高中数学：5-5 三角恒等变换教案

5.5三角恒等变换

考纲要求

1.能推导两角差余弦公式，知道两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公

式.

3.能运用上述公式进行简单的恒等变换.

I1知识解读

知识点①两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(a-/i)=cosacos^+sinasin^；

cos(a+^)=cosacos/?-sinasi；

sin(a—p)=sinacosjfi-cosasin//；

sin(a+y3)=sinacosjff+cosasin/?；

tana-tanp

tan(a，)=i+tanatan夕；

.tana+tanB

tan(a+)S)=-~;-----：~~.

i1—tanatanp

知识点②二倍角公式

sin2a=2sinotcosa；

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

2tana

tan2a=

1—tan2a

知识点③辅助角公式

其中加乐%'诟看.

asinr+/?cosx=yla2+b2sin(x+p),9=8$9=

知识点④常用结论

tana+tan0_tana-tan(31

1.常用变式：tana±tanp=tan(a±/?)(1+tanatan夕)；tanatanfi=1

tan(a+.)tan(a-')

2.降幕公式：5晶=匕等；cos2a=^^箜竺sinacosafn2a.

nrt2

3.升毒公式：1+cos1=2(：0§芍；1-cosa=2sin22；1+sina=sin^+cos^j；1—sina=

a~\~Bex—B

4.常用拆角、拼角技巧：例如，2a=(a+4)+(Q—4)；C=3+4)一尸=(仪一尸)+夕；B=2—2=(。+2夕)

一(a+4)；a—/?=(a—>)+(>—£)；15°=45°—30°；：+a=，一。一a)等.

题型一、两角和差公式

1.(2019•全国卷I)tan255°=()

A.一2一小B.一2+小

C.2-^3D.2+小

【答案】D

,...,__,,tan450+tan30°

r=2+5.

【解析】tan255°=tan(l80°+75°)=tan75o=tan(45°+30°)=GR^

若cosa=—^,a是第三象限的角，则sin(a+g=(

)

也B啦

B,

1010

7/D应

10D.10

【答案】c

4

【解析】因为cosa=-*a是第三象限的角,

3

-

所以sina=-Jl-cos2a=5

所以sin^a+^j=sinacos^+cosasin^=^―2-=

3.cos(a+£)cos夕+sin(a+£)sin6=()

A.sin(a+2夕)B.sina

C.cos(a+2夕)D.cosa

【答案】D

【解析】cos(a+份cos。+sin(a+份si叨=cos[(a+p)—fi]=cosa.

4.—sin133°cos197°—cos47°cos73°等于()

A.2B.号

C.坐D.坐

【答案】A

【解析】-sin133°cos197°—cos47°cos73°=—sin47°-(-cos17°)—cos47°sin17°=sin(47°—17°)=sin30°

=1

=2,

5.(2018•全国卷H)已知sina+cos£=l,cosa+siny?=0,则sin(a+S)=

【答案】一士

【解析】Vsina+cos//=L①cosa+sin4=0,②

，①?+②2得1+2(sinacos尸+cosasin尸)+1=1,

/.sinacos夕+cosasin4=-Asin(a+/?)=—

6.已知a,尸为锐角，cossin(a+.)=^g,则cos4=.

【答案】;

【解析】；a为锐角，

sina—yj1—(1)2

*.'a,°e(0,芬0<a+^<7i.

XVsin(a+^)<sina,

/.cos(a+p)=—

cosp=cos[(a+/?)-a]=cos(a+y3)cosa+sin(a+/?)sina=-

7.计算：tan25o+tan35o+V^tan250tan35o=.

【答案】小

【解析】原式=tan(25°+35°)(l—tan25°tan35°)+,\/3tan25°-tan35°=小(1—tan25°tan35°)+小tan25°tan35°

=小.

cos150+sin15°_

工cos15°-sin15°=()

A.坐B.小

C.—D.-小

【答案】B

.„1+tan15°tan450+tan15°,

【r解析】原式="；---Q--一■一T7~-----=tan(45°+15°)=q§r.

I—tan151—tan45tan15v

题型二、倍角公式

1.(2020•全国卷I)已知a£(0,n),且3cos2a—8cosa=5,则sina=()

A/5门2

AA.B.g

-1r巡

C.gD.g

【答案】A

【解析】V3cos2a-8cosa=5,

A3(2cos2a_1)—8cosa=5,/.6cos2«-8cosa-8=0,

/.3cos%—4cosa-4=0,

2

解得cosa=2(舍去)或cosa=­j.

VaE(0,7i),sina=y]1—cos2a=•

2.若tan住一。)=—2,则tan2a=.

【答案】；3

71

,、tanT-tana

【解析】由甘―仪)=—可得-----------1-tana..

tan2=—2,即TT嬴W=-2,化间得tana=-3,

1+tan不ana

3

-

4

3若

siin

7

-1

A.8-

B.D4

17

c--

48

【答案】A

【解析】cos(1+2a)=co］兀一传一2，］

【答案】？7

o

【解析】由sina+cosa=坐，得sin%+cos%+2sinacosa=l+sin2a=1,所以sin2a=(,从而cos4a=1—

2sin22a=1-2x(；)2=*.

5.sin15°cos150等于()

_11

B.

A.~44

_11

C.D.

~22

【答案】B

【解析】sin15°cos15°=^sin30。=].

=、、稼sin110°sin200附出不

&计算W155。—s-55。的值为•

1

【答案】

2

,sin40。

sin1100sin20o_sin70°sin200cos20°sin20°2sin的1

【解析】22==

cos155°-sin155°cos310°cos50°sin40°2-

题型三、简单的恒等变换

,那么sin仔+a)sin

1.已知a满足sina—)

B.g

A.~2

C.~4D-4

【答案】D

【解析】：sin

Asing+a2(1-2sin

2.若tana=；,tan(a+0=3，则lanQ=.

【答案*

【解析】因为tana=g,tan（a+夕）=5

tana+尸一tana31

所以tan^=tan[(a+/?)—«]=

1+tana+夕tanaT

,+2X3

孚，2兀]若S^(a+夕)=2,则tan(a+份=(

3.己知sina=一亍)

L乙」COS0

613

A.15B.

613

C.D.~6

【答案】A

一

4九

e

一-

a一

【解析】Vsina—2

5,一

又...辿巴"夕=2,・.sjn(a+0)=2cos[(a+6)一句・

cos/?

展开并整理，得*x)s(a+£)=Sin(a+H),

:.tan(a+/S)=yj.

4.已知cosg一袭)=/贝(Jcosx+cosQ—§=()

A.坐B.y[3

C.1D.当

【答案】D

5.函数於)=巾$泊至一Zsin小佟r爵)的最小值是

【答案】小一1

【解析】於)=V§sin|x—(1-cos|x)=2singx+V)—1,

_,7C3兀.兀217r2兀

又产心了，・”名1+%学，

•\/(X)min=2siil3-I=>>/^-I•

6.已知2sinatana=3,且0〈av兀.

(1)求a的值；

(2)求函数於)=4cos/cos(x—a)最大值.

【答案】(l)a=：(2)3

【解析】(1)由己知，得2sin2a=3cos扇

则2cos%+3cosa—2=(),

所以cos或cosa=-2(舍去)，

JT

又因为0“＜兀，所以

(2)由(1),得於)=4cosxcos(x—^)=4cosx(^cosx+^sinx)=2cos%+2小sinxcosx—\+cos2x+小sin2x

=l+2sin(2x+^),

所以火幻的最大值为3

达标训练

4

1.(2017•全国卷III)已知sina—cosa=?则sin2a=()

7「2

A.一§B.—g

c2n7

C.§D・g

【答案】A

4

【解析】Vsina—cos

(sina—cosa)2=l-2sinacosa=1-sin2a=$

7

/.sin2a=­g.

2.(2020.全国卷HI)己知2tan(9-tan(6+习=7,则tan6=()

A.-2B.-1

C.1D.2

【答案】D

【解析】•「Ztane-tan(。+今)=7,/.2tan=7,A2tan0—2tan20—1—tan0=7—7tan0,即tan之。

\4)1—tan0

—4lan0+4=0,解得tan0=2.

35

3.(2022•安徽淮南一模)在^ABC中，已知sinA=§,cos8=行,则cosC=()

63

C-65^16D.

65

【答案】A

【解析】在448C中，,.,cosBn*,

Asincos2B=1|＞坐，.•・8£与§.

VsinA=5%,啕,

„仅4)或AG厚著)(舍去)，

，cosA=、l-sin2A=],

cosC=-cos(A+8)=—cosAcosB+sinAsinB=-+]x--.

4.己知sin2a=1,则cos?]。一£)=()

A-6B.

c.；D.|

【答案】D

【解析】cos《a—；）={cos2（a—；）+l]=gcos(2a-9+J=|cos(j-2a)

n

已知〃,则

5.sinx+z6,=?)

A.1—2trrB.2m2—1

C.mD.2m—1

【答案】B

【解析】cos(^2x—yj=cos|_2^x+^j—H=—cos2^x+^j=2sin2(^x+^j—1=2nr—1.

6.设a£(0,2)^眸(3芬且tana=1贝必)

nTt

A.3a—B.2a—P=2

：TT

C.3a+S=D.2a+P=2

【答案】B

1+$in”sina1+sin”

【解析】由lana=得

cospcosacosB

即sinacos/?=cosa+cosasin0,

71

.*.sin（«­/?）=cosa=sin（y-a）.

7T71

V«e（o,5）,/?e（o,］）,

.•.a—蚱（一F，与），ae（0,今，

■jl兀

由sin（a-fi）—sin（2-«）»得夕一夕二］一。，

・・・2以一片5

7.已知a£（一0）,cos«=y则tai或=（）

A.3B.-3

C.1D-一g

【答案】D

41

兀

【解析】因为（一去）且--

aw0,8sa=y-3

4J

8.若sin（7c—a）=—卓且咨），则§皿（5+习等于（）

A.-*B.一平

30

C.小D.当

o3

【答案】B

【解析】由题意知sina=一雪，aG（7t,y）,

一2

所以cosa=一?

因烤喏,引,

所以sin（j+1^=cos,=一、J^十竽"=-故选B.

9.函数4r）=cos2x—2cos，（xe［0,兀］）的最小值为（）

1_1

Ac.B.

D.

55

-

一4-4

【答案】D

【解析】由题意，得/(X)=cos2%—2cos5=cos2/—(1+cosX)=cos2x—COS1,设，=cosx(x£[0,7t]),y—

2

fix),则E—l,1],y=p—L1=(T)—/所以当即x=]时，y取得最小值，为V，所以函数

段)的最小值为一宗故选D.

C9

O

25，贝ljtan0=.

【答案】]4

【解析】由sing+2cos爹=0,得tar£=-2,

~0

2tan^

则tan0=)

1—tan弓

11.已知sine+a)=多则cos?。-9=.

【答案】焉

1+3

【解析】因为cos原一〃)=sin5=sin停+。)=?.所以cos25

2~2~6,

12.若函数,/U)=4sinx+。cosx的最大值为5,则常数a=

【答案】±3

【解析】人元)=，16+，sin(x+(p),其中tanp=w，

故函数/U)的最大值为N16+层,

由己知得416+4=5,解得〃=±3.

一sin250°

13---------=

1+sin100--------,

【答案】I

一sin25O01-coslOO0l-cos(90°+10°)1+sin1001

【解析】；=不

1,+,si.n1,n0o=-27(1-+-s-in-1-00)=—2(—1+-si-n1-0°T)=-27(-l-+-si-nl-00)2

4

14.(2018•浙江卷)已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点尸(一,，5一

(1)求sin(a+7t)的值;

(2)若角4满足sin(a+0=E，求cos夕的值.

【答案】(诺(2)cos6=一.或cos^=77

34

--

【解析】(1)由角。的终边过点55

/4

得sina=­q.

-4

所以sin(a+;r)=~sina=T.

(2)由角a的终边过点尸(一,，

3

得zcosa=一；.

由sin(a+份=卷,得cos(a+/?)=±j1.

由尸=(a+Q)—a,

得cosQ=cos(a+夕)cosa+sin(a+4)sina,

所以cosp=-If或cos8=焉

4、后

15.(2018・江苏卷)已知a,4为锐角，tana=1,cos(a+份=一七".

⑴求cos2a的值;

(2)求tan(a一它的值.

72

【答案】(D—芯(2)—五

【解析】(1)因为tana=*tana=^3，

J(A

4

所以sina=gcosa.

因为sin2a+cos2a—1,

9

所以cos2a=25

7

因止匕cos2a=2cos2。一1=一行.

(2)因为a,£为锐角，所以a+夕£(0,兀).

又因为cos(a+/?)=一乎，

所以sin(a+^)=Jl-cos2(a+/?)=邛^,

因此tan(a+/?)=—2.

4

-

3

2247

因此，tan(a—p)=tan[2a—(a+

tan2a-tana+尸2

1+tan2atana+/?IT

■课后提升

I.(多选题)下列式子的运算结果为小的是()

A.tan250+tan35°+"\/3tan25°tan35°

B.2(sin350cos250+cos35°cos650)

1+tan15°

C----------

1-tan15°

71

tanz

1-tanv

【答案】ABC

【解析】对于A,tan25°+tan35°+小tan25°tan350=tan(25°+35°)(l—tan25°tan350)+小tan25°tan35°=

V3-V3tan25°tan35°+V3tan25°tan35°-=A/3；对于B,2(sin350cos250+cos350cos650)=2(sin35°cos250+

n

1

1+tan15°tan450+tan15°ta^

cos35°sin25°)=2sin600="73；对于C,1-tan15o=l-ian450tan15°=60。=小;对于D,

Ltan%

c兀

2tan

61兀小

X-----------------gxtan3=2-

1-tan%

2.设ae（0,习，昨（0,方，且tan。=寰联，则下列结论中正确的是（）

7171

A.a—0=4B.a+P=~^

C.2a~D.2ct+£=；

【答案】A

1+sin邛(sin夕+cosQ2cos/^+sinp1+tan§

【解析】tano=.因为a£(0,2

cosIficos力一sin2/?cos尸一sinP1—tan[i

夕+：G仔,D,所以a=/?+：,即a一片吃.

3.（多选题）（2020•山东烟台期中）已知函数/（x）=sin*sin（x+m）—；的定义域为［加，川（〃?<〃），值域为—1

则n-m的值不可能是（）

人5兀7兀

B.

A.Y2n

117t

D.

【答案】CD

【解析】J(x)=sinx-sin^x+^j—1

4

=sinA(|sinA

=^sin2xnxcosx-

][3

=4(1—cos2x)+牛

sin2x—；cos2x

作出函数./（X）的图象如图所示,

在一个周期内考虑问题，

’7i（5n

『，JT声I传「兀2兀1

易得r或<,满足题意，所以〃一〃?的值可能为区间?普内的任意实数.所以A,B

5兀77177cL°D」

〔铲把不〔”=不

可能，C,D不可能.

4.在平面直角坐标系。孙中，角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆。于点

P{a,b）,且a+b=^,则cos（2a+S的值是.

【答案】一2般4

【解析】由任意角的三角函数的定义得，sina=〃,

cosa=a.

77

又〃+》=亍:.sina+cos仪=亍

两边平方可得sin2a+cos2a+2sinacosa=骂，

4924

即1+sin2a=25,Jsin2a=行.

/.cos^2a+^=-sin2a=—

5.(交汇创新)函数於Adcos5cos6一x)—2sinx—|lna+l)|的零点个数为.

【答案】2

【解析】因为兀¥)=48$斗2$《一，一2sinx—|ln(x+1)|=2(1+cosx)sinx—2sinx—|ln(x+l)|=sin2x—|ln(x+

1)1，所以函数/U)的零点个数为函数y=sin2r与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数，作出函数y=sin2x与)，=

|ln(x+l)|图象如图，

尸sin2x

由图知，两函数图象有2个交点，所以函数7U)有2个零点.

6.如图，在平面直角坐标系X。)，中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角a和钝角£的终边与

单位圆0分别交于A,B两点，x轴的非负半轴与单位圆。交于点M,!_»知SAOAM—5，忘、B的