高中数学导数练习题含答案

高中数学导数练习题含答案

一、解答题

1.已知函数f(x)=xlnx-o¥+a.

⑴若xNl时，/(x)NO恒成立，求a的取值范围；

(2)当a=l,0cAe1时，方程/。)=匕有两个不相等的实数根占，%，求证：中2<1.

2.函数/.(x)=ar'-e”，a>0.

⑴讨论函数/(x)的极值点个数；

(2)已知函数g(x)的定义域为［0,+8),且Vxe［0,+e)满足g(x)+xg〈x)>xg(x)若

满足不等式e2%2-x)g(2-x)Ve2*g(x),且x0是函数/(x)的极值点,

求。的取值范围.

3.已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=4/-3x2-6flnx-l.

⑴若/(x)2ax+1恒成立，求实数a的取值范围；

⑵若且g&)+g(w)=0,试比较/&)与/(天)的大小，并说明理

由.

4.已知函数/(x)=e*-fcr,g(x)=2x-2-81nx(aeR).

⑴当％=1时，求函数“X)在区间卜1』的最大值和最小值；

⑵当〃力=0在［；，2］有解，求实数k的取值范围；

⑶当函数g(x)有两个极值点为，毛(与<々)，且占"时，是否存在实数m,总有

瞥>〃?(5*2-芯)成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明

1—A.

理由.

5.已知函数/(x)=S+lnMa为常数)，且函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率小

⑴求实数a的取值范围；

⑵试判断(a-l)lne与(e-l)ln”的大小，并说明理由.

6.已知函数/(x)=e*+aln(-x)+l,/(x)是其导函数，其中aeR.

⑴若/(幻在(F,0)上单调递减，求a的取值范围；

⑵若不等式f(x)vr(x)对Txe(FO)恒成立，求。的取值范围.

7.设函数/(*)=叱-f，其中aeR且awO,e是自然对数的底数.

ax

⑴设/(X)是函数f(x)的导函数，若/'(X)在(2,3)上存在零点，求a的取值范围;

4

⑵若证明：f(x)<0.

8.已知函数/。)=片(小7+1).

⑴求曲线y=f(x)在点(oj(o))处的切线的方程；

⑵若函数/(x)在x=0处取得极大值，求”的取值范围；

⑶若函数/(x)存在最小值，直接写出”的取值范围.

9.已知函数f(x)=adnx-2x.

⑴若/⑴在X=1处取得极值，求/(X)的单调区间；

⑵若函数〃(幻=区也-/+2有1个零点，求a的取值范围.

X

10.已知函数/(x)=gx3+ar2_6x+2在x=2处取得极值.

⑴求/(X)的单调区间；

(2)求“X)在[T3]上的最小值和最大值.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)(-81].

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

⑴xNl,/(x)>0<=>lnx-a+->0,设g(x)=lnx-a+q(x21),求导得

XX

^)=1-4=^,分与两类讨论，即可求得a的取值范围；⑵当。=1

时，方程八》=人有两个不相等的实数根X],X”,不妨设西<电，则

要证只需证而/(西)=/*2)，只需证明再构造

xlx\

函数，设“x)=f(x)-f(3(0<x<l),通过求导分析即可证得结论成立.

X

(1)

.x>\,/(x)>0,gp\nx-a+—>Q,

x

设g(x)=lnx-a+"(xNl),==,当aWl时，g\x)>0,

xxxx~

・•・g(x)在U,+oo)上单调递增，.•.g(x)2g(l)=0,满足条件；

当a>l时，令9(*)=0,得x=a,当IWxca时，g'(x)<0；

当时，g'(x)>0,..g(x)在区间口⑷上单调递减，在区间值”)上单调递增，

5Wmin=8(a)=Ina-a+1,g(a)<g(l)=0,与已知矛盾.

综上所述，a的取值范围是(3，〕

⑵

证明：当”=1时，f'(x)=lnx,则/(x)在区间(0,1］上单调递减，

在区间U,”)上单调递增，由方程/。)=方有两个不相等的实数根芭，毛，

不妨设则()<玉<1<三，要证为飞<1,只需证,

X】

f(X)在区间口,”)上单调递增，只需证f。2)</(-)

又/(%)=/(々)，.•・只需证明,设F(x)=f(x)-/(L)(0<x<l),

X］X

则F\x)=Inx-与Inx=A-1Inx>0,F(x)在区间(0,1)上单调递增，

xx~

.•.F(x)<F(l)=0,.-./(x)-/(-)<0,即/(%)</(')成立，

x%

二原不等式成立，即士仔<1成立.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中

重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数

的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区

间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极

值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

2.(1)答案见解析

⑵［/出2_-

【解析】

【分析】

(1)求出/'(X),由广(x)=0知XH0,分离参数得引入函数G(x)=S，

3厂3厂

由G(x)的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论

得出零点个数，根据极值定义得极值点个数；

(2)令〃(力=茎学，求导后得人(幻是增函数，不等式

e2'（2-x）g（2-x）＜e2x^（x）,

整理得（2-x）出一%坐,即〃（2-x）4/?（x）,由单调性得》的范围，从而得出

ee

工的范围，结合极值点的要求得X。11,2）,然后由（1）的函数G（X）的性质得〃的

范围.

⑴

f（x）=a^-e,则/（*）=3加-6*,

函数的极值点为导函数的变号零点，显然x=0不是/'（x）=0的解，

当xwO时，令G（x）=?y,

[Hii\1e'-x2-2x-e'e'x—2

则G(X)=§.—7一=T-

故G(x)的单调性如表格所示：

X（-8,。）(0,2)2(2,+8)

G(x)>0<0=0>0

G(x)单调递增单调递减极小值单调递增

在々两侧，/（X）不变号，f（x）有1个极值点；

当“e,+8）时，。=皋有三个解不々,不，在这三个解两侧/'（X）均变号，“X）

有3个极值点.

⑵

令力(力)等，则,(x)=(k位师空区，

因为Vxw［0,+8)满足g(x)+xg，(x)>xg(x),故(l-x)g(x)+xg，(x)>0,

则"(x)>0,故函数〃(x)是一个在定义域上单调递增的函数；

又现w［(),+00),满足不等式e"(2-x)g(2-x)Ve2xg(x),

jt>0,

整理得(27)邛7)«坐,即〃(2-x)W〃(x),结合定义域有<2—x20,

ee

2-x<x,

故％的取值范围是［1，2］,又%是函数/(x)的极值点，即函数〃x)的变号零点，二

X。二2，

由(1)知，函数G(x)在区间［1,2)上单调递减，故。｛巳，|•

【点睛】

本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题

的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个

数.不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于

困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高.

3.(1)«<0

⑵〃々)<“与)，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)分离参变量，得到“4土也二^口〉。)恒成立，构造函数，将问题转化为求

X

函数的最值问题;

I3

(2)由(1)可得x-lNlnx,从而判断g(x)的单调性，确定］<用<1<々<］，再

通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出用+当<2；再次构造函数

产。)=二-孚，判断其单调性，由此推出々7”<占-1小，可得结论.

Z+12

⑴

/(X)21恒成立，即〃4-ln—1,(x>0)恒成立,

X

令心)=*二1,〃，⑴=吗，

XX

当xe(0,l)时,h'(x)<0,函数力⑴递减；

当X€(l,+8)时，h\x)>0,函数"(X)递增，

故爪=〃⑴=0,

所以“MO.

⑵

g'(x)=12x2—12x—12xlnx=12x(x—1—Inx),

由(1)知x-lNlnx,所以在、,|[上g[x)20,

所以g(x)在(；，之上单调递增，且g(D=O.所以3<为<1<々<|，

m(x)=12x(%-1-Inx),fnr(x)-12(2x-2-Inx),

^n(x)=12(2x-2-lnx),则"(x)=口②一I),n\x)>0,

x122)

所以加(x)在上单调递增，且加⑴=0,

所以，"⑶在上单调递减，在]{|上单调递增，

令H(x)=g(x)+g(2-x),H\x)=g'(x)-g'(2—x)=12[2x-2-xlnx+(2-x)ln(2-x)],

令G(x)=〃'(x),Gr(x)=-121n(2x-x2),G(x)>0,

所以“'(x)在(1。上单调递增，所以“'(幻>"'⑴=0,

所以"(x)在(6)上单调递增，所以，⑴=0,

所以“(&)=g(W)+g(2-W)>0,g(2f)>-g(±)=g(xj,

而g(x)在上单调递增，所以2-*2>x，xt+x2<2;

设丽左竽4)=舒肛

所以F⑺单调递减，且以1)=0,F(/)<0,

/\

/、三—1In强..

所以尸上<。，即口<—皿，哇

⑴三+12/+占2

%

所以」!二_<上土土<1

加"lnw-lnX|2'

所以乙一MvIn%—In%,即占一In9v为一Inxi.

所以/(%)</&).

【点睛】

本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函

数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利

用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清

晰明确.

4.⑴最大值为e-l,最小值为1；

(2)堂;

【解析】

【分析】

(1)求得利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最

值即可；

(2)分离参数并构造函数〃(x)=F，求其在区间上的值域即可求得参数的范

围；

(3)根据不々是g(x)的极值点，求得不法〃的等量关系以及取值范围，等价转

化目标不等式，且构造函数Mx)=21nx+'”(,T),0<x<2,对参数进行分类讨

论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.

⑴

当左=1时，〃x)=e*-x,/(X)=e*-1,令人x)=0,解得x=0,

当xe(T,,0)时，单调递减，当x«0,l)时,“X)单调递增；

X/(-l)=l+l,/(O)=l,/(l)=e-l,且

故〃力在卜1,1］上的最大值为e-1,最小值为1.

(2)

1X

令/(x)=e*=0,因为xw-,2,则x#0,故氏=一，

-2」x

令/z(x)=7,xe；,2

X

故当》叫，［，〃(x)单调递减，当xe(l,2),/z(x)单调递增，

又八⑴=e，(与=2五,〃(2)=；e2,且人⑵>

故用力的值域为e,1e2,则要满足题意，只需丘e；l2.

即人(x)的取值范围为:eie2.

⑶

/ci/、八。82x2-3x+a

因为g(x)=2x--;-8O11nx,g(x)=2+———=-------------，

XXXX

因为g(x)有两个极值点片，W，故可得64-8a>0,玉+々=4,中2=]>0,

也即0<"8,且％+/=4,XJX2=—.

因为办<々，故不£(0,1)D(L2)，

则晋“画一项，即当/>中(4一用)一(…)[,

因为4-%>0,故上式等价于当^+即R21n再+“』二I>0,

1-玉1-x,西

又当xe(O,l)时，人>。，当xe(l,2)时，氏<。，

22

A/、ni(x-1)m.|、/、nvc+2x+/z?

令〃7(x)=21nx+—------^,0<xv2，贝U机(幻=----己-------，

XX

当加20时，*(x)>0,故而(x)在(0,2)单调递增,又，〃⑴=0,

故当XG(0,1)时,w(x)<0,当XG(1,2)时,w(x)>0,故不满足题意;

当"?<0时，令〃(％)=蛆2+2x+m,

若方程〃(x)=0对应的*=4-4帆240时，即mV-1时，加(x)4的加(力单调递减,

又加(1)=0,故当xe(O,l)时，m(x)>0,当xe(l,2)时，/n(x)<0,满足题意;

若♦=4-4/>0,即-1<加<0时，又^=〃(力的对称轴》=-■->1,且开口向下，

又〃⑴=2加+2>0,不妨取Z>=min},金，

故当xe(l,/?),m'(x)>0,m(x)单调递增,又二⑴=0,

故此时〃?(x)>0,不满足题意，舍去；

综上所述：，"的取值范围为(-T.

【点睛】

本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；

其中第三问中，合理的处理当，々，。以及m多变量问题，以及构造函数，是解决

本题的关键，属综合困难题.

5.(1)(1,+<»)

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

(1)求导后根据题意解不等式

(2)化为相同形式，构造函数根据单调性判断

⑴

El3f(x)=I"+%+1,且函数f(x)在x=2处的切线斜率小于-)，

知八2)=2：：；“\)+1<彳,解得。>1.

故。的取值范围为。，”)

⑵

由⑴可知(a-l)lne与(e-l)lna均为正数.

要比较(a-Dlne与(e-l)ln。的大小，可转化为比较萼与半的大小.

e-1a-\

构造函数9(幻=如：(％>1),则_1-x一巾,再设，"(x)=l-'-lnx,则

xT*⑺一(xf)2x

m'(x)=A,

x~

从而机(x)在(1,-HO)上单调递减，此时加(x)<加⑴=0,

故0(x)<0在(1,+8)上恒成立，则<p(x)=处B在(1,+<»)上单调递减.

X-I

综上可得，

当a£(l,e)时，m_l)lne<(e_l)ln〃

当o=e时，(t?-l)lne=(e-l)lntz

当qw(e,+co)时，(a-l)lne>(e_1)lna

6.(1)g+8)

(2)(-00，-1]

【解析】

【分析】

(1)求出导函数r(x)=e，+?根据〃*)在(-8,0)上单调递减，可得

_f(x)=e,+}0在E0)上恒成立，分类参数可得心-x©在(』0)上恒成立，令

g(x)=-x-e',(x<0),利用导数求出函数g(x)的最大值即可得解；

(2)将已知不等式转化为aln(-x){+lW0对Vxe(y,0)恒成立，令

〃(x)=aln(r)-，+l,(x<0),在对。分类讨论，求出人(另的最大值小于等于0,即

可求出答案.

⑴

解：r(x)=e'+q,

因为/(X)在(-»,0)上单调递减，

所以广(x)=e'+240在(f,0)上恒成立,

即aW-x-ev在(-8,0)上恒成立,

令g(x)=_x-e\(尤<0),

贝Ug，(x)=-et-xeA=-(x+l)ev,

当x<-l时，g'(x)>0,当-l<x<0时，g<x)<0,

所以函数g(x)在(e，-l)上递增，在(TO)上递减，

所以g(xLx=g(T)=:，

所以。的取值范围为

⑵

解：由/(幻4/'(可得aln(-x)+142,

即aIn(-x)-2+140对Vxw(—8,0)，恒成立，

令Mx)=aln(-x)-@+l,(x<0),

xaaa(x+l),，八

h(x)=-+-^-=―丁，,(x<0),

当a=0时,〃(x)=l,不满足/i(x)40；

当a>0时，x<-l时，"(x)<0,-1<x<0时，//(x)>0,

所以函数Mx)在(F，-l)上递减，在(TO)上递增，

所以〃(4n=M-l)=a+l>0,不符合题意；

当a<0时，x<-l时，///(%)>0,-l<x<0时，〃(x)<0,

所以函数［7(x)在(―，-1)上递增，在(T0)上递减，

所以Mx)胸=〃(T)=a+14。，解得。4一1，

综上所述，a的取值范围(7>,-小

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问

题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求出函数“X)的导数，由/'(司=()分离参数并构造函数，求解其值域作答.

(2)将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可

推理作答.

⑴

依题意，/(x)=，-空左，由/'3=0得：_1="空=1=任*,

cixxaxxax

令g(x)=任二"，2Vx<3,贝l」d(x)=(『一:+1时>0,即火划在(2,3)上单调递

XX

增，

2)3

当2。<3时，夕⑵<夕(幻<奴3),即/〈Mx)〈年，

由/(X)在(2,3)上存在零点，则方程_L=攵七在(2,3)上有根，因此有

ax

e212e3々万夕曰32

>解倚力<。<¥，

2。32ee

32

所以O的取值范围是：

(2)

函数/(X)的定义域为(。收)，当。冷时，/(x)<0«—>0,

eaxxx

令g(x)=^-，x>o,求导得：g，(x)="e(：-2),当0<x<2时，g\x)<0,当

xX'

x>2时，g'(x)>0,

即函数g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+◎上单调递增，当x=2时，

ae24e21

g(x)min=^(2)=-，

4c4e

令〃(©=电二x>0,求导得：h\x)=--9，当0<x<e时，/iz(x)>0,当x>e

xx~

时，如)<0,

即函数〃⑴在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，当X=e时，

〃(为max=〃(e)=L

e

因此，Vx>0,g(x)>g(.x)>-=/z(x)>h(x),而g(x)的最大值与〃(x)的最小值

minenra

不同时取得，

即上述不等式中不能同时取等号，于是得：vx>o,g(x)>a(x)成立，即

aexInx八*

------>0成乂，

x~x

所以/(x)<0.

【点睛】

思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究

函数的单调性、求最值等解决.

8.(1”=1

(2)(-8$

⑶/

【解析】

【分析】

(1)先求导后求出切线的斜率，(0)=0,然后求出直线上该点的坐标即可写出

直线方程；

(2)根据函数的单调性和最值分类讨论；

(3)分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.

⑴

解：由题意得：

f(x)=e'(ax2-x+\+2ax-\)-e'(^2+2ax-x)

/(0)=0,/(0)=l

故曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线的方程y=1.

⑵

由(l)得要使得/(X)在x=0处取得极大值，/a)在X<O时应该/(x)>0,/(X)

在x>0时应该f(x)<0,

f(x)=xe*(ar+2a-l)

故①a<0且口<0,解得a<0

a

—>0,解得0<":

a2

当a=0时，f\x)=-xex,满足题意；

当〃=；时，/(x)=lx2e\不满足题意；

综上：。的取值范围为(-8,；).

⑶

11

-->-

可以分三种情况讨论：①②（）<。22

1-2〃一2〃

若avo,/（X）在（-8,j）上单调递减，在（一£,0）单调递增，在（（）,+«））上单调递

aa

减，无最小值；

若0<a<g时，当x<0时，x趋向-oo时，/（x）趋向于0；当x>0,要使函数取得

存在最小值/（j）=e『a（曰尸-口+l]=ae『4a-l）V0,解得Ova©,故

aaa4

%=上必处取得最小值，故。的取值范围（01.

若“2；时，/（X）在x趋向-00时，/（X）趋向于0,又/（0）=1故无最小值；

综上所述函数/（X）存在最小值，a的取值范围（0，；.

9.（1）单调减区间为（0,1）,单调增区间为（1,内）

（2）a<0或a=2e

【解析】

【分析】

（1）求导，因为函数f（x）再X=1处取得极值，所以/'（1）=0,解得“，进而

可得函数/⑴的解析式，再求导，分析函数f（x）的单调性.

（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数

的最值情况，从而求得答案.

⑴

/（x）=arlnx—2x,（x>0）,

f\x）=a\nx+a-2,

因为函数/（x）在x=l处取得极值，

所以r（l）=alnl+a-2=0,

所以4=2,

所以/（x）=2xlnx-2x,f\x）=2\nx,

故当o<x<i时，所以ra）<o,函数单调递减，

当x>l时，/WX）,函数单调递增，

所以函数Ax）在x=l处取得极小值，所以实数”的值为2,

函数/⑴的单调减区间为（0,1）,单调增区间为（1,内）.

⑵

当。=0