高考数 五高考真题分类汇编 第八章 平面解析几何 理

五年高考真题分类汇编：平面解析几何一、选择题1.（·湖南高考理）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)解析：选D本小题主要考查对称性和解析法，考查转化化归、数形结合等数学思想．以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)、P2(－x,0)与△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共线，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－4－x,\f(4,3)－4)，求得x＝eq\f(4,3).2．（·福建高考理）双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)【解析】选C本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(x,2)，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).3．（·辽宁高考理）已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0【解析】选C本题主要考查斜率的定义、两条直线相互垂直的条件的应用，意在考查分类讨论思想．若A为直角，则根据A，B的纵坐标相等，可得b＝a3；若B为直角，则由kOBkAB＝－1，得b－a3－eq\f(1,a)＝0，所以选C.4.（·安徽高考理）函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，则n的取值范围是()A．{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}解析：选B本题考查斜率公式，通过对问题的求解注意到数形是一个统一的整体．eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)的几何意义是指曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n为过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的取值为2,3,4，故选B.5.（·浙江高考理）如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)【解析】选D本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)①，点A的坐标为(x0，y0)．由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝eq\r(3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝3，,x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)＝4，))解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，又点A在双曲线上，代入①得，eq\f(8,3)b2－eq\f(1,3)a2＝a2b2③，联立②③解得a＝eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，故选D.6．（·重庆高考理）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5eq\r(2)－4B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2)D.eq\r(17)【解析】选A本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点Ceq\o\al(′,1)(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|Ceq\o\al(′,1)C2|＝5eq\r(2)，所以(|PM|＋|PN|)min＝5eq\r(2)－(1＋3)＝5eq\r(2)－4.7．（·新课标Ⅰ高考理）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x【解析】选C本题考查双曲线的标准方程和几何性质，意在考查考生对于双曲线的几何性质的熟练掌握和运算求解能力．解题时，先根据双曲线的标准方程判断出双曲线的焦点位置，再由双曲线的离心率的概念得到a，c之间的关系，再根据双曲线中a，b，c之间的关系转化为a与b之间的关系，从而求出其渐近线方程．因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.又离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，选择C.8．（·新课标Ⅰ高考理）已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1 C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】选D本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到a，b之间的关系，并由a，b，c之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)(x－3)，代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)＋b2))x2－eq\f(3,2)a2x＋eq\f(9,4)a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为eq\f(\f(3,2)a2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)＋b2)))＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选择D.9．（·新课标Ⅱ高考理）设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x【解析】选C本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．由已知得抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，AM→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，AF→·AM→＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.10.（·新课标Ⅱ高考理）已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【解析】选B本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，结合图形知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故答案为B.11．（·北京高考理）若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A.y＝±2xB．y＝±eq\r(2)xC.y＝±eq\f(1,2)xD.y＝±eq\f(\r(2),2)x【解析】选B本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±eq\r(2)x.12．（·北京高考理）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3)B．2 C.eq\f(8,3)D.eq\f(16\r(2),3)【解析】选C本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力．由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))dx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x3,12)))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3).13．（·江西高考理）过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)【解析】选B本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB.所以当sin∠AOB＝1，即OA⊥OB时，S△AOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin45°＝eq\f(\r(2),2).设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－eq\r(2))，即kx－y－eq\r(2)k＝0，则有eq\f(\r(2),2)＝eq\f(|0－0－\r(2)k|,\r(k2＋1))，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－eq\f(\r(3),3).14．（·广东高考理）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于eq\f(3,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1【解析】选B本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.15．（·山东高考理）过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋解析：选A本题考查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识和基本方法，考查数形结合思想、一般与特殊思想、等价转化思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq\f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.16．（·山东高考理）抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)【解析】选D本题考查抛物线方程、双曲线的几何性质、直线方程、导数的几何意义等基础知识，考查方程思想，考查运算求解能力和逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(2y,p)＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.对函数y＝eq\f(1,2p)x2求导得，y′＝eq\f(1,p)x.设M(x0，y0)，则eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3)，即x0＝eq\f(\r(3),3)p，代入抛物线方程得，y0＝eq\f(1,6)p.由于点M在直线eq\f(x,2)＋eq\f(2y,p)＝1上，所以eq\f(\r(3),6)p＋eq\f(2,p)×eq\f(p,6)＝1，解得p＝eq\f(4,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).17．（·大纲卷高考理）椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【解析】选B本题考查椭圆的定义和不等式的性质．由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，则纵坐标为y＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(4－x2)，由PA2的斜率得：1≤eq\f(\r(3),2)×eq\r(\f(2＋x,2－x))≤2，即eq\f(2,\r(3))≤eq\r(\f(2＋x,2－x))≤eq\f(4,\r(3))，PA1的斜率为eq\f(\r(3),2)×eq\r(\f(2－x,2＋x))，所以PA1的斜率取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))，故选B.18．（·大纲卷高考理）已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA→·MB→＝0，则k＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【解析】选D本题考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积等知识．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为y＝k(x－2)，将直线方程与y2＝8x联立组成方程组，解得x1x2＝4，x1＋x2＝eq\f(4k2＋8,k2)，由MA→·MB→＝0即(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，求得关于k的二次方程为k2－4k＋4＝0，解得k＝2，故选D.19．（·湖北高考理）已知0＜θ＜eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,cos2θ)－eq\f(y2,sin2θ)＝1与C2：eq\f(y2,sin2θ)－eq\f(x2,sin2θtan2θ)＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【解析】选D本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\r(\f(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1),a\o\al(2,1)))＝eq\r(\f(cos2θ＋sin2θ,cos2θ))＝eq\f(1,cosθ)，双曲线C2的离心率e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2),a\o\al(2,2)))＝eq\r(\f(sin2θ＋sin2θtan2θ,sin2θ))＝eq\r(1＋tan2θ)＝eq\r(1＋\f(sin2θ,cos2θ))＝eq\f(1,cosθ)，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cosθ，虚轴长为2b1＝2sinθ，焦距为2c1＝2eq\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1))＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sinθ，虚轴长为2b2＝2sinθsinθ，焦距为2c2＝2eq\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))＝2eq\r(sin2θ＋sin2θtan2θ)＝2tanθ，所以A，B，C均不对，故选D.20．（·四川高考理）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)【解析】选B本题考查抛物线的焦点、双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，意在考查考生的基本运算能力．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，所以所求距离为eq\f(\r(3),2)，故选B.21．（·天津高考理）已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．3【解析】选C本题考查双曲线、抛物线的几何性质，意在考查考生等价转化的能力．因为双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以b＝eq\r(3)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，与抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)相交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，所以△AOB的面积为eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，又p＞0，所以p＝2.22．（·北京高考文）双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率大于eq\r(2)的充分必要条件是()A．m>eq\f(1,2)B.m≥1C．m>1D.m>2【解析】选C本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．依题意，e＝eq\f(c,a)，e2＝eq\f(c2,a2)>2，得1＋m>2，所以m>1，选C.23．（·重庆高考文）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3【解析】选B本题主要考查直线与圆的相关内容．|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.24．（·重庆高考文）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\f(2\r(3),3)，2B.eq\f(2\r(3),3)，2C.eq\f(2\r(3),3)，＋∞D.eq\f(2\r(3),3)，＋∞【解析】选A本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k>0)必须满足eq\f(\r(3),3)<k≤eq\r(3)，易知k＝eq\f(b,a)，所以eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2≤3，eq\f(4,3)<1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2≤4，即有eq\f(2\r(3),3)<eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)≤2.又双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以eq\f(2\r(3),3)<e≤2.25．（·安徽高考文）直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D.4eq\r(6)【解析】选C本题主要考查直线与圆的相交弦长问题，意在考查考生的运算求解能力和数形结合思想．依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝eq\r(5)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|1＋4－5＋\r(5)|,\r(5))＝1，所以结合图形可知弦长的一半为eq\r(r2－d2)＝2，故弦长为4.26．（·山东高考文）抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平等于C2的一条渐近线，则p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)【解析】选D本题主要考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力．由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,2p)))，则利用求导得切线的斜率为eq\f(t,p)＝eq\f(\r(3),3)，p＝eq\r(3)t.易知抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，则点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)t,2)))，(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(\r(3)t,6)))共线，所以eq\f(0－\f(\r(3)t,2),2－0)＝eq\f(\f(\r(3)t,6)－\f(\r(3)t,2),t－0)，解得t＝eq\f(4,3)，所以p＝eq\f(4\r(3),3).27．（·大纲卷高考文）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】选C本题主要考查椭圆方程及几何性质．设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(b2,a)))，因|AB|＝eq\f(b2,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,a)))＝eq\f(2b2,a)＝3，即2b2＝3a，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b2＝3a，,a2－b2＝c2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.28．（·大纲卷高考文）已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA→·MB→＝0，则k＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【解析】选D本题主要考查抛物线的定义、几何性质、平面向量的垂直关系，以及考查数形结合的思想、转化的思想．如图所示，设F为焦点，取AB中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由MA→·MB→＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－eq\f(1,kMF)＝2.29．（·福建高考文）双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)【解析】选B本题主要考查双曲线的图像与性质以及点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．双曲线x2－y3＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为eq\f(\r(2),2).30．（·新课标Ⅱ高考文）设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)【解析】选D本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq\r(3)m，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3).法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|PF2|＝eq\f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，变形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．31．（·新课标Ⅱ高考文）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)【解析】选C本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力及对知识综合应用的能力．法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|MB|,|MA|)，即eq\f(m,3m)＝eq\f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．法二：由|AF|＝3|BF|可知AF→＝3FB→，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－xA＝3x0－1，,－yA＝3y0，))从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,0)＝4x0，,－3y02＝44－3x0，))解得x0＝eq\f(1,3)，y0＝±eq\f(2,\r(3))，所以kl＝eq\f(y0－0,x0－1)＝±eq\r(3).32．（·浙江高考文）如图F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)【解析】选D本题主要考查椭圆与双曲线的定义、几何性质等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况，以及基本的运算和求解能力．由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2eq\r(3))2，∴a＝eq\r(2)，∴e＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).33．（·新课标Ⅰ高考文）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x【解析】选C本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程等基本知识．∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴y＝±eq\f(1,2)x.34．（·新课标Ⅰ高考文）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为()A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．4【解析】选C本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力．由题意知抛物线的焦点F(eq\r(2)，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4eq\r(2)，所以xP＝3eq\r(2)，代入抛物线方程求得yP＝2eq\r(6)，所以S△POF＝eq\f(1,2)·|OF|·yP＝2eq\r(3).35．（·天津高考文）已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)【解析】选C本题主要考查直线与圆的位置关系，考查平面上两条直线垂直的条件，意在考查考生的等价转化能力．由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以eq\f(2－0,2－1)＝a，解得a＝2.36.（·湖北高考文）已知0<θ<eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解析】选D本题主要考查双曲线的标准方程及其几何意义，考查考生对双曲线方程的理解认知水平．由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1.37．（·陕西高考文）已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】选B本题主要考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的应用．由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，则直线与圆O相交．38．（·江西高考文）已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5)B．1∶2C．1∶eq\r(5)D．1∶3【解析】选C本题主要考查抛物线的定义、标准方程等基础知识，考查数形结合思想与分析、解决问题的能力．过点M作MM′垂直于准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知|MM′|＝|FM|，所以eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝sin∠MNM′，而∠MNM′为直线FA的倾斜角α的补角．因为直线FA过点A(2,0)，F(0,1)，所以kFA＝－eq\f(1,2)＝tanα，所以sinα＝eq\f(1,\r(5))，所以sin∠MNM′＝eq\f(1,\r(5)).故|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5).39．（·四川高考文）抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是()A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(3)D．1【解析】选D本题主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质、点到直线的距离公式，意在考查数形结合思想．抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是d＝eq\f(2－0,2)＝1，选D.40．（·四川高考文）从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)【解析】选C本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－eq\f(b,a)＝－eq\f(b2,ac)，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，即该椭圆的离心率是eq\f(\r(2),2).41．（·广东高考文）垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋eq\r(2)＝0【解析】选A本题主要考查直线与直线、直线与圆的位置关系等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的运算求解能力．因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为eq\f(|－b|,\r(2))＝1，所以b＝eq\r(2).42．（·广东高考文）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1【解析】选D本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝3.43．（·辽宁高考文）已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0解析：选C本题主要考查斜率的定义、两条直线相互垂直的条件的应用，意在考查分类讨论思想．若A为直角，则根据A，B的纵坐标相等，可得b＝a3；若B为直角，则由kOBkAB＝－1，得b－a3－eq\f(1,a)＝0，所以选C.44．（·辽宁高考文）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，则C的离心率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,7)C.eq\f(4,5)D.eq\f(6,7)【解析】选B本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝eq\f(10,14)＝eq\f(5,7).45．（·重庆高考理）对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】选C易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．46．（·重庆高考理）设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－eq\f(1,x))≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为()A.eq\f(3,4)πB.eq\f(3,5)πC.eq\f(4,7)πD.eq\f(π,2)解析：选DA∩B表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S1＝S2，S3＝S4.因此A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半即为eq\f(π,2).47．（·山东高考理）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2).双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1【解析】选D因为椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，c2＝eq\f(3,4)a2，c2＝eq\f(3,4)a2＝a2－b2，所以b2＝eq\f(1,4)a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1，即eq\f(x2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝eq\f(5x2,4b2)＝1，所以x2＝eq\f(4,5)b2，x＝±eq\f(2,\r(5))b，y2＝eq\f(4,5)b2，y＝±eq\f(2,\r(5))b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(eq\f(2,\r(5))b，eq\f(2,\r(5))b)，所以四边形的面积为4×eq\f(2,\r(5))b×eq\f(2,\r(5))b＝eq\f(16,5)b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1.48．（·四川高考理）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4D．2eq\r(5)【解析】选B依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋eq\f(p,2)＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2eq\r(2))，|OM|＝eq\r(22＋8)＝2eq\r(3).49．（·陕西高考理）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解析】选A把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交．50．（·天津高考理）设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－eq\r(3)，1＋eq\r(3)]B．(－∞，1－eq\r(3)]∪[1＋eq\r(3)，＋∞)C．[2－2eq\r(2)，2＋2eq\r(2)]D．(－∞，2－2eq\r(2)]∪[2＋2eq\r(2)，＋∞)解析：选D由题意可得eq\f(|m＋n|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤eq\f(m＋n2,4)，解得m＋n≤2－2eq\r(2)或m＋n≥2＋2eq\r(2).51．（·湖南高考理）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1【解析】选A根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.52．（·大纲卷高考理）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】选C由eq\f(a2,c)＝4,2c＝4，得c＝2，a2＝8，b2＝a2－c2＝8－4＝4，所以椭圆的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.53．（·大纲卷高考理）已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)【解析】选C因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2eq\r(2)，|PF1|＝4eq\r(2)，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝eq\f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).54．（·北京高考理）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()A．5B．7C．9解析：选C假设eq\f(Sm,m)是eq\f(Sn,n)的最大值，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率是所有点中与O(0,0)连线的斜率的最大值，观察可知Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率最大．答案为C.55．（·浙江高考理）如图，F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)【解析】选B不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，因此有交点P(－eq\f(a,a＋1)，eq\f(b,a＋1))，Q(eq\f(a,1－a)，eq\f(b,1－a))，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(eq\f(a2,1－a2)，eq\f(b,1－a2))，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M因此有kMN＝eq\f(\f(b,1－a2)－0,\f(a2,1－a2)－3)＝－eq\f(1,b)，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝eq\f(2,3)，所以e＝eq\f(\r(6),2).56．（·福建高考理）已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.eq\r(5)B．4eq\r(2)C．3D．5【解析】选A∵抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为eq\f(|\f(\r(5),2)×3|,\r(1＋\f(5,4)))＝eq\r(5).57．（·安徽高考理）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)【解析】选C由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2eq\r(2))，则直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，可得B(eq\f(1,2)，－eq\r(2))，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f(1,2)×1×|yA－yB|＝eq\f(3\r(2),2).58．（·新课标高考理）设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)【解析】选C由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(eq\f(3,2)a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝eq\f(3,4).59．（·新课标高考理）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．8【解析】选C抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2eq\r(3))在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.60．（·浙江高考文）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)【解析】选B设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝eq\f(c,a)，椭圆的离心率e2＝eq\f(c,2a)，所以eq\f(e1,e2)＝2.61．（·湖北高考文）过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0【解析】选A两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的