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文档简介

第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.2微积分基本定理

一、引例

二、变上限的定积分内容提要三、微积分基本定理

根据定积分的定义，求定积分的值是非常复杂的，下面我们通过讨论变速直线运动的路程函数与速度函数之间的联系，导出计算定积分的公式——牛顿—莱布尼兹公式．

一、引例

二、变上限的定积分

设函数f(x)

在区间[a,b]上连续，x

为区间[a,b]上的一点。由于

x∈[a

,

b]，f(x)

在[a,x]上仍连续，因此定积分存在。这个定积分的写法有一个不方便之处，就是

x

既表示积分上限，又表示积分变量。为避免混淆，我们把积分变量改写成t，于是这个积分就写成

对于其他的变限积分函数利用定积分的补充定义或定积分的可加性均可化为变上限函数．如．

定理1（原函数存在定理）若函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上可导，且其导数三、微积分基本定理

定理2如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，而F(x)

是f(x)

的一个原函数，则有上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。

微积分基本公式进一步揭示了定积分和不定积分之间的联系，它把定积分问题转化为求不定积分的问题，即定积分的值等于被积函数的任一原函数在积分区间上的增量.这给定积分计算找到了一条捷径，大大降低了定积分的计算复杂性.例3计算定积分解例4计算定积分解例5已知

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