直线与圆的位置关系知识点

直线与圆的位置关系知识点

一、直线与圆的位置关系

XI.直线和圆相交、相切相离的定义：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线.

(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共

点做切点.

(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

X2.直线与圆的位置关系的数量特征：

设。0的半径为r,圆心O到直线的距离为d；

①d<r<===>直线L和。0相交.

②d=r<===>直线L和。0相切.

③d>r<===>直线1和00相离.

派3.切线的总判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

X4.切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

※推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如下结论：

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.

①垂直于切线；②过切点；③过圆心.

注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上，连半径证垂直；未知点在圆上，作垂直证

垂线段的长度等于圆的半径。

X5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三

角形叫做圆的外切三角形.

X6.三角形内心的性质：

(1)三角形的内心到三边的距离相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角.

［补充］(只做了解)

1.圆的外切四边形两组对边和相等

2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的

夹角

3.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

4.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

5.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比

例中项

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

与圆有关的辅助线

1.如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线.

2.如圆中有直径的条件，可作出直径上的圆周角.

3.如一个圆有切线的条件，常作过切点的半径(或直径)为辅助线.

4.若条件交代了某点是切点时，连结圆心和切点是最常用的辅助线.

一、选择题

1、（2013济宁）、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点

E、D,DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为

A.4B.3A/3C.6D.273

°GOC

2、（2014年山东东营）如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD,点B、C、D、G四个点在同

一个圆。。上，连接BG并延长交AD于点F,连接DG并延长交AB于点E,BD与CG交

于点H,连接FH,下列结论：

①AE=DF；②FHIIAB；③△DGH-△BGE；④当CG为。0的直径时，DF=AF.

其中正确结论的个数是（D）

A.1B.2C.3D.4

3.（2014年山东东营）如图，已知扇形的圆心角为60。,半径为则图中弓形的面积为（）

兀一次行人4H-3V3n兀一相「2兀-3企八

2444

4、（2014年山东泰安）如图，P为。O的直径BA延长线上的一点，一

PC与。O相切，切点为C,点D是。上一点，连接PD.已知

PC=PD=BC.下列结论：夕\

（1汴口与。0相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4>力

ZPDB=120°,）

其中正确的个数为（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4

5、（2014济南）如图，。。的半径为1,AABC是。。的内接等边三角形，

点。，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是E1/\\力

r-3V3（/•°\I

A.2B.V3C.-D.—\/\/

第5题图

6、如图，己知AO是△ABC的外接圆的直径,AO=13cm,cosB=—>

13

则AC

的长等于（）

A.5cmB.6cm

C.10cmD.12cm

7、如图，在等腰直角三角形力比中，AB=A（=89。为a'的中点，

以。为圆心作半圆，使它与18,4C都相切，切点分别为4E,则

。。的半径为（）

A.8B.6C.5D.4

8、（2012佛山）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切00于A、B两点，CD切00

于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接OD、0C,对于下列结论：

函数y=x的图象被。P截得的弦AB的长为4\巧，则a的值是（）

A.4B.3+V2c.372D.3+V3

10、（2014武汉）如图，PA、PB切0O于A、B两点，CD切。O于点E交PA、PB于C、D,

若OO的半径为r,PCD的周长等于3r,则tan/APB的值是（）

A.—V13B.—C.-V13D.-V13

12553

二、填空题

1、（2014年湖南湘潭）如图，OO的半径为3,P是CB延长线上一点，PO=5,PA切。O

于A点，则PA=

2、（2014年山东泰安）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5,弦AC=8,OD±AC,

3、（2014济南）如图，A2与。。相切于C,ZA=ZB,。。的半径为6,AB=16,则OA

的长=_______

4、（2014•成都）如图，AB是。。的直径，点C在AB的延长线上，CD切。O于点D,连

5、如图，MN为。O的直径，A、B是。O上的两点，过A作AC_LMN于点C,过B作

BDLMN于点D,P为DC上的任意一点，若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值

是.

7、如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的

圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边

三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，

则这个圆共转了（）

8、（2012济南）如图，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=6,

BC=8,以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH

的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC,则矩形EFGH的周长是

9、（2011山东济南，21,3分）如图，△ABC为等边三角形，AB=6,

动点。在^ABC的边上从点A出发沿着A—C―8—A的路线匀速运动

一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、目为半径的圆在运

动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第一秒.

10、（2014陕西）己知一个直角三角形的面积是12,周长为12J2,则直角三角形的外接圆

的半径是.

三解答题

1、如图，四边形ABCD内接于。O,是。O的直径，AE1CD,垂足为E,平

分ZBDE.

（1）求证：AE是。O的切线；

//7。

(2)若ZDBC=30。，DE=1cm,求BO的长.

O

BC

2、（2013荆门）如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点，P是线段MC上

的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作。O,过点P作。。的切线，交AD于点F,

切点为E.

（1）求证：OF"BE；

（2）设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H（图2）,问是否存在点P,

使AEFOs△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的

值；如果不存在，请说明理由.

（图1）（图2）

3、（2014•临沂）如图，已知等腰三角形A8C的底角为30。，以BC为直径的。。与底边AB

交于点。，过。作OEJ_AC,垂足为E.

（1）证明：DE为。。的切线;

（2）连接OE,若3c=4,求△OEC的面积.

4、(2014年山东东营)如图，AB是。O的直径，OD垂直于弦AC于点E,且交0O于点D,

F是BA延长线上一点，若NCDB=/BFD.

(1)求证：FD是的一条切线；

(2)若AB=10,AC=8,求DF的长.

5、(2013•十堰)如图1,△ABC中，CA=CB,点。在高CH上，OD_LCA于点D,OE_LCB

于点E,以。为圆心，OD为半径作。O.

(1)求证：。。与CB相切于点E；

(2)如图2,若。O过点H,且AC=5,AB=6,连接EH,求△BHE的面积和tanNBHE的

值.

H

图2

6、(2014蒲泽)如图，AB是。0的直径，点C在00上，连接BC,AC,作0D〃BC与过点A的切

线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.

(1)求证：DE是00的切线；

\

⑵若匕=一，求cosZABC的值八/

DE3

6题图

7、(2014潍坊)如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,以AB为直径作。0,恰与另一腰CD

相切于点E,连接0D、0C、BE.

⑴求证:0D〃BE；

(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,0C=y,且x+y=14,

求CD的长.

8、(2014•德州)如图，。。的直径AB为10的，弦BC为5cm,D、E分别是NACB

的平分线与。。，A8的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.

(1)求AC、AO的长;

(2)试判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由.

9、(2014•威海)如图，在△ABC中，ZC=90°,ZABC

的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,

。。是ABEF的外接圆.

(1)求证：AC是。0的切线.

(2)过点E作EH_LAB于点H,求证:CD=HF.

10、(2012济南)如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-L0),与

y轴相交于点C,为AABC的外接圆，交抛物线于另一点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求cos/CAB的值和的半径；

11、(2010济南)如图所示，菱形ABC。的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧,

点。在y轴的正半轴上，NBAO=60。，点A的坐标为(-2,0).

⑴求线段A