山西省晋城市陵川县2024-2025学年高二数学上学期开学检测试题含解析

考生留意∶本试卷共有两道大题，时间120分钟，满分为150分．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分.1~10为单选，11、12为多选）1.为所在平面内一点，当成立时，点P位于（）A.△ABC的AB边上B.△ABC的BC边上C.△ABC的内部D.△ABC的外部【答案】D【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则，推断选项.【详解】，如图，依据平行四边形法则，可知点P在的外部．故选：D2.（）A.1 B.−1C.i D.−i【答案】D【解析】【分析】依据复数除法法则进行计算.【详解】故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解实力，属基础题.3.下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若，则当且仅当时，为纯虚数；③则；④；⑤若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】依据复数的概念，逐项推断，即可得到结果.【详解】复数(为实数)，当时可以比较大小，当时，不能比较大小，故①错误;复数，当为实数且时，为纯虚数，故②错误;若,则，但不成立，故③错误;只有当时，有，故④错误;若，则，不是纯虚数，故⑤错误.综上可知，有0个命题正确.故选：A.4.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A.α内有多数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出推断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内随意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最简洁犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．5.某中学有中学生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从中学生中抽取70人，则n为()A.100 B.150C.200 D.250【答案】A【解析】【详解】试题分析：依据已知可得：，故选择A考点：分层抽样6.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，再计算体积得到答案.【详解】如图所示：用两个完全相同几何体将题中几何体补成一个圆柱，则圆柱的体积为，故所求几何体的体积为10π.故选：D.【点睛】本题考查了几何体的体积，用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱是解题的关键.7.有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】每个同学参与的情形都有3种，故两个同学参与一组的情形有9种，而参与同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A8.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（）A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心【答案】C【解析】【分析】设点在平面上的射影为，利用已知条件，证明，从而得到，由此推出结论．【详解】设点作平面的射影为，连接，∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴，∵底面，，，，∴∴所以为三角形的外心．故选：C．9.甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.【详解】用事务A,B,C分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则,,,且.∴此密码能被译出的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查相互独立事务概率计算，考查对立事务概率计算，属于基础题.10.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢-局就获得冠军，乙队须要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据已知中的竞赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，其次场取胜，由独立事务概率的乘法公式和互斥事务概率加法公式，我们分别求出两种状况的概率，即得解【详解】甲要获得冠军共分为两个状况：一是第一场就取胜，这种状况的概率为一是第一场失败，其次场取胜，这种状况的概率为则甲获得冠军的概率为故选：D11.若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（）A.a平行于α内的有限条直线B.α内有多数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.α内存在多数条直线与a成90°角【答案】BCD【解析】【分析】依据直线与平面平行的性质即可推断.【详解】因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，选项A错误；选项B，C，D正确.故选：BCD.12.在中，角、、的对边分别为、、，且满意，则下列结论可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简得出，结合角的取值范围以及正弦定理可得出结论.【详解】因为，所以，，所以，，即.所以，或，，或.故选：AD.第II卷（非选择题共90分）二、填空题∶本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点，()，试求当点在第三象限时，的取值范围________．【答案】【解析】【分析】设，由坐标运算可用表示，结合点在第三象限可得不等式组，解不等式组可得．【详解】设，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∵点在第三象限，∴，解得，故答案为：.14.如图，设平面,点,直线与交于点,且，当在之间时,______.【答案】【解析】【详解】直线与相交，过于可作一平面，设为，由且点所在的平面，故有两平面平行的性质，，，即，故答案为.15.在正方体中，点是底面的中心，过点作一条直线与平行，设直线与直线的夹角为，则____．【答案】【解析】【分析】依据题意，易证，依据异面直线成角的概念可知角即为或，设正方体的棱长为，在中利用余弦定理，即可求出，进而求出的值.【详解】如图所示，设正方体的表面的中心为，连接，由中位线定理，可得，所以直线即为直线，角即为或；设正方体的棱长为，则,则.故答案为：.16.设复数，满意，，则=__________.【答案】【解析】【分析】方法一：令，，依据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数所对应的点为,,依据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而依据复数的减法的几何意义用几何方法计算.【详解】方法一：设，，，，又，所以，，.故答案为：.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴.【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解实力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解三、解答题∶（每小题10分共70分）17.设两个向量满意，，的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】依据两向量夹角为钝角可知，由数量积的运算律可求得的范围；又时不合题意，由，可构造方程求得；综合可得结果.【详解】设向量与的夹角为，向量与的夹角为钝角，，，解得：；当时，也有，设，，由不共线得：，解得：；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】易错点点睛：本题考查依据两向量夹角范围求解参数范围的问题，易错点是忽视两向量夹角为时，两向量数量积依旧小于零，由此造成范围求解错误.18.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，依据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，依据选择的条件进行分析推断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后依据选择的条件进行分析推断和求解.【详解】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件冲突.【点睛】在处理三角形中边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围．19.在奥运学问有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运学问的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的.(Ⅰ）求乙答对这道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为，由对立事务概率关系和相互独立事务概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；（Ⅱ）设丙答对这道题的概率，由相互独立事务概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事务的概率公式，求得答案.详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事务,设乙答对这道题的概率，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事务.由题意，并依据相互独立事务同时发生的概率公式，得解得，所以，乙对这道题的概率为(Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事务,丙答对这道题的概率.由（Ⅰ），并依据相互独立事务同时发生的概率公式，得,解得甲、乙、丙三人都回答错误的概率为因为事务“甲、乙、丙三人都回答错误”与事务“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事务，所以，所求事务概率为点睛：本题主要考查相互独立事务的概率乘法公式，对立事务的概率关系，解题时要仔细审题，留意相互独立事务和对立事务的辨析.20.如图所示，平面角为锐角的二面角-EF-β，A∈EF，AG，∠GAE=45°，若AG与β所成角为30°，求二面角a-EF-β的大小．【答案】【解析】【分析】作于点,作于点,连接,,分析可得是二面角的平面角,进而求解即可【详解】如图,作于点,作于点,连接,,因为,,,,平面,所以平面,所以,所以是二面角的平面角,又是与所成的角,所以,设,则,所以,故二面角的大小为,21.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产状况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.的分组企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：.【答案】(1)增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为；（2）平均数；标准差.【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意确定个企业中增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．【详解】(1)由题意可知，随机调查的个企业中增长率超过的企业有个，产值负增长的企业有个，所以增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为．(2)由题意可知，平均值，标准差的平方：，所以标准差．【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获得所需信息的实力，考查学生的计算实力，是简洁题．22.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：(1)MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）连接AC,CD1，N为BD中点，N为AC中点，又因为M为AD1中点，MN//CD1MN//平面CC1D1D(2)连接BC1,C1D，B1BCC1为正方形，P为B1C中点，P为BC1中点，N为BD中点，PN//C1DPN//平面CC1D1D，且MN∩PN=N平面MNP∥平面CC1D1D.试题解析：证明：（1）连接AC,CD1，因为ABCD为正方形，N为BD中点，所以N为AC中点，又因为M为AD1中点，所以MN//CD1因为MN￠平面CC1D1D,CD1平面CC1D1D,所以MN//平面CC1D1D（2）连接BC1,C1D，因为B1BCC1为正方形，P为B