2025版新教材高中数学同步练习21函数的最大小值新人教A版必修第一册

同步练习21函数的最大(小)值必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最小值分别为()A．3，0B．3，1C．3，无最小值D．3，22．[2024·山东济宁高一期中]函数y＝x2－2x－1在[0，3]上的最小值为()A．－1B．2C．eq\f(3,2)D．－23．函数y＝eq\f(2,x)在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是()A．eq\f(1,4)，eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)，1C．eq\f(1,2)，eq\f(1,4)D．1，eq\f(1,2)4．[2024·安徽合肥高一期中]记函数f(x)＝eq\f(2x,x－2)在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则eq\f(m2,M)＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,8)C．eq\f(3,2)D．eq\f(8,3)5．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f(x)＝min{x＋3，7－x}，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．76．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋5的最小值为－4，则a＝()A．3B．9C．±3D．±97．函数f(x)＝eq\f(k,x－1)(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值为()A．1B．2C．3D．48．[2024·河南信阳高一期中](多选)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，5]，其图象如图所示，则下列说法中正确的是()A．f(x)的单调递减区间为(0，2)B．f(x)的最大值为3C．f(x)的最小值为－1D．f(x)的单调递增区间为(－1，0)∪(2，5)9．[2024·湖南衡阳高一期中](多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，1]的说法正确的是()A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为a＋1B．当a<0时，此函数的最大值为a＋1，最小值为1C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为a＋1D．当a>0时，此函数的最大值为a＋1，最小值为1二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·黑龙江双鸭山高一期中]y＝x－eq\f(1,x)在[1，2]上的最小值为________．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x，0≤x≤2，,\f(2,x－1)，x>2，))则函数f(x)的最大值为________，最小值为________．12．函数y＝x2－4x＋3在区间[－1，m]上有最小值－1，则实数m的取值范围是________．三、解答题(共20分)13．(10分)已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出f(x)的图象，并依据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－1，eq\f(1,2)]上的最大值．14．(10分)[2024·河北张家口高一期中]已知函数f(x)＝x＋eq\f(8,x).(1)证明：f(x)在区间[2eq\r(2)，＋∞)上单调递增；(2)求f(x)在[3，6]上的最值．关键实力提升练15．(5分)[2024·河北秦皇岛高一期中]高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f(x)＝x－[x]，则下列选项中正确的是()A．f(x)的最大值为1，没有最小值B．f(x)的最小值为0，没有最大值C．f(x)没有最大值，没有最小值D．f(x)的最大值为1，最小值为0[答题区]题号12345678915答案16.(5分)[2024·河南开封高一期末]已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为________．17．(10分)[2024·广东广州高一期末]已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋a＋1，其中a∈R.(1)若函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0，1]的最小值是3，求实数a的值．同步练习21函数的最大(小)值必备学问基础练1．答案：C解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.2．答案：D解析：由题意函数y＝x2－2x－1图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝1，对称轴在区间[0，3]内，则函数y＝x2－2x－1在[0，3]上的最小值在x＝1时取得，即函数最小值为12－2－1＝－2.故选D.3．答案：D解析：易知函数y＝eq\f(2,x)在区间[2，4]是单调递减函数，因此当x＝2时，函数y＝eq\f(2,x)的最大值为1，当x＝4时，函数y＝eq\f(2,x)的最小值为eq\f(1,2).故选D.4．答案：D解析：因为f(x)＝eq\f(2（x－2）＋4,x－2)＝2＋eq\f(4,x－2)，所以f(x)在[3，4]上是减函数．所以m＝f(4)＝4，M＝f(3)＝6.所以eq\f(m2,M)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).故选D.5．答案：B解析：令x＋3＝7－x，解得x＝2，故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤2,7－x，x>2))，故当x≤2时，f(x)单调递增；当x>2时，f(x)单调递减，则f(x)的最大值为f(2)＝5.故选B.6．答案：C解析：由题意，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝a，且开口向上，可得f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋5＝－4，即a2＝9，解得a＝±3.故选C.7．答案：C解析：由题意，k>0时，函数y＝eq\f(k,x－1)在[4，6]上单调递减，∴f(x)max＝f(4)＝eq\f(k,4－1)＝1，∴k＝3.故选C.8．答案：ABC解析：对于A，由图象可知：f(x)的单调递减区间为(0，2)，A正确；对于B，当x＝0时，f(x)max＝3，B正确；对于C，当x＝2时，f(x)min＝－1，C正确；对于D，由图象可知：f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(2，5)，但并非严格单调递增，不能用“∪”连接，D错误．故选ABC.9．答案：AD解析：当a<0时，函数y＝ax＋1为减函数，所以当x＝0时，ymax＝1，当x＝1时，ymin＝a＋1，故A正确，B错误；当a>0时，函数y＝ax＋1为增函数，所以当x＝0时，ymin＝1，当x＝1时，ymax＝a＋1，故C错误，D正确．故选AD.10．答案：0解析：依据题意y＝x－eq\f(1,x)在[1，2]上为增函数，则y＝x－eq\f(1,x)在[1，2]上的最小值为y＝0.11．答案：2－eq\f(1,4)解析：0≤x≤2时，f(x)＝x2－x＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)，x＝eq\f(1,2)时，f(x)min＝－eq\f(1,4)，f(x)max＝f(2)＝2，x>2时，f(x)＝eq\f(2,x－2)是减函数，无最大值和最小值，但由x－2>1得0<eq\f(2,x－2)<2.综上f(x)的最大值为2，最小值为－eq\f(1,4).12．答案：[2，＋∞)解析：y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，要想取到最小值－1，则2∈[－1，m]，所以m≥2.13．解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x，x≤0,x2＋x，x>0))的图象如图所示．(1)f(x)在(－∞，－eq\f(1,2)]和[0，＋∞)上是增函数，在(－eq\f(1,2)，0)上是减函数，∴f(x)单调递增区间为(－∞，－eq\f(1,2)]，[0，＋∞)，单调递减区间为(－eq\f(1,2)，0).(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)，∴f(x)在区间[－1，eq\f(1,2)]上的最大值为eq\f(3,4).14．解析：(1)证明：任取2eq\r(2)≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(8,x1)－x2－eq\f(8,x2)＝(x1－x2)＋8(eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2))＝eq\f(（x1－x2）（x1x2－8）,x1x2)，由2eq\r(2)≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>8，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[2eq\r(2)，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f(x)在[3，6]上是增函数，∴f(x)min＝f(3)＝3＋eq\f(8,3)＝eq\f(17,3)，f(x)max＝f(6)＝6＋eq\f(8,6)＝eq\f(22,3).关键实力提升练15．答案：B解析：由高斯函数的定义可得：当0≤x<1时，[x]＝0，则x－[x]＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，则x－[x]＝x－1，当2≤x<3时，[x]＝2，则x－[x]＝x－2，当3≤x<4时，[x]＝3，则x－[x]＝x－3，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，视察可得函数有最小值0，没有最大值．故选B.16．答案：－4解析：画出两函数图象可得，函数f(x)＝x－8与g(x)＝3x－x2的交点为(4，－4)，(－2，－10)，所以m(x)＝min{f(x)，g(x)}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－x2，x∈（－∞，－2]∪[4，＋∞）,x－8，x∈（－2，4）))，所以m(x)max＝m(4)＝－4.17．解析：(1)因为f(x)＝x2－(a－2)x＋a＋1在(－∞，1]上单调递减，所以eq\f(a－2,2)≥1，所以a≥4.(2)因为f(x)＝x2－(a－2)x＋a＋1＝(x－eq\f(a－2,2))2＋eq\f(8a－a2,4)，当eq\f(a－2,2)<0，即a<2时，函数f(