高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 正态分布

7.5正态分步同步练习

一.选择题(共8小题)

1.2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知

数学考试成绩X~N(K)O,〃)(试卷满分为150分).统计结果显示数学考试成

绩在80分到120分之间的人数约为总人数的』，则此次统考中成绩不低于120

4

分的学生人数约为()

A.80B.100C.120D.200

2.已知随机变量X服从正态分布N(2,b?),且P((掇氏2)=0.3,则P(X>4)=(

)

A.0.6B.0.2C.0.4D.0.35

3.某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩JCeN)服从正态分布

N(1OO,102),已知P(9喷听100)=0.4,估计该班学生数学成绩在110分以上的人

数为()

A.20B.10C.7D.5

4.设随机变量J服从正态分布M2,9),若PC<2m+l)=P4>m-1),则实数小的

值是()

A.-B.-C.-D.2

333

5.已知随机变量$服从正态分布,若P©<4)=0.9,则P(-2<J<1)=(

)

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

6.随机变量4~2(〃,/),若尸(,1)=0.3,P(l<&<5)=0.4,则〃=()

A.1B.2C.3D.4

7.某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身

活动.经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数(单位：千步)的频

率分布直方图如图所示.据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服

从正态分布，计算得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内，该单位员工中

日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为()

附：若随机变量Z服从正态分布N(〃,cr2),则P(〃-b<Z<〃+cr)=0.6826,

-2cr<Z<//+2cr)=0.9544,-3<r<Z<fj+3cr)=0.9974.

A.103B.105C.107D.109

8.已知随机变量X服从正态分布N(5,l),若P(4<X„6)=0.6826,则尸(X..6)=(

)

A.0.3413B.0.3174C.0.1587D.0.1586

二.多选题(共2小题)

9.某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对

现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分

布N(200,224),则()

(附:5/224«14.97,若Z~N(〃,(T2),则-er<Z</z+er)=0.6826,

P(〃-2。<Z<〃+2a)=0.9544)

A.尸(185.03<Z<200)=0.6826

B.P(200,,Z<229.94)=0.4772

C.P(185.03<Z<229.94)=0.9544

D.任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约

为8185件

(*可2

10.已知三个正态分布密度函数尔幻I.......-C(XG/?,1=\,2,3)的图象如

\j27ra

图所示，则下列结论正确的是()

三.填空题(共4小题)

11.某年级有1000名学生，一次数学测试成绩J~N(1O5,IO2),P(95础105)=0.34,

则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为—.

12.若随机变量X~N(〃,cr2),P(X>4)=P(X<—2)=01，则P(啜k4)=.

13.一批电池(一节)用于无线麦克风的寿命服从均值为34.3小时，标准差为

4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用

不少于30个小时的概率—.

(参考数据：P(/J-a<X„ju+<7)=0.6826>P(/J-2<T<X„/./+2a)=0.9544)

14.随机变量X~N(2,/)，且尸(0<X<2)=0.3,P(X>4)=.

四.解答题(共4小题)

15.若X~N(〃,〃)，则X位于区域(〃，〃+司内的概率是多少？

16.若随机变量Z~N(O,1),且尸(一a<Z"a)=0.6,a>0,求a.

17.若随机变量X~N(0,l),查标准正态分布表，计算:

(1)尸(X<2.2);

(2)P(X>1.76);

(3)P(X<-0.78)；

(4)P(|X|<1.55)；

(5)P(|X|>2.5)；

(6)P(-1.8<X<2).

18.近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款

承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销

售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下(单位：枝)：

615,575,625,590,600,600,570,615,580,630.

(I)求这10天红玫瑰销量的平均数元和方差一；

(II)若这个大棚红玫瑰的日销量X服从正态分布其中〃，人可分别

用(1)中的彳和『代替，白玫瑰的日销量丫服从正态分布M280,40),又已

知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日

销售额超过1280元的天数更多.

参考答案与试题解析

选择题(共8小题)

1.【解答】解：•.•成绩g~N(ioo,02),

其正态曲线关于直线x=100对称，

又•.•成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的3,

4

由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，x(i_3)=l,

248

此次考试成绩不低于120分的学生约有：,xl600=200人.

8

故选：D.

2.【解答】解：由随机变量X服从正态分布N(2l),

所以正态曲线的对称轴是x=2,

又尸(骐卜2)=0.3,

所以P(X>4)=P(X<0)=0.5-0.3=0.2.

故选：B.

3.【解答】解：依题意，考试后数学成绩JCeN)服从正态分布N(1(X),IO?),

所以

2(握10)=gu-P(90<^<110)]=-[l-P(100-10g<100+10)J=--P(9偏9100)=0.1,

因为两个班共有100名学生，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为

100x0.1=10人.

故选：B.

4.【解答】解：由随机变量J服从正态分布N(2,9),得正态分布曲线的对称轴为

x=2，

又P(J<2m+D=P(J>m-D，,2"7+1；〃L1=2,BPm=~.

故选：B.

5.【解答】解：•.•随机变量J服从正态分布

.•.正态分布曲线的对称轴方程为X=1，

由P«<4)=0.9,得P(g>4)=P(g<-2)=0.1，

贝P(-2<<<l)=-P(-2<^<4)=^x0.8=0.4.

故选：C.

6.【解答】解：•.•随机变量g~N("Q2),由P(J,,l)=0.3,尸«<5)=0.4,

得P4.5)=0.3,由正态分布的对称性得〃=*=3.

故选：C.

7.【解答】解：由频率分布直方图估计其均值

/z=lxO.O4+3xO.O8+5xO.16+7xO.44+9xO.16+llxO.l+13xO.O2=6.96«7.

设日均健步数为X,则X~N(7,6.25),

,.1a=2.5,贝U〃-er=4.5,〃-2cr=2,

P(2颈k4.5)=；(0.9544-0.6826)=0.1359,

•.•800x0.1359»109.

.••日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人.

故选：D.

8•【解答】解：随机变量X服从正态分布N(5,l),

所以该正态分布的图象关于直线x=5对称，

所以尸(X®)=-xLl-P(4<X6))]=-x(l-0.6826)=0.1587.

22

故选：C.

二.多选题(共2小题)

9.【解答】解：因为N(200,224),所以〃=200,cr=V224»14.97,

故〃+。=214.97,〃+2cr=229.94,/z-cr=185.03,〃-2cr=170.06,

故P(170.06<Z<229.94)=0.9544,P(185.03<Z<214.97)=0.6826,

由正态分布函数的对称性可知A选项应为P(185.03<Z<200)=0.3413，故A错；

P(2(X)„Z<229.94)=0.4772，故8正确;

P(185.03<Z<229.94)=尸(185.03<Z<200)+P(200<Z<229.94)=0.3413+0.4772=0.8185

,故C错；

由C可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数

约为10000x0.8185=8185件，故。正确.

故选：BD.

10.【解答]解：根据正态曲线关于对称，且〃越大图象越靠近右边，

所以〃I<=〃3，BC错误；

又b越小数据越集中，图象越瘦长，

所以5=%<%,AD正确.

故选：AD.

三.填空题(共4小题)

11•【解答】解：♦.•数学测试成绩J~N(105,IO?),.•.正态分布曲线的对称轴方程

为x=105,

又P(95轰听105)=0.34,P(105^115)=0.34,

尸(。>115)=0.5-0.34=0.16,

则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为1000x0.16=160.

故答案为：160.

12.【解答】解:因为X~N(〃,解),P(X>4)=P(X<-2)=0.1,

所以〃=±土2=1.

2

所以「(掇W4)=1~2P(y-4-=0.4.

2

故答案为：04.

13•【解答】解：设电池(一节)用于无线麦克风的寿命为随机变量X,

由题意知X~N(34.3,4.32).

所以P(X..30)=l-〃+b)=]_1-0-6826=0用413.

22

故答案为：0.8413.

14.【解答】解：因为X~N(2,4)，故对称轴为X=2,

故PQ<X„4)=P(0<X<2)=0.3,

尸(X>4)=P(X厘)-P(2<X4)=0.5-0.3=0.2.

故答案为：0.2.

四.解答题(共4小题)

15.【解答】解：P(〃-cr<X,,〃+b)=0.6826,

<X勃k+CT)=gP(〃一0<X〃+cr)=gX0.6826=0.3413.

16.【解答】解：；P(-a<Z,,a)=0.6,

P(0<Z„a)=0.3,

.-.P(z„«)=0.8.查表得aa0.84.

17.【解答】解：(1)P(X<2.2)=0.9861;