四川省成都市简阳市2024-2025学年高二数学上学期期中文试题含解析

Page16四川省成都市简阳市2024-2025学年高二数学上学期期中考试（文）试题一、填空题（每小题5分，共60分）1.已知椭圆9x2+4y2＝36，则其长轴长为（）A.2 B.4 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】依据椭圆的长轴定义即可求解．【详解】椭圆的标准方程为故a2＝9，b2＝4，∴椭圆的长轴为2a＝6故选：C．2.已知两直线与平行，则a等于（）A.-7或-1 B.7或-1 C.-7 D.-1【答案】C【解析】【分析】依据两直线与平行，得到，解得或，再进行验证，即可求解.【详解】由题意，两直线与平行，则满意，即，解得或当时，直线与平行，此时两直线重合，舍去；当时，直线与平行，满意题意,综上可得：.故选：C【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算实力.3.已知方程表示椭圆，则的取值范围为（）A.且 B.且C. D.【答案】B【解析】【分析】依据椭圆的标准方程可得，即得.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得且.故选：B.4.直线与圆的位置关系是A.相交且直线过圆心 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相离【答案】D【解析】【详解】圆心（1，-1）到直线3x+4y-14=0的距离为,所以直线与圆相离，故选;D5.若焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意得，再结合渐近线方程求解即可.【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，故双曲线的方程为，所以渐近线方程为，因为双曲线的离心率为，即，所以，所以渐近线方程为.故选：C6.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据直线方程求出直线的斜率，再由的范围即可求解.【详解】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤≤，因此k＝2cosα∈．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈．又θ∈[0，π)，且正切函数在上单调递增，在上为单调递增函数，结合正切函数的图像可知所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.7.过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（）A B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】依据直线与已知圆相切，探讨切线斜率状况，设切线方程并结合点线距离公式求参数，即可写出切线方程.【详解】由题设，圆的圆心为，半径为1，∴在圆外，明显是其中一条切线，当切线斜率存在时，设切线方程为，则，可得，∴切线方程为.综上，切线方程为或.故选：C8.动圆过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合圆相切时满意的条件以及双曲线的定义即可求出结果.【详解】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为．动圆与圆相切有两种状况，即内切或外切，当两圆相内切时，定圆在动圆的内部，此时，当两圆相外切时，此时，所以，即动点到两定点、的距离之差的肯定值为常数，且，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．故选：C.9.圆：关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程.【详解】因为圆，即，所以圆的圆心坐标为，半径为.圆心关于直线对称的点是，则，解得.则所求圆的方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算实力.10.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A. B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联马上可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算实力，是一道中档题.11.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线与椭圆交于两点，代入椭圆的方程，结合“平方差”法，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】设直线与椭圆交于两点，由，可得．又，所以，解得．因此直线的方程为，即。故选：A．本题主要考查了直线与椭圆的位置的应用，以及中点弦问题的求解，其中解答中熟记中点弦的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算实力，所以基础题.12.已知、分别为椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若为钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据为钝角三角形，得到，从而由求解.【详解】因为为钝角三角形，所以，即，即，即，即，又因为，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的实力，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.点到直线的距离等于______．【答案】7【解析】【分析】干脆由点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意知点到直线的距离为.故答案为：7.14.已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是________________．【答案】x－y＋3＝0【解析】【详解】易知点P在圆的内部，依据圆的性质，若使|AB|最小，则AB⊥CP，因为圆心C(0,1)，所以kCP＝＝－1，kl＝1，因此直线l的方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.15.过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知，设与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为，将点代入，即可求出，进而求出结果.【详解】依据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又过点，代入方程可得，因此双曲线方程为.故答案为:.16.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【详解】试题分析：在△MF1F2中，因为∠MF1F2=300，,F1F2=2c，所以MF1=，MF2=，由双曲线的定义得：,所以．考点：本题考查双曲线的定义和离心率．点评：本题干脆考查了双曲线的简洁性质及定义，属基础题．三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17.已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．（1）求直线的一般式方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；（2）依据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．【小问1详解】解：由题意知，解得，直线和的交点为；设直线的斜率为，与直线垂直，；直线的方程为，化为一般形式为；【小问2详解】解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为，由垂径定理得，解得，圆的标准方程为．18.求满意下列条件的曲线的标准方程：（1）两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）结合椭圆的定义求得，由此求得椭圆的标准方程；（2）分焦点在轴，轴探讨，结合条件即得.【小问1详解】因为椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为，又椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，∴，又∵，∴，∴所求椭圆的标准方程为；【小问2详解】当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，则，解得，所以双曲线的标准方程为；当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，则，解得，所以双曲线的标准方程为；所以双曲线的标准方程为或.19.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.【详解】（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为-3.又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即.（2）由，解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为.所以为矩形外接圆的圆心.又，从而矩形外接圆的方程为.【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并留意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必需存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采纳截距式，应留意分类探讨，推断截距是否为零；若采纳点斜式，应先考虑斜率不存在的状况．20.如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的中点．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点且斜率为直线被C所截线段的长度．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，，则，代入，整理得；（2）由题意可求得直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理法及弦长公式即得．【小问1详解】设点的坐标为，点的坐标为，由题可得，即，因为在圆上，得，故，整理得，故的方程为；【小问2详解】由点斜式知，过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，由，可得，所以，，故线段的长度为，所以直线被所截线段的长度为.21.已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.（1）求椭圆的方程.（2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据条件可得，，解出即可；（2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，，然后由算出答案即可.【小问1详解】由题意，，，解得，，因此椭圆的方程为；【小问2详解】证明：直线的方程为，设，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.由消去，得，易知，得，，所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.22.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，左焦点为，且过点.O为坐标原点，与的面积的比值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线，的斜率分别为，，若k为，，的等比中项，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由与的面积的比值为，得到，再将代入椭圆C的方程得到，结合，求得的值，即可求解；（2）联立方程组，得到，，依据，求得，再结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，因为与的面积的比值为，即，解得，即，将代入椭圆C的方程，可得，又由，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）设，，且，联立方程组，整理得，则，可得又由，，因为，，所以，所以，因为的斜率，的斜率，则把，代入上式并化简得，因为，所以，又因为，所以，当，时，，所以直线