高考数二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第二讲“4道”保分题专练卷(三) 文（以真题和模拟题为例 含解析）

“4道”保分题专练卷(三)1．(·陕西五校联考)已知向量m＝(sinx，eq\r(3)sinx)，n＝(sinx，－cosx)，设函数f(x)＝m·n，若函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称．(1)求函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最大值，并求出此时x的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)－g(A)＝eq\f(3,2)，b＋c＝7，△ABC的面积为2eq\r(3)，求边a的长．解：(1)由题意得f(x)＝sin2x－eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)－eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以g(x)＝－eq\f(1,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))，所以2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,6))).所以当2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(π,6)时，函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最大值为eq\f(1,2).(2)由f(A)－g(A)＝eq\f(3,2)，得1－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝eq\f(3,2)，化简得cos2A＝－eq\f(1,2)，又因为0<A<eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(π,3).由题意知S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(3)，解得bc＝8，又b＋c＝7，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)＝49－2×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝25.故所求边a的长为5.2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B­PC­A的正切值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE⊂平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即为二面角B­PC­A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又∵OE、AC⊂平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴BD＝AC＝2eq\r(2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD得PA⊥BC.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE得BE＝eq\f(2\r(5),3).在Rt△BOE中，OE＝eq\r(BE2－BO2)＝eq\f(\r(2),3).∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝3，即二面角B­PC­A的正切值为3.3．(·山东高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，))解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，当n＝1时，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；当n≥2时，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n).所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.又Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1)，两式相减得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).4．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2，…，8.从某厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品．(1)试分别估计该厂生产产品的一等品率、二等品率和三等品率；(2)从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得的2件产品等级系数都为8的概率．解：(1)由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．∴样本中一等品的频率为eq\f(6,30)＝0.2，二等品的频率为eq\f(9,30)＝0.3，三等品的频率为eq\f(15,30)＝0.5，故估计该厂生产产品的一等品率、二等品率和三等品率分别为0.2,0.3,0.5.(2)样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件．记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能情况为：(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，P1)，(C1，P2)，(C1，P3)，(C2，C3)，(C2，P1)，(C2，P2)，(C2，P3)