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文档简介

§8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数

一、多元复合函数的导数

二、隐函数的导数内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、多元复合函数的导数在一元函数微分学中，我们已经学过复合函数的的“链式求导法则”，现在把它推广到多元复合函数的情形.回顾一元函数复合函数求导法则：

基本思想：将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。第一节多元函数MultipleFunction1.复合函数的中间变量为多元函数的情形

定理8.4.1如果函数

和

在点处的两个偏导数都存在，且其偏导数可用下列公式计算:，

处都存在偏导数，函数

在对应点

处具有连续偏导数，则复合函数

在点此运算法则称为二元复合函数求导的链式法则.二元复合函数变量间的依赖如图8.4.1所示.链式求导法则的函数变量之间的关系，可以类比于乘法原理和加法原理，观察从因变量到自变量的路径,不同类的路径用加法,同一路径的不同段之间用乘法．连线相乘分线相加图8.4.1例8.4.1设求和

解:例8.4.2设求和

解令

，则

，画出链式图，于是课堂练习设求和解画出链式图，于是2.复合函数的中间变量为一元函数的情形设

构成复合函数

，其变量间的依赖关系如图8.4.2所示.图8.4.2可导，函数

在对应点

处具有连续偏导数,

定理8.4.2如果函数

及

都在点

处则复合函数

在点处可导，则其导数可用下下列公式计算:导数

称为全导数.例8.4.3设求和

解:设

求全导数解:课堂练习3.其他情形处具有偏导数，

在对应点

处具有连续偏导数,

定理8.4.3设函数

在点

则复合函数

在点处两个偏导数存在，则其偏导数可用下列公式计算:，

二元复合函数变量间的依赖关系如图图8.4.38.4.3所示.例8.4.4设求和

解:第一节多元函数MultipleFunction二、隐函数的导数1.由方程确定的一元隐函数的导数．在一元函数微分学中，我们介绍了利用复合函数求导法求由方程所确定的一元隐函数的导数的的方法.下面根据多元复合函数微分法来导出由方程所确定的函数的导数的公式．将由方程所确定的隐函数代入该方程，得恒等式利用多元复合函数微分法,上述方程两端同时对求偏导，得若则2.方程所定的二元隐函数的偏导数．如果由方程确定了二元隐函数且连续及将代入则有恒等式利用多元复合函数微分法,上述方程两端分别对求偏导，得由于故例8.4.5求由方程所确定的隐函数的两个偏导数和解:设则有所以例8.4.6求由方程所确定的隐函数的偏导数所以解法一利用多元复合函数微分法，两端对求偏导，得则有解法二则有所以例8.4.7已知隐函数由方程所确定，求和解:设则有所以1.多元复合函数的导数（1）会利用二元复合函数的链式法则求偏导（2）会

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