高等应用数学 课件 1.4 无穷小与无穷大

无穷小与无穷大

无穷小的性质

无穷小的比较§1-4无穷小与无穷大内容提要无穷小一1．无穷小的概念引例1【电容器放电】电容器放电时其电压随时间的增加而逐渐减少并无限趋近于0。引例2【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少，当清洗次数无限增大时，衣物上的污渍量就会无限趋近于0。当然，为了保护您的身体健康，健康专家建议我们少用或者最好不使用洗涤剂。定义1在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量X称为无穷小量，简称无穷小，即变量X是这一变化过程中的无穷小例如，，所以为时的无穷小；再如

，所以为时的无穷小。解例1讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例2【手机销售】一款新手机上市，其销售量与时间的函数关系为：请预测长期的销售量。长期的销售量应理解为当时的销售量，即由此可见，随着时间的推移人们买此款手机的可能性将趋于零，故长期的销售量为无穷小。在自变量的同一变化过程中，无穷小满足以下性质：性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。性质2有限个无穷小的乘积是无穷小。性质3有界变量与无穷小的乘积是无穷小。2．无穷小的性质解例3求极限：（1）（2）（1）因为当时，x2为无穷小，而有界。所以，由性质3可知（2）因为当时，为无穷小，而有界。所以，由性质3可知3．函数极限与无穷小的关系在自变量的某一变化过程中，函数以

A为极限的充要条件是可以表示为极限A与一个无穷小的和，即定义2在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷大量，简称无穷大，记作。无穷大二1．无穷大的概念如果变量X取正值无限增大，则称变量X为正无穷大，记作

；如果变量X取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负无穷大，记作。解例4讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例5【银行存款】假设某人在银行存入10000元，银行的年利率为，试分析存款时间越长，本利和如何变化？由题设条件可得，t年后的本利和为随着存款时间越长，即时，本利和变为即当存款时间无限延长时，本利和将无限增大。2．无穷小与无穷大的关系在自变量的变化过程中，若变量X是无穷大，则是无穷小；反之，若变量X（）是无穷小，则是无穷大，即变量X（）是无穷小是无穷大例如，因为，所以。（1）若，则称α是比β高阶的无穷小，记作；定义3设

α与β是自变量在同一变化过程中的无穷小。无穷小的比较三1．无穷小比较的定义（2）若，则称α是比β低阶的无穷小；（3）若，则称α是比β同阶无穷小；（4）若，则称α是比β等阶无穷小，记作α～β；当时，下列函数之间为等价无穷小：2．等价无穷小的应用求型函数极限时，利用以上常见的等价无穷小替换可以使计算过程简化，结论如下：设自变量在同一变化过程中，无穷小，，若存在，则解例6问当时，与相比是什么阶的无穷小？所以，当时，。因为当时，与都是无穷小，且解例7求下列函数的极限：（1）（2）（3）（1）因为当时，，，所以（2）因为当