解答题专项提分计划重庆市2025届新高考数学复习专题4统计与概率含解析

Page1专题4统计与概率解答题30题专项提分安排1．（2024·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预料）某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简洁随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i个贫困村中贫困户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入；(2)依据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数（精确到0.01）；(3)依据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚任务，精确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．参考公式：【答案】(1)1万元；(2)；(3)采纳分层抽样，理由见解析.【分析】（1）依据平均数公式即得；（2）依据相关系数公式即得；（3）依据分层抽样的概念即得.【详解】（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为:（万元）;（2）样本的相关系数：；（3）采纳分层抽样，理由如下：由（2）知，各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采纳分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更精确的脱贫验收估计．2．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预料）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公允性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成果采纳赋分制.赋分制在肯定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在肯定程度上削减了学科难度不一造成的分数差.2024年高考成果公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成果，其中地理成果均在（单位：分），将收集到的地理成果按分组，得到频率分布直方图如下.(1)求，并估计该校2024年高考地理科的平均成果；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)已知该校2024年全部参与高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成果不低于90分的占8%，若从该校2024年高考地理成果不低于90分的学生中任选1名代表进行阅历沟通，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事务的概率）.【答案】(1)，估计该校2024年高考地理科的平均成果为(2)【分析】（1）依据频率分布直方图结合全部频率和为1求，并依据加权平均数运算求解；（2）依据题意结合条件概率运算求解.【详解】（1）由题意可得：，解得，估计该校2024年高考地理科的平均成果为.（2）该校2024年全部参与高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事务A，“选到物理类考生”为事务B，“选到选考地理的考生”为事务C，则有，∴，记“选到高考地理成果不低于90分”为事务D，则，∴，故，若从该校2024年高考地理成果不低于90分的学生中任选1名代表进行阅历沟通，选到历史类考生的概率.3．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预料）依据社会人口学探讨发觉，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事务表示一个家庭有个孩子，事务表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)为了调控将来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教化､医疗福利的增加等）.①若希望增大，如何调控的值？②是否存在的值使得，请说明理由.【答案】(1)，；(2)①增加p的取值；②不存在，理由见解析.【分析】(1)依据条件概率计算方法求出，再依据即可计算求值；(2)①依据分布列的概率和为1得到与p的关系，构造函数，利用导数推断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可推断=α的单调性，从而得到结果；②依据分布列概率和为1及列出关于p的方程，推断方程是否有解即可．【详解】（1）由题意得：，所以，．由全概率公式，得，又，则；（2）①由，得，记，，则，记，则，故在单调递减．∵，∴，∴，在单调递减．因此增加p的取值，会减小，增大，即增大．②假设存在p使，又，将上述两式相乘，得，化简得，，设，则，则在单调递减，在单调递增，的最小值为，∴不存在使得．4．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预料）2024年9月3日，教化部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.依据调研结果数据显示，我国大中小学的健康状况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有肯定程度上升，高校生整体身体素养也有所下滑.某市为调研本市学生体质状况，采纳按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120(1)依据所给数据，完成下面列联表，并据此推断：能否依据小概率值的独立性检验下认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成果为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计(2)体质测试成果为优秀或良好则称体质测试成果为优良，以样本数据中男、女生体质测试成果优良的频率视为该市男、女生体质测试成果优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成果优良人数为，求的分布列及数学期望.0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：【答案】(1)表格见解析，可以认为该市学生体质测试达标与性别无关(2)分布列见解析，【分析】（1）依据题中的数据填写列联表，依据公式计算，再依据临界值表中数据比较大小，即可推断；（2）首先由题意得到男生体质测试优良率，女生体质测试优良率，，利用独立事务概率公式求概率，并写出分布列，计算数学期望.【详解】（1）达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计19202402160假设：该市学生体质达标与性别无关由题得列联表如下：χ2依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为该市学生体质测试达标与性别无关…（2）由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的全部可能取值为0，1，2，3，4.的分布列为：012345．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）某高校为了激励高校生自主创业，举办了“校内创业学问竞赛”，该竞赛决赛局有、两类学问竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类学问中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类学问挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，其次类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类学问挑战成功分别可获得万元和万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类学问的挑战成功率分别为、，且挑战是否成功与挑战次序无关.(1)若记为甲同学优先挑战类学问所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；(2)为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.【答案】(1)分布列答案见解析(2)优先选择挑战类学问，理由见解析【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；（2）记为甲同学优先挑战类学问所获奖金累计总额，计算出、的值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：由题意可知，的可能取值有、、，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：（2）解：记为甲同学优先挑战类学问所获奖金累计总额，甲同学优先挑战类学问所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类学问所获奖金累计总额的期望为，由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，则，，，所以，（元），（元），所以，，所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应当优先选择挑战类学问.6．（2024·重庆·统考一模）驾照考试新规定自2024年8月1日起先实施，其中科目一的考试通过率低成为热点话题，某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试，为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计，该驾校工作人员从2024年7月份该校首次参与科目一考试的新学员和8月份该校首次参与科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人，对他们首次参与科目一考试的成果进行统计，按成果“合格”和“不合格”绘制成列联表如下：合格不合格合计2024年7月202024年8月15合计附：.0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.789(1)完成题中的列联表，并推断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参与科目一考试的合格率有影响？(2)若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率，已知该地区在2024年7月和8月首次参与科目一考试的学员人数之比为2∶1，现从该地区在2024年7月和8月首次参与科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查，设抽到的两名学员中有X人首次参与科目一考试不合格，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)列联表见解析，能(2)分布列见解析，【分析】（1）依据题意和表中数据补全列联表，再结合独立性检验公式，即可求解.（2）依据已知条件，可分别求出7、8月份不合格率以及7、8月份首次参与考试的学员概率，从而可列出X的分布列，并求出数学期望.【详解】（1）由题得合格不合格合计2024年7月205252024年8月101525合计302050，∴可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参与科目一考试的合格率有影响.（2）由题可知，该地7月份不合格率为，8月份不合格率为，抽取7月份首次参与考试的学员概率为，抽取8月份首次参与考试的学员概率为X可能的取值为0，1，2X012P.7．（2024·重庆·统考一模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．(1)求频率分布直方图中实数a，b的值；(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望．【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）依据图表得，解出值，依据小矩形面积和为1可求得值；（2）首先求得总数为21种，求出其中有男生的概率为，求出有女生的概率为，再利用条件概率公式即可；（3）求出在各自区间的人数，设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,分计算，最终求出期望值.【详解】（1）由,解得,解得.（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，记任选2人有男生为事务,则，记任选2人有女生为事务,则，则.（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0,6.5)和的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在的人数为人.抽中的8人每天学习时问在的人数为人.设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则的分布列为:012的数学期望为.8．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预料）2024年3月23日“天宫课堂”其次课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互协作进行授课，中心广播总台面对全球进行现场直播．此次授课活动实行天地对话方式进行，由航天员在轨演示太空“冰雪”试验、液桥演示试验、水油分别试验、太空抛物试验，介绍与展示空间科学实施，皆在传播普及空间科学学问，激发广阔青年不断追寻“科学梦”实现“航天梦”的热忱．某校组织在校中学生观看学习“天宫课堂”，并对其中500名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为3：2．(1)求m，n的值（结果用分数表示）；(2)完成以下表格，并依据表格数据推断能否有的把握认为学生性别和有飞天宇航梦有关?有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计男女合计(3)在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人．若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635．【答案】(1)；(2)表格见解析，能；(3)分布列见解析，.【分析】（1）由题可得被调查的男女学生人数及有无飞天宇航梦的学生人数，进而即得；（2）由题可得，即得；（3）由题可得X的可能取值为1，2，3，然后利用古典概型求概率，可得分布列，再利用期望公式即得.（1）由题可知被调查的男女学生分别为300人，200人，男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，所以；（2）有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计男21090300女12080200合计330170500∴，所以有97.5%的把握认为学生性别和有飞天宇航梦有关；（3）依据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3．故X的分布列为X123P∴X的数学期望．9．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预料）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．假如每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，假如某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断接着下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)为验证抽样试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：t12345y23298604020求y关于t的回来方程，并预料成功的总人数（四舍五入精确到1）．附：阅历回来方程系数：，；参考数据：，，（其中，）．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2)，预料成功的总人数为465.【分析】(1)X的取值可能为1，2，3，分别求得随机变量取每一值的概率，得出分布列，由此可得数学期望；(2)令，则，由公式求得其回来方程并可得预料成功的人的总人数.(1)解：X的取值可能为1，2，3，所以；，所以X的分布列为：X123P所以数学期望为：；(2)解：令，则，由题知：，所以，所以，，故所求的回来方程为：，所以估计时，；估计时，，估计时，；预料成功的人的总人数为.10．（2024·重庆·统考三模）某寻宝嬉戏的棋盘路途图上，依次标有起点､第1站､第2站､…､第20站，选手通过抛掷匀称硬币，从起点（不同于第1站）依序向第1站､第2站､…､第20站前进：若掷出正面，棋子从所在站点前进到下1站停留；若掷出反面，棋子则从所在站点连续前进2站停留，直到到达第19站或第20站，嬉戏结束，设嬉戏过程中棋子停留在第站的概率为.(1)从嬉戏起先计算，若抛掷匀称硬币3次后棋子停留在第X站，求X的分布列与数学期望；(2)甲､乙两人约定：由裁判员通过不断抛掷硬币，让棋子从起点动身，并按上述规则依序前进，直到嬉戏结束.若棋子最终停留性第19站，则甲选手获胜；若棋子最终停留在第20站，则乙选手获胜.试分析这个约定对甲､乙两人是否公允.【答案】(1)分布列见解析，；(2)不公允【分析】（1）求出棋子所走站数之和X得可能取值及其概率，从而可得X得概率分布列和数学期望；（2）由题可得递推关系，比较即可得解.(1)由条件可知可能得取值为3，4，5，6，，，，，所以X的分布列为X3456pX的数学期望为：(2)由题知：当时，，所以，因为，所以，所以甲获胜的概率较大，嬉戏不公允.11．（2024·重庆涪陵·重庆市涪陵高级中学校校考模拟预料）为响应党中心“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，依据以往的阅历，随着温度的上升，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2024年种植的一批试验紫甘薯在温度上升时6组死亡的株数.温度/℃212324272930死亡数/株61120275777经计算，，，，，，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.(1)若用一元线性回来模型，求关于的阅历回来方程；(2)若用非线性回来模型求得关于的非线性阅历回来方程，且相关指数为.（ⅰ）试与（1）中的回来模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预料温度为35℃时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，；相关指数为：.【答案】(1)；(2)①；②192.【分析】（1）依据题意，利用最小二乘法即可求出回来方程；（2）①通过题意给的公式计算求出即可比较拟合效果；②依据题意干脆带入求值即可.（1）由题意可知，，∴关于的线性回来方程是；（2）①用指数回来模型拟合与的关系，相关指数，线性回来模型拟合与的关系，相关指数，则，∴用比拟合效果更好；②中，令，则，故预料温度为时该紫甘薯死亡株数约为192株.12．（2024·重庆·统考三模）甲､乙两人进行射击竞赛，一局竞赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局竞赛结束，各方击中目标的次数即为其本局竞赛得分，已知甲､乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局竞赛中，若甲先射击.(1)求甲､乙得分相同的概率；(2)设乙的得分为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）由题意可知，满意甲､乙得分相同有3种状况，分别计算概率后再求和即可；（2）依据甲先射击及一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止可得到可取，再分别求出概率即可求解分布列即期望.（1）由题意，①甲、乙第一次均未击中，则；②甲、乙第一次都击中，其次次均未击中，则；③甲、乙均击中两次，.所以.（2）由题意，可得可取.则，所以的分布列如下：01234的期望.13．（2024·重庆·重庆八中校考模拟预料）某商场打算在五一期间实行促销活动，依据市场调查，该商场确定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，随意选出3种商品进行促销活动.(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的某商品采纳的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m元的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？【答案】(1)；(2)100元.【分析】（1）求出任选3种商品的试验所含基本领件总数，利用古典概率公式结合对立事务求解作答.（2）依据给定条件，求出顾客3次抽奖所获奖金总额的期望，再列出不等式求解作答.（1）从2种服装，2种家电，3种日用品中，任选出3种商品一共有种选法，选出的3种商品中没有日用品的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.（2）顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X是一个随机变量，其全部可能值为0，m，2m，3m，当时，表示顾客在3次抽奖中都没有获奖，则有，同理，，，，因此，顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额的期望，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，即，解得，所以商场应将中奖奖金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有利.14．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预料）某公众号依据统计局统计公报供应的数据，对我国2015—2024年的国内生产总值GDP进行统计探讨，做出如下2015—2024年GDP和GDP实际增长率的统计图表．通过统计数据可以发觉，GDP呈现逐年递增趋势．2024年，GDP增长率出现较明显降幅，但GDP却首次突破100万亿．现统计人员选择线性回来模型，对年份代码x和年度实际GDP增长率进行回来分析．年份2015年2016年2017年2024年2024年2024年2024年年度GDP（亿元）688858.2746395.1832035.9919281.1986515.21015986.21143669.7年份代码x1234567GDP实际增长率7.06.86.96.76.02.38.1(1)用第1到第7年的数据得到年度实际GDP增长率关于年份代码x的回来方程近似为：，对该回来方程进行残差分析，得到下表，视残差的肯定值超过1.5的数据为异样数据．年份代码x1234567GDP实际增长率7.06.86.96.76.02.38.1GDP增长率估计值6.986.506.266.025.54残差0.020.400.74-0.022.56将以上表格补充完整，指出GDP增长率出现异样数据的年份及异样现象，并依据所学统计学学问，结合生活实际，推想GDP增长率出现异样的可能缘由；(2)剔除（1）中的异样数据，用最小二乘法求出回来方程：，并据此预料数据异样年份的GDP增长率．附：，【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【分析】（1）依据实际GDP增长率关于年份代码x的回来方程近似为：和残差的定义求解；（2）先求得，进而得到，写出回来直线方程求解.【详解】（1）解：年份代码x1234567GDP实际增长率7.06.86.96.76.02.38.1GDP增长率估计值6.986.746.506.266.025.785.54残差0.020.060.400.74-0.02-3.482.56由视残差的肯定值超过1.5的数据为异样数据，则2024年份估计值远远大于实际值，2024年份估计值远远小于实际值，由于2024年疫情经济受到很大的影响，实际增长下滑，2024年份，国家实行措施，刺激经济增长；（2）因为，，，所以，，所以回来直线方程为，当时，，当时，.15．（2024·重庆·统考模拟预料）冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场竞赛共10局，在每局竞赛中，每个团队由多名运动员组成，轮番掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，呈现动静之美，取舍之才智．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参与冰壶竞赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局竞赛不考虑平局．在该场竞赛中，前面已经竞赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率；(2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用独立事务的概率公式求解；（2）求出后面四局甲全胜和甲胜三局的概率即得解.【详解】（1）解：第六局乙方得分，所以第七局乙方先掷壶，甲方后掷壶，则第七局甲方得分概率为；第七局甲方得分，则第八局甲先掷壶，乙后掷壶，第八局甲方得分的概率为，所以第七局、第八局均为甲方得分的概率为.（2）解：前面已经竞赛了六局，双方各有三局得分，所以后面四局甲全胜或者甲胜三局.后面四局甲全胜，且第七局乙先掷壶，则概率为；后面四局甲胜三局，且第七局乙先掷壶，分为第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分，所以概率为则当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率为.16．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预料）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备限制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1），各元件之间相互独立.当限制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示限制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示限制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若，当k=2时，求限制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用表示E（Y）；（ii）设备升级后，若将该设备的限制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E（Y）.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为，.(2)（i）；（ii）当时，提高；当时，没有提高【分析】（1）结合二项分布的学问求得分布列、数学期望，从而求得.（2）（i）求得的分布列，从而求得.（ii）通过差比较法，对进行分类探讨，来分析能否提高.(1)因为，所以限制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以.所以，，，，所以限制系统中正常工作的元件个数的分布列为：限制系统中正常工作的元件个数的数学期望为..(2)（i）设备升级后，在正常运行状态下，单位时间内的利润为，所以的分布列为：设备运行概率所以.（ii）若限制系统增加个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，设原系统中正常工作的元件个数为，第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；其次类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作，其概率为；第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，其概率为.所以.所以，所以当时，，单调递增，即增加个相同元件，设备正常工作的概率变大；当时，，即增加个相同元件，设备正常工作的概率没有变大.因为，所以当时，提高；当时，没有提高.17．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预料）2024年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺当进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天学问，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的嬉戏，规则如下：不透亮的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮嬉戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，嬉戏过关，可领取纪念品，同时嬉戏结束，否则接着参与嬉戏．若第3轮后仍未过关，则嬉戏也结束．每位参与者只能参与一次嬉戏．(1)求随机变量X的分布列及数学期望；(2)若甲参与该项嬉戏，求甲能够领到纪念品的概率．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)【分析】（1）先得出随机变量X可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率．（1）由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，易知，，所以，则随机变量X的分布列如下：X123P0.30.60.1所以（2）由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，则；若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”、“”的情形，则；记“参与者能够领取纪念品”为事务A，则．18．（2024·重庆·校联考一模）某电视台举办“读经典”学问挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类接着回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮竞赛结束：否则该选手须要回答由最终一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答依次无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题接着回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答依次?请说明理由.【答案】(1)(2)甲按或依次，理由见解析【分析】（1）分甲选“B类问题并取得复赛资格”、“C类问题并取得复赛资格”两类所得概率求和得解.（2）因为甲回答A，B两类问题的概率相同，故只要ABC、ACB、CAB这三种回答依次.(1)甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，故所求概率为；(2)由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑、、这三种回答依次，按ABC依次回答，取得复赛资格的概率为，按ACB依次回答，取得复赛资格的概率为，按CAB依次回答，取得复赛资格的概率为，，故甲按或依次回答问题取得复赛资格的概率最大.19．（2024·重庆沙坪坝·重庆市天星桥中学校考一模）第24届冬奥会将于2024年2月4日至2月20日在北京实行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的实力，又要有由静转动的实力.20km男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．竞赛时，运动员单个动身，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击放射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成果的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，竞赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．(1)试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X的分布列及期望；(2)若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：，．）【答案】(1)分布列见解析；期望为1(2)【分析】小问1：依据二项分布求解即可；小问2：分状况探讨第一种状况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；其次种状况，甲击中4发子弹，乙击中0发，即可求解．(1)因为一轮射击中，共放射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟，所以一轮射击中，被罚时间X的值可能为0，1，2，3，4，5．，，，，，，所以X的分布列为X012345P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032依题意，被罚时间X满意二项分布，所以；(2)依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种状况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；其次种状况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为．20．（2024·重庆·统考一模）2024年8月，教化部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的看法》某校主动响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球米达标，女生投掷实心球米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，假如有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练，已知该校男生投掷实心球的距离听从正态分布，女生投掷实心球的距离听从正态分布（的单位:米）.(1)请你通过计算，推断该校学生是否还需加强实心球项目训练；(2)为提高学生考试达标率，该校确定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离听从正态分布，且.此时，请推断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到？并说明理由.（取的值为2.15）【答案】(1)须要加强(2)该校女生投掷实心球的考试达标率能达到，理由见解析【分析】（1）依据独立重复试验概率计算公式进行计算，从而作出推断.（2）通过计算达标率来进行说明.(1)依题意该校男生投掷实心球的距离听从正态分布，女生投掷实心球的距离听从正态分布，所以男生和女生的达标概率为，不达标概率为，所以从该校任选5名学生进行测试，假如有2人不达标的概率为，所以该校学生还需加强实心球项目训练.(2)，即，且，即，所以，，则女生达标率为.所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到.21．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预料）某种项目的射击竞赛，起先时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行其次次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若其次次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．(1)求选手甲在射击中得0分的概率；(2)设选手甲在竞赛中的得分为，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）先由在100m处击中目标的概率为求出，进而求出，，再利用相互独立事务同时发生的概率进行求解；（2）先写出的可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解.【详解】（1）解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事务、、，三次都没有击中目标为事务，则．设选手甲在m处击中目标的概率为，则．由m时，得，所以，，所以，．由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为．（2）解：由题设知，的可能取值为0，1，2，3．，，，．则的分布列为0123所以数学期望为．22．（2024秋·重庆·高三西南高校附中校考期中）某景区内有一项“投球”嬉戏，嬉戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，嘉奖游客面值20元的景区消费券；投进B桶，嘉奖游客面值60元的景区消费券；投进C桶，嘉奖游客面值90元的景区消费券；投不进则没有嘉奖.游客各次投球是否投进相互独立.(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应当选择向哪个桶投球更有利？说明理由.【答案】(1)(2)游客甲选择向B桶投球更有利，理由见解析【分析】（1）依据二项分布的概率公式求得，利用导数求得最大值点p0；（2）求出游客分别投进A，B，C三桶纯收入的数学期望，再比较大小，进行决策.【详解】（1）3次向A桶投球投进2次的概率..令，得.当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减，∴所以的最大值点.（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为.设投进A桶的纯收入为X元，；设投进B桶的纯收入为Y元，；设投进C桶的纯收入为Z元，；因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利.23．（2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）多年来，清华高校电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的探讨，2024年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入安排，该研发团队为须要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：206677020014460312500021500(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)（i）依据（1）的选择及表中数据，建立关于的回来方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预料下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回来直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：.【答案】(1)模型的拟合程度更好(2)（i）（ii）预料下一年的研发资金投入量是亿元【分析】（1）由题意计算相关系数,比较它们的大小即可推断；（2）（i）先建立关于的的线性回来方程,再转化为y关于的回来方程；(2)利用回来方程计算时x的值即可.【详解】（1）由题意进行数据分析：则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回来方程.由，得，即.由于所以关于的线性回来方程为，所以，则.（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，又所以，解得，所以预料下一年的研发资金投入量是亿元24．（2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）中国男子篮球职业联赛“简称CBA”半决赛采纳“五局三胜制”，详细规则为竞赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场竞赛，就由该方获胜而竞赛结束，每场竞赛都需分出输赢.同时竞赛采纳主客场制，竞赛先在A队的主场进行两场竞赛，再移师B队主场进行两场竞赛（有必要才进行其次场），假如须要第五场竞赛，则回到A队的主场进行，已知A队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，假设每场竞赛的结果相互独立.(1)第一场竞赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练激励自己的队员说“成功的天平已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度推断B队教练的话是否客观正确；(2)每一场竞赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主办方综合收益为，求的分布列与期望，【答案】(1)从概率大小的角度推断B队教练的话是客观正确的.(2)分布列见解析，万元.【分析】（1）计算B队获胜的状况的概率推断即可；（2）由题知的可能取值为，再计算概率求解分布列，期望即可.【详解】（1）由题知，B队获胜的状况有三种，第一种状况，竞赛三场获胜，其概率为；其次种状况，竞赛四场获胜，则其次场或第三场B队失败，故其概率为；第三种状况，竞赛五场获胜，则B队在其次场，第三场，第四场中赢得一场竞赛，第五场竞赛获胜，其概率为，所以，B队在第一场竞赛获胜的状况下，赢得竞赛的概率为，所以，从概率大小的角度推断B队教练的话是客观正确的.（2）由题知，至少举办3场球赛，至多举办5场球赛，所以的可能取值为，所以，当举办3场球赛时，A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，所以，；当举办4场球赛时，A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，，所以，，所以，的分布列为：所以，万元25．（2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）经国务院批准，自1998年起，每年9月第三周为全国推广一般话宣扬周（以下简称推普周）．今年9月12日至18日为第25届推普周，并以“推广一般话，喜迎二十大”为主题．某校在“二十大”前夕实行了推普学问竞赛，设置了甲、乙两类问题各2道，参赛者须要答完四道题．小明同学回答甲类每题的正确率为，回答乙类每题的正确率为，且各道题作答状况互不影响．(1)求小明两类问题各答对1道的概率；(2)求小明答对题目总数的分布列与期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）依据相互独立事务的概率乘法公式即可求解，（2）依据相互独立事务的乘法公式计算概率，即可得分布列，由期望公式可计算期望.【详解】（1）设表示甲类问题答对k道，表示乙类问题答对l道（，1，2，，1，2）所求概率为（2）ξ的全部可能值为0，1，2，3，4，且,故，，，．．综上知ξ的分布列为ξ01234P从而，ξ的期望为26．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预料）党的二十大报告提出：“必需坚持科技是第一生产力､人才是第一资源､创新是第一动力，深化实施科教兴国战略､人才强国战略､创新驱动发展战略，开拓发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推动企业数字化进程，确定对其核心系统DAP，实行逐年增加研发人员的方法以提升企业整体研发和创新实力.现对2024~2024年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2024~2024年）如下折线图：(1)依据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此推断其相关性的强弱；(2)试求出关于的线性回来方程，并预料2024年该公司的研发人数（结果取整数）.参考数据：当认为两个变量间的相关性较强参考公式相关系数，回来方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】(1)相关系数为0.988，相关变量有较强的相关性(2)，540人【分析】(1)将数据代入公式计算即可求解；(2)结合（1）和题中的数据，代入公式计算即可求解.【详解】（1）由题知因为，所以认为相关变量有较强的相关性.（2）由（1）得回来方程为当时，即2024年该公司投入研发人数约540人.27．（2024·重庆江北·校考一模）为了有针对性地提高学生体育熬炼的主动性，某中学须要了解性别因素是否对学生体育熬炼的常常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别熬炼不常常常常女生4060男生2080(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育熬炼的常常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生常常参与体育熬炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育熬炼的主动性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育熬炼的常常性有关系，理由见解析(2)(3)【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；（2）利用事务，利用条件概率求出答案；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.【详解】（1），故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育熬炼的常常性有关系；（2）设从这200人中随机选择1人，设选到常常熬炼的学生为事务A，选到的学生为男生为事务B，则，则已知选到的学生常常参与体育熬炼，他是男生的概率；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，设，则，所以，解得：，所以，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故第次传球后球在甲手中的概率为.28．（2024·重庆·校联考模拟预料）2024年2月6日，中国女足在两球落后的状况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方一直扑