新教材2025届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点5不等式小题突破

命题点5不等式一、单项选择题1．[2024·山东枣庄模拟]若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式肯定成立的是()A．a＋c>b－cB．(a－b)c2≥0C．ac>bcD．eq\f(c2,a－b)>02．[2024·北京东城模拟]已知x>0，则x－4＋eq\f(4,x)的最小值为()A．－2B．0C．1D．2eq\r(2)3．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，1))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))4．[2024·山西阳泉模拟]已知m<n,则下列结论正确的是()A．m2<n2B．eq\f(1,n)<eq\f(1,m)C．2m<2nD．lgm<lgn5．对随意的x∈(1，4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[eq\f(1,2)，＋∞)D．(eq\f(1,2)，＋∞)6．[2024·辽宁葫芦岛模拟]若a>0,b>0,2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．2D．eq\f(3\r(2),2)7．[2024·河北衡水模拟]已知实数x，y，z>0，满意xy＋eq\f(z,x)＝2，则当eq\f(4,y)＋eq\f(1,z)取得最小值时，y＋z的值为()A．1B．eq\f(3,2)C．2D．eq\f(5,2)二、多项选择题8．若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是()A．a<0B．b<0且c>0C．a＋b＋c>0D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R9．[2024·河北唐山模拟]已知b<a<0，则下列不等式正确的是()A．b2>abB．a＋eq\f(1,b)<b＋eq\f(1,a)C．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2D．a2＋eq\f(1,a)<b2＋eq\f(1,b)10．[2024·新高考Ⅰ卷]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)11．[2024·新高考Ⅱ卷]若x，y满意x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥1三、填空题12．[2024·河北沧州模拟](eq\f(1,\r(x))＋eq\f(1,\r(y)))(eq\r(x)＋4eq\r(y))的最小值为________．13．若不等式x2－5x＋6<0的解集也满意关于x的不等式2x2－9x＋a<0，则a的取值范围是________．14．若关于x的不等式x2－4x－a>0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是________．15．[2024·山东泰安模拟]设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为________．命题点5不等式(小题突破)1．解析：若a＝2，b＝1，c＝－2，满意a>b，但a＋c＝0，b－c＝3，a＋c>b－c不成立，A选项错误；a>b，c2≥0，则有ac2≥bc2，即(a－b)c2≥0，B选项正确；a>b，当c≤0时，ac>bc不成立，C选项错误；当c2＝0时，eq\f(c2,a－b)＝0，则D选项错误．故选B.答案：B2．解析：∵x>0，∴x＋eq\f(4,x)－4≥2eq\r(x×\f(4,x))－4＝0，当且仅当x＝eq\f(4,x)即x＝2时等号成立．故选B.答案：B3．解析：由题意知：－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个解，代入方程得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4＋1＝－\f(b,a),－4×1＝\f(c,a)))⇒b＝3a，c＝－4a，a<0，不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0可化为3a(x2＋1)－a(x＋3)－4a>0，即3(x2＋1)－(x＋3)－4<0解得x∈(－1，eq\f(4,3))，故选B.答案：B4．解析：依据题意可知，不妨取m＝－1，n＝1，则m2＝1，n2＝1，此时不满意m2<n2，即A错误；易得eq\f(1,n)＝1，eq\f(1,m)＝－1，此时eq\f(1,n)>eq\f(1,m)，所以B错误；对于D，lgm无意义，所以D错误；由指数函数单调性可得，当m<n时，2m<2n，即C正确．故选C.答案：C5．解析：因为对随意的x∈(1，4)，都有ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>eq\f(2x－2,x2)对随意的x∈(1，4)恒成立．设f(x)＝eq\f(2x－2,x2)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，∵x∈(1，4)，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，∴当eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，即x＝2时，f(x)max＝eq\f(1,2)，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故选D.答案：D6．解析：a>0,b>0,3＝2ab＋a＋2b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＋(a＋2b)，当且仅当a＝2b时取等号，因此(a＋2b)2＋4(a＋2b)－12≥0，即(a＋2b＋6)(a＋2b－2)≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a＋2b取得最小值2.故选C.答案：C7．解析：因为实数x，y，z>0，满意xy＋eq\f(z,x)＝2，所以xy＋eq\f(z,x)＝2≥2eq\r(xy×\f(z,x))＝2eq\r(yz)⇒yz≤1，当且仅当z＝yx2时，yz＝1，所以eq\f(4,y)＋eq\f(1,z)≥2eq\r(\f(4,y)×\f(1,z))＝2eq\r(\f(4,yz))≥2eq\r(\f(4,1))＝4，当且仅当eq\f(4,y)＝eq\f(1,z)且yz＝1时，等号成立；所以当yz＝1且eq\f(4,y)＝eq\f(1,z)时，eq\f(4,y)＋eq\f(1,z)取得最小值4，此时解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2,z＝\f(1,2)))⇒y＋z＝eq\f(5,2).故选D.答案：D8．解析：若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则方程ax2－bx＋c＝0的两根为－1，2，且a<0，故A正确；所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝\f(b,a),－1×2＝\f(c,a)))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝a,c＝－2a))，则b<0，c>0，故B正确；所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误；不等式ax2－cx＋b<0为ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等式解集为{x|x≠－1}，故D错误．故选AB.答案：AB9．解析：b2－ab＝b(b－a)>0，则b2>ab，A对；a＋eq\f(1,b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)))＝(a－b)＋eq\f(a－b,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))>0，而a－b>0，1＋eq\f(1,ab)>0，所以a＋eq\f(1,b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)))>0，即a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，B错；eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2且eq\f(b,a)，eq\f(a,b)>0，仅当a＝b等号成立，而b<a<0，故eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，C对；a2＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,b)))＝a2－b2＋eq\f(b－a,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－\f(1,ab)))，而a－b>0，a＋b－eq\f(1,ab)<0，所以a2＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,b)))<0，即a2＋eq\f(1,a)<b2＋eq\f(1,b)，D对．故选ACD.答案：ACD10．解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥eq\f(1,2)，正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝eq\f(1,2)，正确；对于选项C，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，则log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)<－2，错误；对于选项D，∵eq\r(2)＝eq\r(2（a＋b）)，∴[eq\r(2（a＋b）)]2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－eq\f(y,2))2＋(eq\f(\r(3),2)y)2＝1.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cosθ，,\f(\r(3),2)y＝sinθ，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ，,y＝\f(2\r(3),3)sinθ.))所以x＋y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,6))∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ)2＋(eq\f(2\r(3),3)sinθ)2＝eq\f(\r(3),3)sin2θ－eq\f(1,3)cos2θ＋eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)sin(2θ－eq\f(π,6))＋eq\f(4,3)∈[eq\f(2,3)，2]，所以C正确，D错误．故选BC.答案：BC12．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))＋\f(1,\r(y))))(eq\r(x)＋4eq\r(y))＝5＋eq\f(\r(x),\r(y))＋eq\f(4\r(y),\r(x))≥5＋2eq\r(4)＝9，当且仅当eq\f(\r(x),\r(y))＝eq\f(4\r(y),\r(x))，即x＝4y>0时，等号成立，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))＋\f(1,\r(y))))(eq\r(x)＋4eq\r(y))的最小值为9.答案：913．解析：解不等式x2－5x＋6<0可得2<x<3，即不等式x2－5x＋6<0的解集为(2，3).因为不等式x2－5x＋6<0的解集也满意关于x的不等式2x2－9x＋a<0，故令f(x)＝2x2－9x＋a，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）≤0,f（3）≤0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－18＋a≤0,18－27＋a≤0))，解得a≤9，即a的取值范围是(－∞，9].答案：(－∞，9]14．解析：不等式x2－4x－a>0在区间(1，5)内有解，即a<x2－4x有解，a<(x2－4x)max，设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，f(x)<f(5)＝5，故a<5.答案：(－∞，5)15．解析：因为ax＝by＝3，所以x＝loga3，y＝logb3.又loga3·log3a＝eq\f(lg3,lga)·eq\f(lga