，查标准正态分布的分布表可知，

，得h=184.3，因此将安检门设计为184.3cm即可.2202

正态总体的抽样分布设瓶装洗洁精灌装容量服从正态分布，均值为μ，方差为1.则25瓶洗洁净剂灌装量，是来自总体的简单随机样本.解某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装500毫升，但是在实际罐装的过程中，总会出现一定的误差，误差要求控制在一定范围内。假定灌装量的方差σ²=1，如果每箱装25瓶这样的洗洁精，试问25瓶洗洁精的平均灌装量和标准值500毫升相差不超过0.3毫升的概率是多少?📚例52302

正态总体的抽样分布另：当n=50时，同样可算出：根据定理5.1，有，进而2402

正态总体的抽样分布对每箱装25瓶洗洁精时，平均每瓶灌装量与标准值相差不超过0.3毫升的概率近似为86.64%，而每箱装50瓶时该概率约为96.6%，所以当增加到50瓶时，能更大程度保证平均误差很小，更能保证厂家和商家的利益.🎯结论2502

正态总体的抽样分布设所需样本容量为n，根据定理5.1解由题意，设总体X服从正态分布N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量应取多少?📚例62602

正态总体的抽样分布查标准正态分布得，因此

值不大于90%.

📚例72702

正态总体的抽样分布2802

正态总体的抽样分布解根据定理5.1，，因此2902

正态总体的抽样分布解📚例8

设总体

，抽取样本

，样本均值为

，样本方差为S2，若再抽取一个采样Xn+1，证明：统计量由故，而

相互独立，故也服从正态分布.3002

正态总体的抽样分布而即03

统计量31解📚例9设总体X服从正态分布，则，即可知，他们的线性组合

服从正态分布因为随机变量相互独立，并且与总体服从相同的正态分布，所以由正态总体的性质，即03

统计量32证因为统计量📚例10设是来自的样本，证明：统计量又因为与S2相互独立，所以与也相互独立.03

统计量于是，由t分布的定义可知，统计量03

统计量34证明：统计量📚例11设

是来自，是来自，是来自的两个独立样本（指随机变量

和

相互独立），记03

统计量35证即相互独立，由正态分布的性质知因为统计量，且与又因为03

统计量36因为与

相互独立，与相互独立，所以统计量U和V也相互独立，是由t分布的定义可知，统计量03

统计量37📚例12(续上例)记证明：证因为由假设知

与相互独立，则由F分布的定义知03

统计量38求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值的绝对值大于0.3的概率.📚例13所以解，故，于是03

统计量39解📚例14设为N(0,0.32)的一个样本，求因为令，故有03

统计量40解(1)由样本变量，n=16，故📚例15于是设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均未知.

(1)求，其中S2为样本方差；

(2)03

统计量41(2)所以03

统计量42解📚例16设是取自总体的简单随机样本,

求下列三个统计量的分布

并求非零常数的值.03

统计量43(3)可得.再由分布的定义

且相互独立,

03

统计量44解📚例1703

统计量45解📚例18设

，求常数

使

；由

可知，

，所以,

由t分布的密度函数图像对称性，所以查附录6得

.

03

统计量46解📚例19设为取自标准正态总体的一个样本，试给出常数使得服从分布,并指出它的自由度.因

且相互独立,故有03

统计量47且两者相互独立,由定义知所以,取即可,且自由度为3.03

统计量48解📚例20设随机变量相互独立且都服从相同分布

，试给出常数,使得

服从分布,并指出它的自由度.

因

且相互独立,故有03

统计量49且两者相互独立,由定义知所以,取即可,且自由度为2和3.03

统计量50解📚例21设随机变量求的分布？

由于

，不妨设

，其中随机变量

与

独立，