高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用学案文新人教A版

第九节函数模型及其应用2019考纲考题考情1．三种函数模型性质比较2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。一、走进教材1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy－则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析根据x＝，y＝－，代入计算，可以排除A；根据x＝，y＝，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意。故选D。答案D二、走近高考2．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何。”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))当z＝81时，x＝________，y＝________。解析因为z＝81，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝11。))答案8113．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析因为eq\f(M,N)＝eq\f(3361,1080)>0，所以lgeq\f(M,N)＝lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈。所以eq\f(M,N)≈1093。故选D。答案D三、走出误区微提醒：①对三种函数增长速度的理解不深致错；②建立函数模型出错；③计算出错。4．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)解析由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)。故选B。答案B5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)。1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件 B．18万件C．22万件 D．9万件解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值。故选B。答案B6．一个容器装有细砂acm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细砂量为y＝ae－btcm3，经过8min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________min，容器中的细砂只有开始时的八分之一。解析当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，所以e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的细砂只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的细砂只有开始时的八分之一。答案16考点一用函数图象的变化刻画变化过程【例1】(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确。从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大。故选A。答案A当根据题意不易建立函数模型时，根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。【变式训练】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是()A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗10L汽油D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1L汽油，行驶里程都超过5km，则A错误。对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错误。对于C选项：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，则C错误。对于选项D：速度在80km/h以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对。答案D考点二已知函数模型的实际问题【例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。解(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2。(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10(x－6)2))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6。从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)。于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点。所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。3．利用该模型求解实际问题。【变式训练】某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝…为自然对数的底数，k，b为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是______h。解析依题意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝eq\f(48,eb)＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，所以e11k＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)(舍去)，于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(h)。答案24考点三构建函数模型的实际问题微点小专题方向1：构建二次函数模型【例3】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝x－x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．万元 B．11万元C．43万元 D．万元解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝x－x2＋2(16－x)＝－x2＋x＋32＝－0.1(x－eq\f(21,2))2＋×eq\f(212,4)＋32。因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元。故选C。答案C方向2：构建分段函数模型【例4】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数。当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年。(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式。(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值。解(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；当4<x≤20时，设v＝ax＋b，显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2)。故函数v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20。))(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，))当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝。所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为。即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米。方向3：构建指数函数、对数函数模型【例5】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶。国内生产总值从54万亿元增加到万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右。如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：3≈1.208)()A．万亿元 B．万亿元C．97万亿元 D．万亿元解析(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝