2025版高考数学一轮总复习4.4解三角形习题

.4解三角形基础篇固本夯基考点一正弦定理和余弦定理1.(2024课标Ⅲ,7,5分)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=(A.19B.13C.12答案A2.(2024课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=(A.42B.30C.29D.25答案A3.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满意sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A4.(2024云南玉溪一中模拟,10)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是()A.π6或2π3B.π3C.2π答案A5.(2024全国乙,15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

答案226.(2024届兰州西北师大附中期中,14)在△ABC中,AB=3,AC=1,且∠C=2π3,则BC=答案17.(2024届银川一中月考,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满意(2a-b)·sinA+(2b-a)sinB=2csinC.(1)求角C的大小;(2)若cosA=277,求sin(2A-C)解析(1)由已知条件及正弦定理可得(2a-b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b∵0<C<π,∴C=π3(2)由cosA=277,可得sinA=217,∴sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17,∴sin(2A-C)=sin2AcosC-cos2AsinC=437×8.(2024届山西长治其次中学月考,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAsinB=cos2C2,(c-3b)sinC=(a+b)·(1)求角A和角B的大小;(2)若△ABC的面积为3,求BC边上中线AM的长.解析(1)由已知条件及正弦定理可得(c-3b)c=(a+b)(a-b),即a2=b2+c2-3bc,所以cosA=32,所以A=30°.因为sinAsinB=cos2C2=1+cosC2,即sinB=1+cosC,又B+C=180°-A=150°,所以sinB=1+cos(150°-B)=1+cos150°cosB+sin150°sinB,整理得12sinB+32(2)由(1)知∠CAB=B=30°,则a=b,C=120°,∵S△ABC=12absinC=34a2=3,∴a=b=2,因为M为BC中点,所以CM=a2=1,在△ACM中,由余弦定理得AM2=b2+CM2-2b·CM·cosC=7,所以9.(2024天津,16,14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sinA的值;(3)求sin2A+解析(1)在△ABC中,由余弦定理的推论及a=22,b=5,c=13,得cosC=a2+b2-c22ab=2(2)在△ABC中,由正弦定理及C=π4,a=22,c=13,可得sinA=asinC(3)由a<c及sinA=21313,可得cosA=1-sin2A=31313,进而sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=2cos2A-1=513.所以,sin2A+π4=sin2Acosπ410.(2024课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.由题设知,所以sin∠ADB=25.由题设知,∠所以cos∠ADB=1-225=(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.11.(2024课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解析(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论得cosA=b2+c2-a2(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22考点二解三角形及其应用1.(2024届安徽淮南一中月考三,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=c,a2=2b2(1-3sinA),则A=()A.π6B.π4C.π3答案A2.(2024届湘豫名校联盟11月联考,8)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2ccosB=2a-b,且c=13,b=3,则△ABC的面积为()A.23B.33C.43D.63答案B3.(2024课标Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-A.π2B.π3C.π4答案C4.(2024全国名校联盟4月联考,9)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,(b+c)·sin(A+CA.30°B.45°C.60°D.120°答案A5.(2024山西康杰中学等四校4月联考,8)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=12(ab)2-a2+b2-c222.依据此公式,若acosB+(b-2c)·A.6B.23C.3D.32答案C6.(2024届河南段考三,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinA=13,cosB=45,a=5,则△ABC的面积为,其内切圆的半径为答案6+92;27.(2024届银川一中月考四,16)设点P在△ABC内且为△ABC的外心,∠BAC=30°,如图,若△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为12,x,y,则xy的最大值为答案18.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a2(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解析(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得1(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=a23sinA,又a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=339.(2017课标Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=15(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=417ac.又S△ABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×1710.(2024新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且满意b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.解析(1)2sinC=3sinA⇒2c=3a,∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cosA=b2+c2-a22bc=52+62-422×5×6=(2)由于c>b>a,故要使△ABC为钝角三角形,只能是C为钝角.cosC=a2+b2-c22ab<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3).考虑构成△ABC的条件,可得a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.综上,a∈(1,3).又a11.(2024北京,17,13分)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17条件②:cosA=18,cosB=9注:假如选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.解析若选条件①:(1)∵a+b=11,∴b=11-a,已知c=7,cosA=-17,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=(11-a)2+72-2×(11-a)×7×-17,解得a=8.(2)∵cosA=-17,∴sinA=1-cos2A=437.∵asinA=csinC,∴sinC=csinAa若选条件②:(1)∵cosA=18,∴sinA=1-cos2A=378.∵cosB=916,∴sinB=1-cos2B=5716.(2)由(1)可得b=11-a=5.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378×916+18×5716=74,∴S△ABC=1综合篇知能转换考法一利用正弦、余弦定理解三角形1.(2024长春二模,8)在△ABC中,C=30°,cosA=-23,AC=15-2,则AC边上的高为(A.52B.2C.5D.答案C2.(2024长春其次次质量检测,9)现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为5-1(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126°=()A.5-12B.5+12C.答案D3.(2024课标Ⅰ,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的平面绽开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

答案-14.(2024新高考Ⅰ,17,10分)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理的推论得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理的推论得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=3方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理的推论得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c25.(2024新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析(1)证明:在△ABC中,由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理可得BD·b=a·c,又b2=ac,所以BD·b=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b3,在△ABD中,cosA=AD2+AB2-BD22AD·AB=49b2+c2-b22×23bc=c2-59b243bc,在△ABC中,cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=b2+c2-a22bc.故c2-59b243bc=b2+c2-a22bc,化简得3c2-11b2+6a6.(2024黑龙江八校期中,18)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=3,且sinC-π6(1)求角C的大小;(2)若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求△ABC的面积.解析(1)∵sinC-π6cosC=14,∴32sinC-12cosCcosC=14,即34sin2C-14-14cos2C=14,化简得sin2C-π6=1,所以2C-π6=π2+2kπ,k∈Z,(2)由向量m与n共线得sinB-2sinA=0,即b-2a=0,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及已知得9=a2+4a2-4a2·12,∴a=3,b=23,∴△ABC的面积为12absinC=7.(2024届黑龙江龙东四校联考,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2b,cosC=13(1)求tanB;(2)若M为边AB上一点,AM=2MB,CM=59,求△ABC的面积.解析(1)由a=2b和正弦定理可得sinA=2sinB,因为sinA=sin(B+C),所以2sinB=sinBcosC+cosBsinC.因为sinC>0,cosC=13,所以sinC=1-cos2所以2sinB=13sinB+223cosB,又cosB≠0,所以tanB=sin(2)由tanB=在△ABC中,由正弦定理与a=2b得c=bsinCsinB=333b=336a,在△CMB中,MB=c3,CM=59,由余弦定理MB2+BC2-2MB·BC·cosB=CM2,得c32+a2-2·c3·a·cosB=59,所以3318a2+a2-2·3318a·a·533=59,所以59108a2=59,可得a=63,b=33,所以8.(2024届河南重点中学调研一,20)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=25a(1)若点A,B是函数f(x)=2sinπ3x+π3-1的图象在某个周期内的最高点与最低点,求(2)若角C的平分线与AB交于点D,且CD=5,求证:1a+1b=解析(1)由cosB=25a-7b25c及余弦定理的推论得a2+c2-b22ac=25a-7b25c,整理得a2+b2-c2=1425ab,则cosC=a2+b2-c22ab=725.易知f(x)=2sinπ3x+π3-1的最大值与最小值之差为4,最小正周期T=2ππ3=6,则c=AB=42+T22=5,于是得52=c2=a2+b2-1425ab≥2ab-1425ab=36(2)证明:因为cos∠ACB=725,CD为△ABC的角平分线,所以sin∠ACD=sin∠BCD=1-cosC2=35,所以由S△ACD+S△BCD=S△ABC得12b·CD·sin∠ACD+12a·CD·sin∠BCD=12absinC,即12b·5×35+12a·5×35=1考法二三角形形态的推断1.(2024湖北襄阳四中5月适应性模拟,4)小明要作一个三角形,使它的三条高的长度分别为113,111,15,则小明所作的三角形是A.不存在的B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案D2.(2024届兰州西北师大附中期中,5)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形态为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B3.(2024黑龙江省试验中学1月联考,10)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若sinA2cosA2=sinC,且a2=b2(1-2cosA)+c2(1+4cosA),则△ABC的形态是(A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D4.(2024河南名校联盟联考,14)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b2+c2=a2+bc,且cosBcosC+cosA=sin2A,则△ABC的形态是.

答案等边三角形5.(2024届山西长治其次中学月考,21)如图,A是两条平行直线l1、l2之间的一个定点,且点A到直线l1、l2的距离分别为AN=3,AM=1.设△ABC的另两个顶点C、B分别在l1、l2上运动,且满意AB<AC,ABcos∠ABC=(1)试推断△ABC的形态,并证明;(2)求1AB+3AC解析(1)直角三角形.证明如下:由ABcos∠ABC=ACcos∠ACB及正弦定理得sin∠ACBcos∠ABC=因为AB<AC,所以∠ACB<∠ABC,于是2∠ABC+2∠ACB=π,即∠ABC+∠ACB=π2,所以∠CAB=π2,故△ABC(2)设∠BAM=θ0<θ<π2,则在Rt△AMB中,AB=AMcos∠MAB=1cosθ,在Rt△ANC中,AC=ANcos∠NAC=3sinθ,故1AB+3AC=cosθ+sinθ=2sinθ+π考法三与三角形的面积、范围有关的问题1.(2024河南部分重点中学3月联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosA=(3b-a)cosC.若△ABC的面积为32,则c的最小值是()A.2B.23C.4D.12答案B2.(2024皖北教研联合体4月联考,10)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则b+ca的取值范围为A.(2+1,3+2)B.(2+1,3)C.(3,3+2)D.(3,+∞)答案A3.(2024届山西长治其次中学月考,12)在△ABC中,D、E分别是边AC、AB的中点,若BD⊥CE,则cosA的最小值为()A.45B.3C.23D.答案A4.(2024届黑龙江八校期中,16)已知在△ABC中,D、E分别是线段BC、AC的中点,AD与BE交于点O,且∠BOC=90°,若BC=2,则△ABC周长的最大值为

答案2+2105.(2024届江西十七校期中,16)在四边形ABCD中,AC2=AB·BC,B=π3,D为△ABC外一点,AD=3,CD=2,则四边形ABCD面积最大时角D=答案5π6.(2024云南4月统一检测,16)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b(b-3a)=1,c=1,则3a-b的取值范围为.

答案(1,3)7.(2024课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.解析(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB①.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA②.由①②得cosA=-12.因为0<A<π,所以A=2π(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=23sin(π-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+π3.又0<B<π3,所以当8.(2024课标Ⅲ理,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解析(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.因为sinA≠0,所以由A+B+C=180°,可得sinA+C2故cosB2=2sinB2cos因为cosB2≠0,故sinB2=12(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°-C由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12从而38<S△ABC<3因此,△ABC面积的取值范围是389.(2024届四川遂宁模拟,20)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B.(1)求C;(2)若△ABC为锐角三角形,且b=4,求△ABC面积的取值范围.解析(1)∵2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B,∴2-sin2C=sinAsinB+(1-sin2A)+(1-sin2B),∴sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,由正弦定理得a2+b2-c2=ab,又由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,∴cosC=12,∵C∈(0,π),∴C=π(2)∵△ABC是锐角三角形,又A=π-B-C=2π3∴0<B<π2,0<2π3-B<π2,∴π6<B<π2.由正弦定理可得a=bsinAsinB=4sin2π3-BsinB=23tanB+2,由三角形面积公式有S△ABC=12absinC=应用篇知行合一应用解三角形的实际应用1.(2024届山西怀仁一中期中,8生活实践情境)5G是中国的一张名片,据报道,中国在5G时代领先德国的时间至少在两年以上.某地为加强5G网络建设拟修建一信号塔.如图,线段AB表示信号塔,DE表示斜坡,DC⊥CE,且B,C,E三点在同一水平线上,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡DE的坡比为3∶7,CE=63米.某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°,站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°(人的身高忽视不计),则信号塔的高度AB约为()结果精确到1米,参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34,sin48°≈710,tan48°≈A.54米B.58米C.76米D.85米答案D2.(2024东北三省四市3月联考,10生活实践情境)圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,距今已有114年的历史,为哈尔滨的标记性建筑.1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物爱护单位,是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点,其中心主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领会它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为(153-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°,则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20mB.30mC.203mD.303m答案D(2024山东潍坊一模,16优化设计方案)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,∠