专题23 导数及其应用大题综合- 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国用）

专题23导数及其应用大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1切线方程及其应用（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷2022·天津卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全国乙卷、2020·北京卷、2020·全国卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·山东卷、2017·北京卷、2016·北京卷2016·北京卷、2016·全国卷、2015·重庆卷2015·全国卷、2015·天津卷、2015·山东卷2015·北京卷1.能理解导数的几何意义并会求切线方程，会求参数2.理解函数的单调性与导数之间的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间，能够利用导数解决与函数单调性的综合问题，该内容是新高考卷的必考内容，近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。3.能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值，体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系，该内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习4.能进行函数转化证明不等式，会函数中的恒成立问题与有解问题，会求零点及其应用，会隐零点、双变量、极偏等内容的学习，都可能成为高考命题方向考点2具体函数及含参函数的单调性（10年6考）2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷2018·全国卷考点3含参函数的单调性（10年10考）2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·浙江卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2018·天津卷、2018·全国卷、2017·全国卷2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷2017·全国卷、2016·山东卷、2016·四川卷2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷2016·四川卷、2016·全国卷、2015·江苏卷2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·四川卷、2015·北京卷考点4极值最值及其应用（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷2021·全国乙卷、2020·北京卷、2019·全国卷2019·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷2017·江苏卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·北京卷、2016·山东卷、2016·天津卷2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷2015·山东卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·山东卷、2015·全国卷考点5证明不等式（10年9考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷、2019·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷2015·全国卷、2015·湖北卷、2015·福建卷2015·北京卷考点6恒成立与能成立（有解）问题（10年9考）2024·天津卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷2021·天津卷、2020·山东卷、2020·全国卷2019·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷2015·四川卷、2015·山东卷、2015·湖南卷2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷考点7零点问题（10年8考）2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅱ卷2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·全国卷2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·全国卷2015·江苏卷、2015·全国卷、2015·全国卷2015·陕西卷、2015·北京卷考点8方程的根（10年4考）2022·浙江卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全国甲卷、2019·全国卷、2018·江苏卷考点09双变量问题（10年6考）2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全国卷2015·湖北卷考点10隐零点问题（10年4考）2023·全国甲卷、2017·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷考点11极值点偏移问题（10年4考）2022·全国甲卷、2019·天津卷2016·全国卷、2015·天津卷考点12导数与其他知识点联动问题（10年4考）2024·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷考点01切线方程及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；2．（2024·天津·高考真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；6．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；7．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求函数在处的切线方程；8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；10．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；11．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：12．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．14．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；15．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．16．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；17．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；18．（2018·北京·高考真题）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；19．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；20．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：；（III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.21．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.22．（2017·山东·高考真题）已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；23．（2017·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；24．（2016·北京·高考真题）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；25．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；26．（2016·全国·高考真题）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；27．（2015·重庆·高考真题）设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；28．（2015·全国·高考真题）已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；30．（2015·山东·高考真题）设函数.已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；31．（2015·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；考点02具体函数的单调性1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；6．（2020·全国·高考真题）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；7．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，求的单调区间；考点03含参函数的单调性1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；4．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；5．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；7．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；8．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；9．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；11．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．12．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；13．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；14．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；15．（2017·全国·高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；16．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；17．（2017·天津·高考真题）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；18．（2017·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；19．（2017·全国·高考真题）设函数.（I）讨论函数的单调性；20．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；21．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）讨论f(x)的单调性；22．（2016·全国·高考真题）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；23．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.24．（2016·山东·高考真题）已知．（Ⅰ）讨论的单调性；25．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（1）讨论f(x)的单调性；26．（2016·全国·高考真题）设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；27．（2015·江苏·高考真题）已知函数.（1）试讨论的单调性；28．（2015·重庆·高考真题）设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围．29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；30．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；31．（2015·四川·高考真题）已知函数，其中.（1）设是的导函数，讨论的单调性；32．（2015·北京·高考真题）设函数，．（1）求的单调区间和极值；考点04极值最值及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．8．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．9．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．10．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．11．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．12．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.13．（2019·江苏·高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．14．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．15．（2018·北京·高考真题）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.16．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．17．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．18．（2017·山东·高考真题）已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.19．（2017·江苏·高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b²>3a;（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．20．（2017·全国·高考真题）已知函数．（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．21．（2017·山东·高考真题）已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.22．（2017·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．23．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.24．（2016·天津·高考真题）设函数x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）=|f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于.25．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数的单调性，并证明当>0时，(2)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.26．（2015·重庆·高考真题）已知函数在处取得极值．确定a的值；若，讨论的单调性．27．（2015·重庆·高考真题）设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围．28．（2015·山东·高考真题）设函数，其中.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范围.29．（2015·湖南·高考真题）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立.30．（2015·安徽·高考真题）设函数.（Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记，求函数在上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.31．（2015·山东·高考真题）设函数.已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.32．（2015·全国·高考真题）已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.考点05证明不等式等证明问题1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．3．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．5．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．6．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．7．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．8．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．9．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．10．（2017·全国·高考真题）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.11．（2016·浙江·高考真题）设函数=，．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．12．（2016·全国·高考真题）设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.13．（2015·全国·高考真题）设函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时.14．（2015·湖北·高考真题）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数．(1)求，的解析式，并证明：当时，，；(2)设，，证明：当时，．15．（2015·福建·高考真题）已知函数，（Ⅰ）证明：当；（Ⅱ）证明：当时，存在,使得对（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．16．（2015·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．考点06恒成立与能成立（有解）问题1．（2024·天津·高考真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的值；(3)若，证明．2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．7．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．8．（2020·山东·高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．9．（2020·全国·高考真题）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.10．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．11．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.12．（2017·全国·高考真题）设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当时，，求实数的取值范围.13．（2016·江苏·高考真题）已知函数.（1）设.①求方程=2的根；②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.14．（2016·全国·高考真题）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.15．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（3）如果f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.16．（2015·四川·高考真题）已知函数，其中.（1）设是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.17．（2015·山东·高考真题）设函数，其中.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范围.18．（2015·湖南·高考真题）函数，记为的从小到大的第个极值点．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）若对一切恒成立，求的取值范围．19．（2015·湖南·高考真题）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立.20．（2015·福建·高考真题）已知函数，（Ⅰ）证明：当；（Ⅱ）证明：当时，存在,使得对（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．21．（2015·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．考点07零点问题1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．4．（2020·浙江·高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．5．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．6．（2020·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．7．（2020·全国·高考真题）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．10．（2018·浙江·高考真题）已知函数．（1）若在处导数相等，证明：；（2）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．11．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．12．（2017·全国·高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.13．（2016·江苏·高考真题）已知函数.（1）设.①求方程=2的根；②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.14．（2016·北京·高考真题）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.15．（2016·全国·高考真题）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.16．（2015·江苏·高考真题）已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.17．（2015·全国·高考真题）设函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时.18．（2015·全国·高考真题）已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．19．（2015·陕西·高考真题）设（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.20．（2015·北京·高考真题）设函数，．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．考点08方程的根1．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．5．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.6．（2018·江苏·高考真题）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．考点09双变量问题1．（2024·天津·高考真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的值；(3)若，证明．2．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）3．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调