高中数学（必修一）第四章 指数 练习题及答案解析

高中数学（必修一）第四章指数练习题及答案解析

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一、解答题

1.计算：26xVilx晅.

2.求下列各式的值:

⑴36”

5

⑵（6口2）

4

⑶嚓;

(4)2-i+J5x]6f.

2

x+x-2-7

3.(1)已知丫5+~2-Q»计算:

AIA.-J1~

X+/+工2+”

(2)设2'=8HI9>=3"9,求x+y的值.

31

3户户

K(xy>°).

4.(1)化简：(11.n

6.1•—♦

--x4y36

I4J丁丁

（2）计算：-8x(6-司+81

1100J一可

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5.求解下列问题:

10gX

⑴证明：—^=i+log^.

log”“

⑵已知p。'=g/=2,且,+：+1=l.

abc

!1!!•!

求证：(per4-qb1+re2p=p*+审+户•

6.求下列各式的值：

F；

(3),(3一兀);

(4)y/x2-2x+l-&+6X+9'X€(-3,3).

7.计算下列各式：

⑴用+M广

(一一

(4)x2-Vx(x>0)；

第2页共13页

(2

(5)----A_——2(Q>0/>o).

:胸

3

8.化简求值:

2版]*Ja

...a3-8a3b

\')i2'aj\jyJa•\/a

4b3+2i[ab+ay

(2)(log43+log83)x^|.

Ig3

9.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，

再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃

开始，经过x分钟后的温度为y℃,则满足y=3'+25(keR,0<«<1,x>0).

(1)求实数A的值；

(2)经过测试知a=0.9227,求在25℃室温下，刚泡好的85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮

用口感(结果精确到1分钟).(参考数据：1g7a0.8451,1g12a1.0792,lgO.9227“-0.0349)

10.计算求值

3

⑴他X上卜1『_(一8)。；

(2)lg；+lg2+log,24+log3>/27-log,3；

⑶已知6"=2&=3,求的值.

ah

11.定义域均为R的奇函数fM与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=10"

⑴求函数/*)与g(x)的解析式；

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(2)证明：gaO+g—NZgJ'；*)；

⑶试用f(X1),/(x2),g(xj,g(%)表示f(X1-々)与g(x,+w).

12.已知函数片优"＞。且"1)在g］上的最大值与最小值之和为2。，记〃加为

⑴求a的值；

⑵求证：/(力+/。-6为定值；

⑶求/岛卜/岛卜+，(郑的值•

二、单选题

13.已知函数则〃/(Y))=()

A.-eB.0C.D.1

e

8

,化成分数指数累为(

14.4)

1B.142

A.户C.D.x5

三、填空题

15.若Ov力vavl,p=ab,q=ba,r=甘,则.(用〉连接)

16.已知。+工=7,则______.

C4Ivc,

17.一种药在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险.现给某病人静脉

注射了这种药2000mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从

现在起经过小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg2=0.3010,他3。0.4771,精

确到O.lh)

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参考答案：

1.6

【分析】先将根指数幕转化成分数指数基的形式，在按照分数指数幕的运算法则进行计算即可.

111.11ill

【详解】解：原式=2x3ax(3x2Tpx(3x22F=2一”><3k3+6=2x3=6.

故答案为：6

2.(1)6

_3125

(2)----

32

⑶j

(4)1

【分析】(1)利用指数基的运算性质即可求解；

(2)利用指数幕的运算性质即可求解；

(3)将根式转化为分数指数嘉，再利用塞的运算性质即可求解；

(4)利用指数基的运算性质即可求解.

(1)

解：36?=(6?g=6t=6；

(2)

5-2.5«

解:回、r［图图喈；

(3)

解：府［(叫

7(23)323

(4)

.有1

解：2一"0x16」丁=2年6x(2*丁7=2一".x2一4=2等&6=y'=1.

3.(1)4；(2)27

【分析】(1)对£+xT_3两边平方，求出x+x-=7,再对此式两边平方,化简可得彳2+厂2=47,从而

A1—一J

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代入可求结果，

(2)将等式两边化为同底数幕的形式，然后可得关于羽y的方程组，求出的值，从而可求得x+y的值

..(1_iY

【详解】(1)因为所以/+x2=9,

A-TA—3

\/

所以x+x"+2=9,所以工+/=7,

所以(X+X-')2=72,即/+/+2=49,所以丁+/=47，

/+厂2-747-7“

所以一丁三=不工=4.

X+X+X2+X2

(2)因为2*=89，所以2'=23(>'叫，即x=3(y+l).

又9>'=3一,所以32,=3A3即2y=x-9,

,fx=3(y+l)x=21

由12y=x—9,解得

y=6

故x+y的值为27.

4.(1)-10y；(2)3

【分析】(1)分数指数塞的运算法则进行计算；(2)分数指数基与根式运算法则进行计算.

31

3/4y2

【详解】(1)原式一=

--x4y2

10

1工11

(2)原式=[(100门2_(72-1)-8+(23)^=100i-72+1-8+25=10+1-8=3-

5.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)结合换底公式以及对数运算证得等式成立.

(2)令p6=qN=/=k,结合指数运算，通过证明等式左边=右边=[来证得等式成立.

(1)

]

左边=警£=率="=电加1+1。邛=右边

log.X_1—log*a

log*ab

(2)

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令"a，=q护=rc3=k贝!Jpa2=—,qb1=—,rc2=—,

9abc

所以+/+%2尸=(&+,+&)=%(4+’+!)]=近，

3j+，』=时+图+图3=>Q+R+3

加以(pa?+qb2+rc?)3=+cp+■

6.(1)-2

⑵百

⑶兀一3

—2,x—2,-3<xW1,

(4)

-4,1<x<3.

【分析】根据根式与分数指数累的转化化简求值即可.

(1)

仲=-2

(2)

(3)

^(3-71)S=|3-7u|=7t-3

(4)

原式二J(x-1)2-J(x+3)2=|X-1|-|X4-3|,

当—3vx<l时，原式=1—x—(x+3)=—2x—2；

当lvxv3时，原式=1一1一(x+3)=-4.

—2.x—2,—3<xW1,

因此,原式=

-4,1<x<3.

7.(1)—；(2)100；(3)3；(4)x2；(5)-9。.

【分析】利用根式与分数指数累的互化，根式的性质，指数基的运算性质计算求值.

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16

【详解】（1）原式=1+=1+1x^-1

431015

27V275937

（2）原式=+(10一户3+--=—F1004----3H---=100.

64)4831648

___535

⑶原式=1?r+Vo.5J+(0.4f'-1=2-2+^5+2-1=3，

(4)原式=姬,x5=x2.

(5)原式=_9a*-"另1=-9a.

8.(l)a2

⑵i

【分析】（1）结合指数'幕的运算公式以及立方差公式化简整理即可求出结果;

（2）结合对数的换底公式化简整理即可求出结果.

⑴

I112112115

+2ayby+4Z?3)ay-2bya6

----------2-----j-1----2--------.---------X-

4/?3+2a3b3+a3"a，

=a2

⑵

原式=（聂+捻X旦驾1=5

lg3236

9.(1)60

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(2)大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感

【分析】(1)直接由x=0时，，=85代入求解即可；

(2)将y=60代入函数关系式，再结合对数的运算性质求解即可.

(1)

依题意，当x=0时，y=85,所以85=匕。°+25,解得左=60,

所以实数)t的值是60.

(2)

由(1)知，当。=0.9227时，y=60x0.9227*+25,

7

当y=60时，60x0.9227'+25=60，BP0.9227r=—,

两边取对数，得xlg0.9227=1g7-1g12,

Ig7-lgl20.8451-1.0792_

所以x=----------«--------------------5s7.

lg0.9227-0.0349

所以刚泡好的85c的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感.

10.(1)44

⑵2

2

(3)1

【分析】(1)由指数的运算法则计算

(2)由对数的运算法则计算

(3)将指数式转化为对数式后计算

(1)

3

(^/3XV2)6-W2-(-8)°=32X23-32><2-1=72-27-1=44；

(2)

lgJ+lg2+log,24+log3V27-log23

3

2

=-lg2+lg2+log2(3x8)+log33-log23

39

=log23+3+--log23=—；

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(3)

a=log63,b=log23,

则』=log36,：=logs2；

ab

所以‘-：=log36Tog32=log33=l.

ab

11.⑴f(x)=；(10:看)，g(x)=；W+击)

(2)证明见解析

(3)f(&-X,)=/(x1)g(x,)-g(xt)f(x2),g(N+x2)=g(x,)g(x2)+f(x,)f(x2)

【分析】(1)由题意可得:/(x)+g(x)=10*,再根据函数的奇偶性可得:f(-x)+g(-x)=10v=-f(x)+g(x),进

而结合两个式子求出两个函数的解析式.

(2)由(1)可得g(xj+g(%)的表达式，再利用基本不等式把85)+8(々)进行化简整理即可得到答案.

(3)由(1)可得/(再)、f(x2),g(X|)、g(W)、/(占-々)与g(X1+X2)的表达式与结构特征，进而可求

(I)

解：/(x)+g(x)=10,①

.■.f(-x)+g(-x)=10\

/(x)为奇函数，g(x)为偶函数

f(-x)=-/(x),g(-x)=g(x)

.•.-f(x)+g(x)=i(r，②

由①，②解得f(x)=5(10",g(*)=](⑹+.

(2)

解：g(xi)+g(w)=:(i。"+白)+：(1。”+白)

Z1U1z-

=-(10V1+10V2)+-(—4--)>-U2>/10AlX10¥24--X2J1e1

2210v,10*22V101110X2

型空Ix.+x^,

=l°2+~^7=2S(-,当且仅当10*=10*,即占=%时取等号；

102/

所以g(X1)+g(x2)>21g卢；电)

⑶

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解：〃x)=；(10'-白)，g(x)=：(10'+/).

/r1\JaI

)=3。f-康)

1.10r,10巧、

=­(---------)

2IO"?10A.

"z+x,10*10"1、l”2,+x,10"10"1、

=­(101H-----------------)---(101-----+------------)

410010x,10*+.410Xl10v,10』+叼

=-(10V|-)(1OX2+—+—)(1O,J-)

410x,10t2410v'10与

=fa）g（w）-g（xi）/（x）

ga+x2）jo、z）+；.薪

=-10^10V2+i—

2210v,铲

=-(ior,+—)(io^+—)+-(iovi--L)(I(P__L).

410A,102410再10/

=g（x）g（w）+.f（x）/（w）

即f(xx-x2)=f(x1)g(x2)-g(xA)f(x2),g(%+x2)=g(x})g(x2)+/(x,)f(x2)；

12.(l)a=4

（2）证明见解析

(3)100

【分析】（1）函数y=就在口，2］上单调，得到々2+々=20,排除。=—5,得到答案.

（2）f（x）=^—,代入数据计算得到八x）+〃l-x）=l,得到证明.

（3）根据〃耳+〃1一%）=1,两两组合计算得到答案.

（1）

解：因为函数丫=优（a>0且awl）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2（）,且函数y="（。>0且“XI）

在［1,2］上单调，

所以当x=l和x=2时，函数y="（">0且a"）在62］上取得最值，即/+a=20,

解得4=4或。=一5（舍去），所以<2=4.

（2）

,Ax

解：由（1）知，〃=4,所以〃力=不-,

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4V4r4

故f(x)+/(l