人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解 教学设计 共12课时含教学反思

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法..............................................................1

14.1.1同底数塞的乘法....................................................1

14.1.2累的乘方.........................................................3

14.1.3积的乘方.........................................................6

14.1.4整式的乘法.......................................................9

14.2乘法公式..............................................................21

14.2.1平方差公式......................................................21

14.3因式分解..............................................................27

14.3.1提公因式法......................................................27

14.3.2公式法...........................................................31

章末复习....................................................................36

14.1整式的乘法

14.1.1同底数塞的乘法

?＞敦字目标

【知识与技能】

理解并应用同底数幕的乘法法则解决实际问题.

【过程与方法】

1.通过“同底数累的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊到一般，一般到特

殊的认知规律.

2.进一步体会幕的意义时，发展推理能力和有条理表述能力.

【情感态度】

体会探究过程，激发探索创新精神.

【教学重点】

正确理解同底数塞的乘法法则.

【教学难点】

应用法则解决实际问题.

数学旅程

一、情境导入，初步认识

1.复习乘方的意义，师生共同回忆.

a"表示n个a相乘，这种运算叫乘方，其结果叫做募，a叫做底数，n是指数，即

a=q•a,a"-g

”个a

2.提出问题，要求学生根据乘方的意义求得结果.

一种电子计算机每秒进行1千万亿(10，)次运算，它工作10,秒可进行多少次运算？

【教学说明】运算次数=运算速度X工作时间，故计算机工作103秒可进行的运算次数

为为何心(次).

1015X103=10X10---X1QX(10x10x10)

15-10

=10x10.…X10,=1O1S

18-10

教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

3.仿照上面的计算过程求出下列各题结果.

(1)52X56；(2)x3•x4；(3)333b(其中a,b均是正整数).

由学生完成计算后，带领学生观察每个算式的特征，并试着总结一般性规律，学生间互

相探讨，用语言表述出来.

二、思考探究，获取新知

根据上面的探究，教师向学生讲述基的乘法法则.

a%a"表示同底数基的乘法，根据基的意义可得：

a"Xa"=(Q'Q…•a)•(a•Q…•o')

'------y------''------y------,

个a"个a

=都是正整数)

(加+〃)个a

即：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.它也适用于三个或三个以上的基相乘.提示学

生注意运算形式的改变.

例1计算下列各题.

(1)87X85；

(2)(--)3X(」)2；

22

(3)a5X(-a)I

【分析】涉及黑的乘法问题，先应该观察是否是同底数基的运算，上述各式均符合，可

应用同底数幕乘法法则计算.

【教学说明】应用同底数累的乘法法则时，把因数的“乘法运算”转化为指数的“加法

运算”，不能想当然地算成8，X85=8"1

三、运用新知，深化理解

1.下列算式是否正确？对错误的指出错因，并予以纠正.

(1)a•a=2a；(2)x4+x4=xs；

(3)a3•a=a9；(4)y•/=v2；

(5)x,%3=x4；(6)10x109=1019.

2.太阳光照射到火星上大约要9.26X102秒，光的速度约为3X10$千米/秒，求火星与

太阳的距离.

3.计算：5X26-6X2l+-X27.

4

四、师生互动，课堂小结

师生共同回顾同底数塞乘法法则.

学生互相交流学习收获和存在的疑点，互相查错.

：»课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

了敦学反思

本课时在教学时要充分利用学生已有关于乘方意义理解的知识，引领学生自主探究出同

底数基的乘法公式，这样利于加深学生对新知的认识与理解，便于应用于各种形式的问题解

决中.

教学时要强调学生对公式中运算符号的变化特点，提醒学生不能想当然地得出a"-an=am"

的结论，并加强各种变式的训练.

14.1.2幕的乘方

教学目标

【知识与技能】

认识幕的乘方的意义及运算法则.

【过程与方法】

1.经历探索基的乘方的运算性质的过程，进一步体会累的意义，发展推理能力和有条理

的表达能力.

2.了解寨的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

【情感态度】

利用小组交流讨论，培养学生合作学习的素养.

【教学重点】

利用暴的乘方法则进行计算.

【教学难点】

幕的乘方法则的理解.

户数学亘程

一、情境导入，初步认识

1.复习同底数的乘法法则的推导、公式及其应用.

计算:⑴/.(_x)2.

⑵(2+1尸.[-(/+i)r；

(3)(-y)：X(-y)?;

(4)o2•o'+a•a4.

[教学说明】本环节要求学生能表述出同底数幕乘法法则的推导过程与依据，并在应用

法则计算上面各题时注意公式左右的字母、符号、运算形式等的变化.

教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

2.完成下列练习.

(1)33表示一个—相乘.

(33)②表示一个相乘.

(2)(32)3=_XX_=(3X3)X(3X3)X(3X3)=—.

(am)2=a"Xa"=.

(3)(a")"=XX.........X=.

学生填写完成后，教师要求学生分组观察(3)中的等式，共同探寻其中特征与规律，

形成文字后全班再交流.

二、思考探究，获取新知

幕的乘方法则：慕的乘方，底数不变，指数相乘.

即：(a")"=a""(m,n都是正整数).

【教学说明】理解法则与公式时提醒学生注意以下几点.

1.塞的乘方的意义是指几个相同的基相乘，根据乘方的意义写成乘方的形式.如(a2)3

是指三个a?相乘，读作a的平方的三次方，基的乘方法则是由同底数幕的乘法法则和乘方

的意义推得.

2.公式可逆用，即a""=(a")"=(an)m,根据题目的需要常逆用这个法则将某些基变形,

从而解决问题.

3.不要把寨的乘方与同底数寨的乘法混淆.塞的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底

数不变)；同底数幕的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).

例1计算：

(1)(-8z)3;(2)(废尸；

(3)[(-"Z”]4；(4)(a3-m)2.

【分析】本题是塞的乘方法则的运用.(1)中的底数是8；(2)中的底数是a；(3)中

的底数是-m；(4)中的底数a的指数是3-m,乘方后指数应是2(3F)=6-2m.

解：(1)-86；(2)/”'；(3)机\(4)。6-2]

【教学说明】运用幕的乘方性质时，一定要留心底数符号和指数的运算.

例2计算：

(1)-[(a-6)2]3;

(2)(/)2+(y2)3-2y

(3)(x2m-2)4•(%m+1)2；

(4)(x3)2•(%3)4.

【分析】先进行事的乘方运算，再进行同底数嘉的乘法运算.

三、运用新知，深化理解

1.判断下列各题正确与否，错误的请更正.

(1)a6+a6=2a1-()

(2)5)2”5()

(3)(-3)2•(-3)=(-3)6=-36()

(4)m'+tl'=(77?+7?)''()

(5)[(zn-71)3]4-[(77?-7?.)2]6=0()

2.计算下列各题.

(1)-(-x2)3;(2)[(-x)7]6；

⑶[(-％)4了；(4)[(a-6)2P；

(6)[(-2)3]3.

【教学说明】解答题2时，要求学生写出详细过程，并思索每一步的意义，先不要直接

写出结果，要在练习中体验法则的运用.

四、师生互动，课堂小结

1.交流本节课收获，回忆法则、公式.

2.和同伴一起解答下列问题，然后向同伴表述你的解题收获.

(1)若久府•一加=2,贝！］.

(2)已知屋=2"=3,则1m+3”=.

.'课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

：＞教学反思

本课时教学可类比同底数基乘法知识的学习过程，由学生根据乘方的意义推导出法则，

并从中识别两个公式的异同点，从本质上理解并认识法则再利用各种形式的训练加强学生对

法则的理解与运用.

教学中可渗透对逆向思考方法的强调，让学生形成逆向思考数学问题的习惯，逐步提升

打破常规，勇于创新的素质，真正得到数学素养的加深.

14.1.3积的乘方

.＞教多目标

【知识与技能】

1.经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会累的意义.

2.理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题.

【过程与方法】

1.在探索积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力

2.学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力.

【情感态度】

体会探究数学法则的乐趣，增加学习数学的信心与兴趣.

【教学重点】

积的乘方法则的应用.

【教学难点】

积的乘方法则的推导.

户数学亘程

一、情境导入，初步认识

教师带领学生依据乘方的意义及前面积累的经验，推导积的乘方公式，并由学生表述文

字语言和数学公式.

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幕相乘.

公式为：(ab)三a"bn(n为正整数).

【教学说明】1.三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质，如(abc)"-ab"c"

(n为正整数).

2.积的乘方法则可以逆用,即an・b"=(ab)n(n为正整数).

教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

例1计算下列各题.

(1)(-2r?62)4；(2)-(-2D；

(3)(，+]•a?")；(4)(-3xlO3)3.

【分析】应用积的乘方公式时，要分清底数含有几个因式，确保每个因式都进行乘方，

注意系数的符号，特别不能忽视系数为-1时的计算.

例2计算下列各题.

(1)(3xlO2)3x(-103)4；

(2)[3(m+n)2]3[-2(m+n)3]2;

(3)(-2xy)6+(-3x2/)3;

(4)(-2a)6-(-3a3)2+[-(2a)2]t

【分析】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算累的乘方，最后算同底数幕相乘.

[教学说明]可类比实数运算法则来安排上述各题的运算顺序.

例3计算：

2012

(1)(-0.125)x(-8产3

(2)(3j)30x(

【分析】每个幕的指数都较大，应观察题目特点，结合1,-1和o的乘方的规律，寻找

简便运算.根据积的乘方公式的逆用，即“同指数基相乘，指数不变，底数相乘”来把原式

进行转化.

【教学说明】逆用基的乘法公式(包括同底数基的乘法，幕的乘方，积的乘方)是解数

学题的一种常用技巧.本题即是依据题中指数大，底数中有互为倒数(互为倒数的积为1)

的特征，通过对题目结构转化，逆用积的乘方公式求解的.在转化时，注意性质符号.运算符

号的变化不能出错，不能因转化而改变了原式的大小.

三、运用新知，深化理解

1.写出下列各题的结果.

(1)一(一»尸；

(2)(3盯2/)”；

(3)(-2xn+1)3.

2.计算下列各题.

(l)3(a2)4­(a3)3-(-a)•(a4)4+(-

2a4)2,(-a)3,(a：)3.

(2)(yxlO5)3♦(9xlO3)3.

(3)(-3久3y1+(2.6)'•(-/)+4//.

(4)(-2a)6-(-3a3)2+[-(2a)3]2.

3.某工厂要做一种棱长为2.5X10：'!™的正方体箱子，求这种箱子的容积(结果用科学

记数法表示).

4.写出下列各题的结果.

(1)(0.125)16x(-8)17.

(2)(^)2O13X(-2y)2014.

(3)89Ox(1)9Ox(-1)180.

5.试问：N=2'2><5’是一个几位的正整数？

【教学说明】上述习题可由学生分组集体讨论求解，题1是巩固积的乘方法则；题2

是事的乘法与其他运算的综合，强调学生看清题目特点，合理选用法则，并特别注意符号与

运算形式转化不能出错；题3是积的乘方公式在实际问题中的应用，注意解答过程完整；题

4,题5是积的乘方等公式的逆用，要发掘技巧，形成能力.

四、师生互动，课堂小结

1.本节所学的积的乘方公式是什么？如何用文字表达？应用时要注意些什么？说出你

的收获与思考.

2.对比基的乘方，同底数累的乘法、积的乘方公式的联系与区别，与同伴交流你的感受.

‘举课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

篁教与反思

本课时教学可先由学生依据同底数塞的乘法、暴的乘方等法则的推导与应用自主探究出

积的乘方法则，并应用于具体解题之中.

教师注意引导学生发现累的乘法三个法则之间的异同，并利用具体问题指导学生解题时

先观察分析问题特征，再合理选用法则.

课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，从中培养学生计算能力，教师依

据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.

14.1.4整式的乘法

第1课时单项式与单项式、多项式相乘

‘翱教与目标

【知识与技能】

探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行计算.

【过程与方法】

设置实际情境，引导学生参与探索公式.

【情感态度】

让学生主动参与探究，形成独立思考、勇于探究的习惯.

【教学重点】

单项式与单项式、单项式与多项式乘法法则的应用.

【教学难点】

两个法则的探究.

子教学亘程

一、情境导入，初步认识

引导学生复习暴的运算性质，并解答下列问题.

(1)a2•a6—；

(2)5x52x53=；

⑶[(J)W=;

(4)(-2町2尸=.

【教学说明】主要由学生口述基的乘法运算性质、公式及上述问题的答案，对学生暴露

出的问题予以纠正，为后续学习打下基础.

教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

问题1光的速度约为3X10i<m/s,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5X10、，试

求地球与太阳的距离约是多少千米？

【分析】由题意可列式为(3X105)X(5X102),这个算式可引导学生运用乘法交换律

和结合律求出，即(3X5)X(105X102)=15X10=1.5X10\即地球与太阳的距离约为1.5

X108km.

【教学说明】要求学生认真分析体会上述计算过程，感受其中的思路与依据，再将上式

中的数换成字母，如(aXIO5)X(bX10；i),al?X3ab等，依据同样的方式经小组为单位探

求结果，并发掘一般性规律，同伴间交流并互相完善.

【归纳总结】单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

问题2解答下列问题.

⑴1金肛-孙

{2)(-舞心气隽闻％

(3)何叶的步长为a米，她量得家里的卧室长15步，宽14步，问这间卧室的面积有

多少平方米？

(4)下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？

①3a'•2a'=6a6；(2)2x2,3A-2=6.r4；

③3X2♦4.x2=I2x2；(4)5y3,3)5=15)15.

问题3三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的

销售量(单位：瓶)分别是a,b,c.求这个月内销售这种商品的总收入.

【分析】这个问题的思路有两个：

方法一先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m(a+b+c)元.

方法二先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为(ma+mb+mc)元.

由于两种方法只是思考的角度不同，求的是同一个量，故必有m(a+b+c)=ma+mb+mc.

引导学生联想乘法分配律及上述等式总结归纳，得出自己的结论.

【归纳总结】单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相

加.

例1计算：

33

(1)(-)2•(一-^-xyz•^xz).

(2)3ab2,(,2abe.

(3)(一2/+y)•(-3町)•(-y-x2^).

解：(1)原式=4的，•(-£■町z)-=

一”683z4.

(2)原式=[3x(--y)x2]•(a•a2•a)

,(62•b•b),c=-2ab^c.

(3)原式=[(-2)X(-3)X(-y)]

(/4n+1•%,%2)\(/yn9y)\9z=-5□xn+4yn+1z.

【教学说明】1.凡是在单项式里出现过的字母，结果里应全都有，不能漏掉；2.单项式

中含有的多项式因式把它看作一个整体参加计算.

例2计算下列各题.

(1)(--ab)(-^-ab~-2ab+).

(2)(-+yy2-久2)(-6xy2).

(3)(ya2+ab-O.662)(-ya262).

(4)5a36,(-36)2+(-6ab)2,(-ab)—

ab,(-4a)2.

【教学说明】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式各项前的“+”或号

看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“+”连接，最后写成省略加号的代数和.

三、运用新知，深化理解

计算下列各题.

(1)%(%-2)-2.x(%+1)-3x(x-5).

32

(2)2a(cJ+3«-2)-3(a+2a-a+1).

【教学说明】L本题是混合运算题，计算顺序仍是先乘除、后加减，先去括号等.混合

运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果.

2.单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘.

3.在确定积的每一项的符号时一定要小心.

【答案】(1)原式=X2-2x-2x2-2x-3x2

+15%=-4；r2+1lx.

(2)原式=2a3+6a2-4a-3a-6a2+3a-

3=-a'-a-3.

四、师生互动，课堂小结

I.梳理本节所学内容，巩固单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则.

2.互相交流运用法则计算时要注意的事项.

L课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

聿教学反思

本课时教学宜由学生根据已有知识(如乘法分配律法则等)自主推导出单项式乘法，单

项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学

生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.

第2课时多项式与多项式相乘

户教学目标

【知识与技能】

理解并掌握多项式乘以多项式的法则.

【过程与方法】

类比前面的方法，自主探索多项式与多项式乘法法则.

【情感态度】

在探究过程中，形成独立思考，主动求知的习惯.

【教学重点】

多项式乘法法则的应用.

【教学难点】

多项式与多项式相乘法则的推导.

?教学亘程

一、情境导入，初步认识

1.回忆单项式乘以多项式法则，并计算：

(1)3a(5a-2b)；(2)(x-3y),(-6x).

【思考】有一算式(a+b)(x+y),假设把(x+y)看作一个整体m,则上式变为(a+b)

m,此时与上述习题类型相同么？你有何想法？

问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方—。—^上

形绿地加长b米，加宽q米(如图).你能用几种方法求出扩大后的绿地Pap\bp

面积？Jiaq|3

方法一这块花园现在长(a+b)米，宽(p+q)米，故面积为(p+q)(a+b)米：

方法二这块花园现在是由四小块组成，面积分别为ap米2,aq米)bp米z,bq米2,

故面积为(ap+aq+bp+bq)米：

由此可推知：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.

即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所

得的积相加.

要求学生讨论这个公式的特点，并探讨如何应用于计算中.

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

例1计算下列各题.

(1)(3a+2b)(4a-5b)；

(2)(x-1)(x+1)(x2+l)；

(3)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；

(4)5x(x'+2x+l)-(2x+3)(x-5).

【教学说明】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一多项式中的每一

项，刚开始时要严格按照法则写出全部过程，要注意：(1)每一项的符号不能弄错；(2)不

能漏乘任何一项.

例2计算下列各题.

(1)(x+2)(x+3)；(2)(x-4)(x+1)；

(3)(y+4)(y-2)；(4)(y-5)(y-3).

求得结果后，与同伴一起观察，探寻其中的特征和规律，并交流.

【教学说明】根据上述结果，可得(x+p)(x+q)=x?+(p+q)x+pq,这个公式可作为特

别结论应用.

回答下列问题：

(1)(x+4)(x+3)=

(2)(x-1)(x+2)=

(3)(x-5)(x-6)=

(4)(x-5)(x-5)=.

例3解方程：

(x-2)(X3-6X-9)=X(X-5)(X-3).

【分析】先应用多项式乘法法则进行化简，再解方程.

例4先化简，再求值：(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y),其中x=9,y=—.

2

【教学说明】本例的实质是多项式乘以多项式法则的应用.

例5已知(x°+px+8)(x'-3x+q)的展开式中不含x*x'项，试求p,q的值.

【分析】先按多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，欲使展开式中不含娱x3

项，就是X，项和X：'项的系数为0,通过解方程组可求出p,q的值.

解之得p=3,q=l.

【教学说明】一个多项式中可能含有很多字母，在解答问题时，一般把要求的字母当作

己知数看待，合并同类项时，这些字母应看成单项式的系数.

三、运用新知，深化理解

甲、乙两人共同计算一道整式乘法：(2x+a)・(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a

的符号，得到的结果为6x2+11x70；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为

2x-9x+10.

(1)你能知道式子中a、b的值各是多少？

(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果.

【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为：(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab,

对比得到的结果可得：-(3a-2b)=11；①

乙漏抄了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为：(2x+a)(x+b)=2X2+(a+2b)x+ab,

对比得到的结果可得：a+2b=-9.②

由①、②两式即可得出a、b的值.

【教学说明】

此题综合性较强，教师可先让学生自行思考，寻求解题思路，然后教师引领学生去理解

题意，师生共同完成解答.

【答案】(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab=6x2+llx-10；

(2x+a)(x+b)=2X2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10；

所以-(3a-2b)=41,且a+2b=-9,解得a=~5,b=-2.

所以(2x-5)(3x-2)=6x-19x+10.

四、师生互动，课堂小结

师生共同交流本节所学知识及收获.

;'课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

「敦字反思

本课时教学时可先利用几何图形的方式验证多项式乘法法则的正确性，形成直观感受；

再把公式中的(m+n)整体看作一个单项式，利用单项式与多项式相乘法则，进一步推证多

项式乘法法则，从中让学生体验转化的数学思想，课堂上引导学生解决一些具体的数学问题,

帮助学生巩固对法则的理解认识.

第3课时同底数毫的除法

户教学目标

【知识与技能】

掌握同底数基的除法法则并用于计算.

【过程与方法】

经历探索同底数事的除法的运算法则的过程，理解运算算理.

【情感态度】

经历探索过程，获得成功感和积累数学经验.

【教学重点】

同底数基的除法法则的运用.

【教学难点】

根据乘、除互为逆运算推出同底数基的除法法则.

,泳教学国樨

一、情境导入，初步认识

1.回忆同底数幕乘法法则，并填空:

(1)28x22二,53x54

axab=,10,x10=

(2)依题(1)的结果，并结合乘除法互为逆运算，填空：

168162

24-2=2-r2=?

7374

5^5=5+5二

a9-.a6-a9-.a3=

106-T105=,106-=-10=.

(3)观察题(2)中的每一个等式，以小组为单位讨论，找出这些等式的共同特点，并

互相交流归纳.

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

2.师生共同归纳结论：

同底数哥相除，底数不变，指数相减.

即a=an=a"F(a*0,m,n都是正整数,且m>n).

提醒：底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式；当三个或三个以上同底数基相除

时，也具有这个性质.

二、思考探究，获取新知

例1计算下列各题：

(2)(-a)；(-a)5；

(3)(-a)J(-a5)；

(4)(.r-)-)7+(y-".

【分析】(2)的解答可根据乘方的性质先确定商的性质符号，即(-a)84-(-a)'-a'

4-a5；(3)与(2)有区别.其中(-a)，与-a，的意义不同，隐含了(-m)W,(-m)~-n?的

关系式；(4)的底数是多项式，也适用同底数幕的除法法则.

例2计算下列各题:

(l)(2%)6-(-2X)2；

(2)(-3a%)4-r(-3ax)3；

(3)/m+；(7.

【分析】同底数哥的除法法则也适用于底数是单项式的情形，当底数不相同时，应先设

法转化为同底数累，再应用法则.

【教学说明】在学生理解例题后，教师提出零指数基的定义与意义.即任何不等于0的

数的0次幕都等于1.即a=l(a#0).

例3已知2X5'=5X2",求m的值.

【分析】将等式化为方程的形式，利用a°=l的性质解答.

解：由2x5叫=5x2"1得5m-1=2"1-1,即

5皿-|=I".(•!")"—=1>0且

1n?-1=0,772=1.

例4计算下列各题：

(1)(-«3)34-[(-a2)(-a3)2];

(2)[(a3)3•(-a4)3]v(a2)3-(a3)2

【分析】解答本题的关键是遵循运算顺序，避免错算.

[教学说明】不要出现1=-/这样的错误.

三、运用新知，深化理解

1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)%64-%2=X3；

(2)644-64=6；

(3)八6二/；

42

(4)(-e)-(—。)2二-e.

2.计算下列各题.

(2)(一Q)'-ra；

(3)(2%y)5+(2.%y)2；

(4)(-y)5^(-y)3.

3.计算下列各题.

(l)(x-y)?4-(x-y)；

(2)(5a-2，)%(2“5a”；

(3)(3xlO6)44-(3xlO6)2；

(4)[(.x-2y)3]3-[(2y-x)2]4.

【教学说明】安排上述三题是为了帮助学生深化理解同底数基的除法运算，题可师生共

同评析.题2,3教师可指派学生到黑板上演算，然后全班订正，让学生加深印象，达成共识.

四、师生互动，课堂小结

谈谈本节课获得了哪些知识和解决问题的方法.

【教学说明】这节课利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幕的除法的运

算规律.并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验.

；＞课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

；'敢学反思

本课时教学重点在指导学生由同底数幕乘法法则推导出同底数基除法法则，并类比已有

知识由学生自主归纳总结出运用法则计算时应注意的问题，在学生充分认识法则的本质后，

指导学生解决一定基础的具体问题，学生间互相查漏补缺，教师适时指点评价，帮助学生把

知识转化为解决问题的能力，实际教学中，教师尽量多营造学生自主探究，自己解决问题的

氛围.

第4课时整式的除法

户敦孚目标

【知识与技能】

经历探索单项式除以单项式，多项式与单项式相除的运算法则的过程，会进行单项式,

多项式与单项式的除法运算.

【过程与方法】

探究单项式与单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的表达与思考能力.

【情感态度】

从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获取成功的体验，积累研究数学问题的

经验.

【教学重点】

整式除法法则的应用.

【教学难点】

整式除法法则的探究.

教学亘程

一、情境导入，初步认识

1.(1)计算：2xy,(-3x2y2)=_,ab2,a=..

(2)根据(1)的结果，并由乘、除法互为逆运算填空：

-6x3y34-2xy=.

a'b"-r-ab'=.

(3)仿照(1)(2)的形式，要求学生再举几个例子，并从中总结规律.

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

2.师生共同表述这些式子所共有的特征：

(1)都是单项式除以单项式.

(2)运算结果都是把系数、同底数幕分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含

有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

(3)单项式相除是在同底数塞的除法基础上进行的.

3.提出单项式除以单项式的法则.

例1计算：

(1)(y^3)-4)+(+)；

(2)(一4-(-y-s/2).

【分析】本题直接利用单项式除以单项式法则计算.计算时，要弄清两个单项式的系数

各是什么，哪些是同底数累，哪些是只在一个单项式里出现的字母，此外还要特别注意系数

的符号.

二、思考探究，获取新知

由学生列举几个单项式乘以多项式的计算题，并求出结果，并根据乘、除法互逆，把整

式乘法转化为多项式除以单项式的计算题，并写出结果.再观察特征，总结规律.

【归纳总结】多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商

相加.

即(am+bm)4-m=amm+bm4-m=a+b.

例2计算：

(1)(12a~'b3c3-6a2b+3ab)-j-3ab；

(2)[(a+6)5-(a+6)3]Xa+b”.

【分析】本题利用多项式除以单项式法则计算；(2)题中，把(a+b)看成一个整体，

那么此式也可以看作是多项式除以单项式.

例3计算：

(1)[(-3xy)2*x3-2x--(3.r/尸.

(2)[(%+2y)(%-2y)+4(%-y)2]4-6%.

【分析】此题是整式加减乘除混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最

后加减，有括号先算括号里的.

三、运用新知，深化理解

1.计算：

(1)24a3fe5c4-(-Sab2c)；

(2)(-5abe3)(3a4c2).

2.计算：

(1)(-12x3-6.x2+3久)-r3.x；

(2)(守-7y2+5)号

3.化简求值.

(1)(%+y)(%-y)+(比-y)2-(6.x2y-2xy2)

+2y,其中％=-2,y=y.

33

(2)[(x+2y-1-)(x-2y++2y(2)--3)

+(金)2]+(-9，其中％=-I.

z3%

【教学说明】题1是有关单项式除以单项式的训练，题2是有关多项式除以单项式的训

练，此两题可让学生自由训练，加强新知理解；题3是整式的乘法，除法的综合计算，教师

着重指导学生如何正确地运用公式快速、准确地计算.

四、师生互动，课堂小结

集体交流本节知识点和解题方法，教师点评.

.＞课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本课时的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，进而将多项式除以单项式转化

为单项式除以单项式，根据学生已有的认知水平，教师可鼓励学生自主探究整式的除法法则，

并在小组间交流各自体会后由教师总结，最后学生在教师的指点下完成一定的训练，以确保

能真正理解并应用法则.

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

穹敦孚目标

【知识与技能】

会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

【过程与方法】

1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.

2.培养学生观察、归纳、概括的能力.

【情感态度】

在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.

【教学重点】

平方差公式的推导和应用.

【教学难点】

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

教字国学

一、情境导入，初步认识

出示下列习题，由学生分组完成：

1.计算:(x+3)(x-3),(t+2)(t-2),(3y+l)(3yT),(x+y)(x-y).

2.试用简便方法求结果：

(1)2001X1999=；

998X102=.

【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1,题2根据题目特点，把因数变形

得2001X1999=(2000+1)(2000-1)=2000-1X2000+1X2000+1X(-1)=2000-1=3999999.

要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般

性规律来.

教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.

二、思考探究，获取新知

由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.

上述结构的式子用公式表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2,即两个数的和与这两个数的差的

积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.

(1)推导：(a+b)(a~b)=a2-ab+ab-b2=a2-b".

(2)公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反

数，右边是乘式中两项的平方差(相同数的平方减去互为相反数的平方).

(3)公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.

(4)符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.

例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，

写出计算结果.

(1)(2a-3b)(3b-2a);

(2)(-2a+3b)(2a+3b);

(3)(_2a_3b)(_2a+3b);

(4)(2a+3b)(2a-3b);

(5)(-2a-3b)(2a-3b);

(6)(2a+3b)(-2a-3b);

【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.

解：(1)(6)不能用平方差公式，(2)(3)(4)(5)可以用平方差公式.

(2)(-2a+36)(2a+36)=(36)2-(2a)2

=9b2-4c/2.

(3)(-2a-3b)(-2a+36)=(-2a)2-

(36)2=4a2-962.

(4)(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=

4a2-9b1.

(5)(-2a-36)(2a-36)=(-36)2-

(2a)2=9--4a2.

例2计算：

(1)59.9X60.1；(2)102X98.

【分析】(1)中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1,再用平方差公式计算；(2)中

两个因式分别可转化成100+2与100-2.

【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子(或经转化后的式子)是

否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.

例3利用平方差公式计算下列各题.

(1)(2x+l)(2x-l)-3x2.

(2)(l-2x)(l+2x)(l+4x，)(i+i6x").

【分析】(D中的乘法计算可用平方差公式；(2)应先进行(l-2x)(l+2x)的计算，

再逐步应用平方差公式求得结果.

三、运用新知，深化理解

1.计算下列各题.

(l)(4%+5y)(4x-5y)；

(2)(-ya+--1-a)；

(3)(f-f)(-f-f)；

(4)(-w272+2)(-tn2n-2).

2.利用平方差公式计算下列各题：

(1)499X501；

(2)2002X2004-2003；

3.请认真分析下面一组等式的特征：

1X3=2-1,

3X5=4-1,

5X7=6?-1,

猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.

【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.

四、师生互动，课堂小结

阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.

平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1,在边长为a的正方形中挖

掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2）,通过计算两

个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）

=a2-b2.

图1图2

.>课后作业

1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.

2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.

教学反思

平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然

后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解

决实际问题.

14.2.2完全平方公式

教学目标

【知识与技能】

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何解释.

【过程与方法】

经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.

【情感态度】

在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神.

【教学重点】

完全平方公式的应用.

【教学难点】

完全平方公式的结构特征及几何解释.

教学亘程

一、情境导入，初步认识

问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，

来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，……

(1)第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(2)第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(3)第3天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？

(4)这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为

什么？

解：(1)/；(2)/；(3)(Q+6)2；(4)(Q+

6)2-(a2+62).

【教学说明】(4)的结果需要化简，应用乘法法则可求出(a+b)2.引导学生结合教材

认识从几何角度解释(a+b)2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.

【归纳总结】公式的表达式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.

公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和

的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍(和对应加)；左边是两数差的形

式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍(差对应减)；两公式结构相同，仅一

个符号不同.

公式变形：(1/«2±2ab+b'=(a±6)2；

②cJ+b'=(a+6)2-lab=(a-+2ab;

③(a-6尸=(a+6)2-4a6;

④(a+6)2=(a-6)2+4a6；

⑤(a+6)?+(a-6)2=2(a2+)；

⑥(a+6)?-(a-6)2=4ab.

二、思考探究，获取新知

例1计算下列各题.

(1)(：7〃+2〃)2；(2)(44+0.5)2；

22

(3)(4x-53-)；(4)(2a-y6).

【分析】(1)、(2)可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便

计算.(3)、(4)应注意符号，或可直接应用公式(a-b)2=a2-2ab+b.

例2计算：(1)1032；(2)2992.

【分析】通过观察可发现103=100+3,299=300-1,这样可应用完全平方公式.

解：(1)1032=(]00+3)2=1002+2X100

x3+32=10609.