标准常态机率分配

第6章連續機率分配統計實例寶鹼公司是一家全球性的日用

品製造商，該公司的產品包括

清潔劑、嬰兒尿布、成藥、牙

膏、肥皂、漱口藥水和衛生紙

等。寶鹼的工業化學部門是油脂性

酒精的主要供應商，這種酒精

是從天然植物油(如椰子油)或石油裂解物抽取而成。該部門想要瞭解擴充此種酒精的生產設備之經濟風險及機會，因此他們請求寶鹼分析專家們的協助。經由問題的建構與分析，這些專家認為主要影響獲利的因素為石油和椰子原料成本的差價。連續機率分配6.1均勻機率分配6.2常態機率分配6.3二項機率的常態分配近似值6.4指數機率分配f(x)

x均勻xf(x)常態xf(x)指數對離散隨機變數而言，機率函數f(x)提供一特定隨機變數x所對應的機率值。對連續隨機變數而言，也有一種函數類似機率函數，稱為機率密度函數(probabilitydensityfunction)，亦以f(x)表示計算連續隨機變數的機率可說是計算區間之內任何隨機變數值的機率。連續機率分配f(x)

x均勻

x1

x2xf(x)常態

x1

x2

x1

x2指數xf(x)

x1

x2連續機率分配連續隨機變數的機率定義的另一個涵義是任何特定隨機變數值的機率值為0，因為f(x)圖形上任何一點所佔的面積為0，6.1節將介紹均勻機率分配以說明連續隨機變數的相關概念。6.1均勻機率分配

f(x)=1/(b–a)a

≤

x

≤

b

=0其他只要機率值與區間長度成比例時，此隨機變數即為均勻分配。均勻機率分配假設我們得到充分的飛行資料，並獲知飛行時間為120分鐘至140分鐘之內任一分鐘的機率都是相同的。飛行時間和機率密度函數可用均勻機率分配表示為均勻機率分配實例均勻機率分配實例圖6.1是此機率密度函數的圖形。在飛行時間的例子中，a＝120而b＝140。 均勻機率分配實例在飛行時間的例子中，其機率問題可以是：飛行時間介於120到130分鐘的機率為何？也就是P(120<x<130)是多少？由於飛行時間介於120到140之間，而且是均勻分配，我們可以說P(120<x<130)＝0.50。接下來，我們將說明此機率值可以利用介於x＝120到130的f(x)圖形下方面積求得(見圖6.2)。均勻機率分配實例均勻機率分配實例-以面積衡量機率首先考慮圖6.2中介於120至130間的f(x)圖形下方的面積，此區域是一個長方形，長為130－120＝10，而高為機率密度函數f(x)的值＝1/20，面積則為長×高＝10(1/20)＝10/20＝0.50。由f(x)圖形下方的面積及機率，可得知什麼結果？面積等於機率。事實上，對所有的連續隨機變數而言都是如此。一旦確認了機率密度函數f(x)，計算較小的x值到較大的x值之間的面積就可得到機率值。均勻機率分配實例-以面積衡量機率已知飛行時間的均勻機率分配，以及機率函數圖形下方的面積就等於機率，我們便可以回答關於飛行時間的機率問題。例如，飛行時間為128到136分鐘的機率是多少？區間的寬度是136－128＝8，高度則是f(x)＝120，所以，P(128≤x≤136)＝8(1/20)＝0.40。請注意P(120≤x≤140)＝20(1/20)＝1，也就是說機率密度函數下的總面積等於1。此一特性對所有的連續隨機變數皆成立，而且此特性可類比為離散隨機變數之機率總和等於1。對連續機率密度函數而言，任一x值的f(x)≥0也是必要的，這個條件亦可類比為離散隨機變數的f(x)≥0。均勻機率分配實例-以面積衡量機率處理連續隨機變數和離散隨機變數時，有兩個主要的不同點：我們不再說某一特定變數值的機率值，而以隨機變數值在某一區間的機率來替代。隨機變數在區間x至x的機率值，是機率密度函數在該區間的圖形下方的面積；也就是說一連續隨機變數在任何特定值時的機率是0，因為該點的面積在f(x)圖形下的總面積為0。Var(x)=(b-a)2/12E(x)=(a+b)/2均勻機率分配x的期望值x的變異數均勻機率分配實例應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間，我們可以得到：

標準差為變異數的正平方根，因此，σ＝5.77分鐘。評註對連續隨機變數而言，變數為任何特定值時的機率皆為零，因此P(a≤x≤b)＝P(a<

x<

b)，這說明了無論這個區間是否包含端點的隨機變數值，此區間的機率皆相同。為了更進一步顯現機率密度函數的機率不是高度，可以觀察下列的均勻機率分配：

在x值為0到0.5之間的機率密度函數高度為2，但機率值一定不會大於1。因此，我們不能視機率密度函數值為機率值。6.2常態機率分配常態機率分配(normalprobabilitydistribution)可以說是最重要的連續機率分配。常態機率分配的運用範圍很廣，諸如身高、體重、測驗的分數、科學測量、降雨量等等的隨機變數，都適合以常態分配來描述。身高、體重常態機率分配的運用範圍很廣科學測量常態機率分配降雨量常態機率分配的運用範圍很廣測驗的分數常態機率分配常態機率分配常態機率密度函數

=平均數

=標準差

=3.14159e=2.71828其中:常態機率分配曲線是對稱的，常態分配的偏度為0。特性x常態機率分配不同的平均數μ和標準差σ可以形成不同的常態分配。特性標準差

s平均數mx常態機率分配常態曲線的最高點落在平均數，平均數同時也是分配的中位數和眾數。特性x常態機率分配特性-10020常態分配的平均數可以是任意數值：負、零或正的值，下圖是三個有不同平均數(−10,0,20)的常態曲線。x常態機率分配s=15s=25標準差可以決定曲線的寬度，標準差較大則曲線看起來較寬較扁平，這表示資料比較分散。x常態機率分配特性常態隨機變數的機率可以由曲線下方的面積求得。常態機率分配曲線下所涵蓋的總面積為1 。由於分配是對稱的，平均數以左的曲線下方的總面積是0.5，平均數以右的曲線下方的總面積也是0.5。特性.5.5x常態機率分配特性常態隨機變數落在離平均數±1個標準差內的機率為68.3%。常態隨機變數落在離平均數±2個標準差內的機率為95.4%。常態隨機變數落在離平均數±3個標準差內的機率為99.7%。常態機率分配特性xm–3sm–1sm–2sm+1sm+2sm+3sm68.26%95.44%99.72%常態機率分配當一個隨機變數具有常態分配且其平均數為0，標準差為1時，則稱此變數具有標準常態機率分配(standardnormalprobabilitydistribution)標準常態機率分配s=10z字母z常被用來代表這個特殊的常態隨機變數標準常態機率分配標準常態機率分配給定一z值，我們可以利用標準常態表求得機率(曲線下的區域)。標準常態機率分配標準常態機率分配標準常態機率分配實例標準常態隨機變數的z值如果從0到1，則其相對應的機率將是多少？也就是P(0.00≤z≤1.00)是多少？下圖中的陰影部分即為此面積或機率。標準常態機率分配實例表6.1內的值代表在標準常態分配下，常態曲線在平均數與另一已知z的正值間所形成的面積(可參照表6.1上方的圖示)。若要找z＝0與z＝1.00之間的面積，我們必須找出表中z＝1.00時所對應的值。先在左欄的z值中找到1.0的值，然後在最上方的橫列上找出0.00行，行與列交叉處的值為0.3413，如此，就可以找到所要計算的機率P(0.00≤z≤1.00)＝0.3413。下表為表6.1的部分資料，用來說明上述的程序。標準常態機率分配實例利用同樣方法，也可計算P(0.00≤z≤1.25)的值，首先找出左欄z值為1.2的橫列，然後向右移到0.05那一行，我們可以發現P(0.00≤z≤1.25)＝0.3944。標準常態機率分配實例再用另一個例子說明標準常態分配表的用法。我們來找介於z＝−1.00和z＝1.00的機率值，即P(−1.00≤z≤1.00)。首先可以注意到先前z＝0.00到z＝1.00的機率值為0.3413，而且常態機率分配是對稱的(symmetric)，所以z＝0.00到z＝−1.00與z＝0.00到z＝1.00有相同的機率值，因此z由−1.00到1.00的機率值為

P(−1.00≤z≤0.00)＋P(0.00≤z≤1.00)

＝0.3413＋0.3413＝0.6826

其面積如下圖所示。標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例同樣的道理，我們可以利用表6.1算出z值由−2.00至2.00的機率為0.4772＋0.4772＝0.9544，而z值由−3.00到3.00的機率則為0.4987＋0.4987＝0.9974。我們知道在連續隨機變數曲線下的總面積為1，所以機率為0.9972表示幾乎所有的z值都會落在−3.00與3.00之間。計算z值至少是1.58的機率，也就是計算P(z≥1.58)的值。首先，我們可以在表6.1中找到z＝1.5的列、z＝0.08的行，即P(0.00≤z≤1.58)＝0.4429。標準常態機率分配實例由於常態分配是對稱的，而且總面積等於1，以平均數為界，大於平均數與小於平均數的面積各佔50%。由於0.4429代表是由平均數到z＝1.58之間的面積，故z≥1.58的機率為0.5000－0.4429＝0.0571，其機率如下圖所示。標準常態機率分配實例若z值是−0.50或更大的值，則P(z≥−0.50)的機率是多少呢？在計算機率時，我們可以將機率寫成兩個機率的和：P(z≥−0.50)＝P(−0.50≤

z≤

0.00)＋P(z≥0.00)。先前已經知道P(z≥0.00)＝0.50，且也知道由於常態分配的對稱關係，使得P(−0.50≤z≤0.00)＝P(0.00≤z≤0.50)。參考表6.1，P(0.00≤z≤0.50)＝0.1915，因此P(z≥−0.50)＝0.1915＋0.5000＝0.6915，其面積如下圖所示。標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例計算z從1.00到1.58的機率值，亦即P(1.00≤z≤1.58)的值。在前幾個範例中，我們知道z從0.00到1.00的機率為0.3413，而且z從0.00到1.58的機率為0.4429，因此z從1.00到1.58的機率值將為0.4429－0.3413＝0.1016，即P(1.00≤z≤1.58)＝0.1016，此情況如下圖所示。標準常態機率分配實例最後，來看看z值應為何，才能使隨機變數大於z值的機率是0.10，狀況如下圖所示。標準常態機率分配實例回想表6.1的值是常態曲線在介於平均數到一特定z值之區間內的面積，現已知曲線右尾的面積為0.10，因此我們必須先求z值與平均數間的面積。由於大於平均數的面積為0.5000，故目標z值與平均數間的面積為0.5000－0.1000＝0.4000。我們檢視表6.1，發現0.3997最接近0.4000，下表即顯示此結果。標準常態機率分配實例從0.3997所對應出的z之行列值顯示z＝1.28*，因此在平均數與z＝1.28間的面積接近0.4000(實際為0.3997)，根據題目的要求，z值大於1.28的機率約為0.10。轉換成標準常態分配一個有平均數μ，標準差σ的常態分配隨機變數x轉換為標準常態z值的公式常態分配的機率計算方法常態分配的機率計算方法當x值等於平均數μ時z＝(μ－μ)/σ＝0。因此當x值等於平均數μ時，所對應的z值即平均數0。現在假設x值大於平均數一個標準差，也就是x＝μ＋σ時，運用式(6.3)，我們可以算出其對應的z值為z＝[(μ＋σ)－μ]/σ＝σ/σ＝1。因此，大於平均數一個標準差的值所對應的z值等於1，我們可以將z值解釋為常態隨機變數x距離其平均數μ的標準差個數。常態分配的機率計算方法看看如何利用此種轉換算出任何常態機率分配的機率值，假設有平均數μ＝10，標準差σ＝2的常態分配，隨機變數x介於10到14間的機率值為何？利用式(6.3)，可求得當x＝10時，z＝(x－μ)/σ＝(10－10)/2＝0且當x＝14時，z＝(14－10)/2＝4/2＝2。故欲求x介於10到14間的機率值，就等於在找z介於0到2之間的機率值。也就是說我們所要找的x值的區域面積，剛好等於平均數到距平均數兩個標準差間的面積，利用z＝2及表6.1可得機率值為0.4772，因此x介於10到14之間的機率為0.4772。Grear輪胎公司的問題現在來看一個常態機率分配的應用範例。Grear輪胎公司最近發展出一種新的輻射鋼圈輪胎，預計將透過全國性的連鎖商店進行銷售。由於該輪胎是新產品，Grear的經理們相信哩程保證將是顧客接受與否的重要因素之一。在還未訂定其哩程保證策略時，他們想先知道有關該輪胎的哩程測試資料。實際的道路測試中，Grear的工程師們估計平均的哩程數可達μ＝36,500哩，而標準差為σ＝5,000哩，而且資料也顯示哩程數呈常態分配，那麼輪胎能跑超過40,000哩的機率是多少？此問題可以利用圖6.6來解釋。Grear輪胎公司的問題當x＝40,000，我們得到

參考圖6.6的下方，x＝40,000時所對應的標準常態分配z值等於0.70。查表6.1，從平均數到z＝0.70的面積為0.2580。再看圖6.6，x介於36,500到40,000的Grear輪胎常態分配圖中的面積也是0.2580，因此0.5000－0.2580＝0.2420就是x超過40,000哩的機率，我們可以判定大約有24.2%的輪胎可以跑超過40,000哩。Grear輪胎公司的問題假設Grear公司想要提出一個哩程保證，若新輪胎未能達到此保證哩程，該公司就免費更換新的輪胎給顧客，那麼要訂定多少哩程數，才可使獲得優惠者不超過總數的10%？此問題可以用圖6.7表示。Grear輪胎公司的問題Grear輪胎公司的問題根據圖6.7，有40%的面積必須介於平均數和保證哩程數之間，由表6.1，機率值為0.4000的地方，我們可以看出此區域為小於平均數1.28個標準差，也就是z＝−1.28，此為其哩程保證的標準常態分配值，而相對於z＝−1.28的實際哩程數x為：

又μ＝36,500且σ＝5,000

x＝36500－1.28(5000)＝30100Grear輪胎公司的問題因此，哩程標準訂在30,100哩，約有10%的輪胎未達到此保固哩程數，或許Grear公司會根據此項資訊而將哩程標準訂在30,000哩。二項隨機變數則是n項試驗中成功的次數，二項機率關心的是n個試驗中成功次數x的機率。在試驗次數大於20，np>5以及n(1－p)>5時，使用常態分配可很容易地求出二項分配的近似值。6.3二項機率的常態分配近似值我們稱由12加減的0.5為連續校正因子(continuitycorrectionfactor)。因為要以連續分配來近似離散分配的值，因此要以連續校正因子校正之。離散的二項分配的機率值P(x＝12)可以利用連續的常態分配的P(11.5≤x≤12.5)來近似之。設

=np二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值將常態分配轉換為標準常態分配以計算P(11.5≤x≤12.5)。我們可以利用下列的式子：

由表6.1，我們可以找到介於10到12.5的曲線下方的面積是0.2967。同樣的，我們可以知道介於10到11.5的曲線下方的面積是0.1915。因此，介於11.5到12.5之間的面積是0.2967－0.1915＝0.1052(見圖6.8)。在100次試驗中，12次成功的常態分配近似值是0.1052。二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值如果我們想知道100張發票中，13張(含)以下有錯誤的機率。圖6.9是近似此二項分配機率的常態分配。請注意，使用連續校正因子的結果是，我們要以13.5來求近似機率。對應於x＝13.5的z值是

表6.1顯示，在標準常態分配曲線以下介於0到1.17之間的面積是0.3790。圖6.9中以常態曲線來求13的二項機率近似值，也就是100張發票中，13張(含)以下有錯誤的機率是陰影的部分，機率是0.3790＋0.5000＝0.8790。二項機率的常態分配近似值車輛到達洗車場的時間間隔貨車裝貨時間公路路面損壞的間隔距離SLOW6.4指數機率分配一個常被用來描述完成工作所需時間的連續機率分配是指數機率分配(exponentialprobabilitydistribution)指數隨機變數可以用來描述如指數機率分配指數機率密度函數

其中:

=平均數

e=2.71828forx

>0,

>0指數機率分配指數機率分配同其他連續機率分配，分配曲線下的區段面積決定