2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【课件】

第1课时双曲线的定义、方程与性质目录CONTENTS12课时跟踪检测考点分类突破PART1考点分类突破课堂演练双曲线的定义及标准方程【例1】

（1）已知定点

F

1（－2，0），

F

2（2，0），

N

是圆

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一点，点

F

1关于点

N

的对称点为

M

，线段

F

1

M

的中

垂线与直线

F

2

M

相交于点

P

，则点

P

的轨迹是（

）A.椭圆B.

双曲线C.抛物线D.

圆解析：如图，连接

ON

，由题意可得｜

ON

｜＝1，且

N

为

MF

1的中点，又

O

为

F

1

F

2

的中点，所以｜

MF

2｜＝2.因为点

F

1关于点

N

的对称点为

M

，线段

F

1

M

的中垂线与直线

F

2

M

相交于点

P

，由垂直平分线的性质可得｜

PM

｜＝｜

PF

1｜，所以｜｜

PF

2｜－｜

PF

1｜｜＝｜｜

PF

2｜－｜

PM

｜｜＝｜

MF

2｜＝2＜｜

F

1

F

2｜，所以由双曲线的定义可得，点

P

的轨迹是以

F

1，

F

2为焦点的双曲线.

1

解题技法1.双曲线定义的应用（1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进

而根据要求可求出曲线方程；（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结

合｜｜

PF

1｜－｜

PF

2｜｜＝2

a

，运用平方的方法，建立关

于｜

PF

1｜·｜

PF

2｜的方程.2.求双曲线标准方程的两种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，

列出参数

a

，

b

，

c

的方程（组）并求出

a

，

b

，

c

的值；（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出

a

的值，由

定点位置确定

c

的值.提醒

求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注

意分类讨论.也可以设双曲线方程为

mx

2＋

ny

2＝1（

mn

＜

0）求解.

1.已知圆

C

1：（

x

＋3）2＋

y

2＝1，

C

2：（

x

－3）2＋

y

2＝9，动圆

M

同时与圆

C

1和圆

C

2相外切，则动圆圆心

M

的轨迹方程为（

）

双曲线的几何性质考向1

双曲线的渐近线问题

解题技法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中

a

，

b

的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求

a

与

b

的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近

线方程.提醒

两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐

近线关于

x

轴，

y

轴对称.考向2

双曲线的离心率问题【例3】

（1）（2021·全国甲卷5题）已知

F

1，

F

2是双曲线

C

的两个

焦点，

P

为

C

上一点，且∠

F

1

PF

2＝60°，｜

PF

1｜＝3｜

PF

2｜，则

C

的离心率为（

）

A.双曲线

C

的实轴长为定值B.双曲线

C

的焦点在

y

轴上C.双曲线

C

的离心率为定值

双曲线模型的实际应用【例4】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：

正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间

比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.则该

巨响发生在接报中心的（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各

点均在同一平面上）（

）

解题技法利用双曲线模型解决实际问题的步骤（1）建立适当的坐标系；（2）求出双曲线的标准方程；（3）根据双曲线方程及性质解决实际应用问题（注意实际意义）.

（2024·濮阳模拟）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种

设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射

后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图，从双曲线

C

的右焦

点

F

2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过

左焦点

F

1.已知入射光线

F

2

P

的斜率为－2，且

F

2

P

和反射光线

PE

互相垂直（其中

P

为入射点），则双曲线

C

的渐近线方程为

⁠

⁠.2

x

＋

y

＝0和2

x

－

y

＝0

PART2课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

A.－2＜

m

＜1B.

m

＞1C.

m

＜－2D.

－1＜

m

＜2

12345678910111213141516171819202122232425262728

A.

y

＝±2

x

4.已知

F

1，

F

2为双曲线

C

：

x

2－

y

2＝2的左、右焦点，点

P

在

C

上，｜

PF

1｜＝2｜

PF

2｜，则cos∠

F

1

PF

2＝（

）

A.双曲线

C

的实轴长为8C.双曲线

C

的焦点到渐近线的距离为3

－1

B.3πD.4π

D.｜

PF

｜的最小值为2

±2

（1）用

a

表示｜

PF

1｜，｜

PF

2｜；

（2）若∠

F

1

PF

2是钝角，求双曲线的离心率

e

的取值范围.

B.3D.5

解：根据题意，道路

MN

段上的任意一点到景点

A

的距离比到景点

B

的距离都多16km，则道路

MN

所在的曲线是以定点

A

，

B

为左、右焦点的双曲线的右支，其方程为

x

2－

y

2＝64（8≤

x

≤10，0≤

y

≤6）.又由道路

NP

段上的任意一点到

O

的距离都相等，则道路

NP

所在的曲线为以

O

为圆心，

ON

为半径的圆，其方程

为

x

2＋

y

2＝64（－8≤

y

≤0）.故道路

M

-

N

-

P

对应的曲线方程为

MN

段：

x

2－

y

2＝64

（8≤

x

≤10，0≤

y