高中数学高考复习

微直略补重“保温"日练"三题"长技能

——浅谈高三数学冲刺阶段的备考策略

广州市从化中学杨仁宽

一、“三字”学法更有效

（一）了解数学的本质与特点

数学因其高度抽象，推理严谨，计算量大及灵活多变，而增加了

学生学习数学的难度，如何使数学“易学”、“有趣”，是咱们数学教

师要重点思考的问题！

用通俗易懂的语言，描述复杂的数学概念，“1”当头：

集合即“有共同性质的元素组成的整体”；

区间即“在数轴上表示连续实数的数集”；

函数是“从非空数集到非空数集的特殊对应”；

单调递增、奇函数等抽象，难懂的概念，都可以“大众化”，既

帮助学生理解，又利于记忆，降低学习难度，方便学生运用，更容易

让学生喜欢数学，会有更大的动力来把数学学好！

当有人问你“数学是什么”时，你将如何回答？

神秘点儿说一一数学，是研究现实世界空间形式与数量关系的一

门学科。

通俗点儿讲一一数学，就是数图游戏。

解答各种各样的数学问题，其实就是在玩儿形式各异的数图游戏

(但需要游戏者遵守数学符号规定)。

举几个例子，来说明如何玩儿这种数图游戏。

例1、符号"{XIXGP}”就是?

要把它玩儿好，打油诗“集合好似口袋，袋中何在作怪？实数或

点居多，等不等导出来”帮你理解与运用！

例2(1)请你说明下列集合的联系与区别：

A={x\y=x2-2x+3}?B={y\y=x2-2x-^-3},

C={(x,y)|y=x?—2x+3}，D-{y=x1-2x+3};

(2)已知集合4={(工,则/+丁=1),B={(x,y)|y=x},则AAB

的元素个数为()A、0B、1C、2D、3

例3、设A、B是非空集合，符号就是?

当A、B是时？符号"y：AfB”与“y=/(x)”(xeA,

yeB)同义。

(二)积淀有效的学习方法

常言道“教无定法，但要得法”！教师采用的教学方式方法的好

劣，一个重要的评判依据，是你的学生是否喜欢数学，是否积极配合

你的教学，能从学生的爱好与测试等方面恒量有明显的教学效果。

较好地学习方法，不仅能有效降低学生对数学的恐惧感，而且能

大大地提高数学学习效率！

怎样学好数学？杨老师教你“读、做、悟”三招！

多年的学习与教学，我总结出了杨氏数学“读，做，悟”三字数

学学习法，这可是俺的一点儿小发明哦！现与你分享如下:

A、“读”，就是读书

俗话说得好“书读百遍，其理自现”。

只要把课本多读几遍，其中的含义和道理，就自然呈现出来了，

读书人也就明白了，更加聪明了，更加理智了！

书本是我们学习的根本，对它一定要努力做到：了解清楚，细读

明白，品味透彻。

读书分为三个阶段或三种境界：一是“初读”，只是为了了解，

知道一个轮廓或者一个大概。此阶段，你可以“君子动口，不动手二

二是“细读”，要慢慢地读，此阶段，你可得既动口，又动手！

一边读书一边理解并要记忆哦。

三是“精读”，要细细地品味，此阶段过后，你将成“精”：既能

展开多方面联想，又能将知识与方法运用自如！还能有效地进行“拆

开”或“组装”，创新性地制造出属于你的“产品”来哦！

为什么“妖精”那么厉害？那是因为她能运用自如，从而变幻莫

测。如果我们也把书读成“精”了，那时的你我，也能象“妖精”一

样厉害了噢！

B、“做”，就是做题

俗话说得好“熟能生巧”，学习数学更要做一定数量的题目，不

仅要会做书中的例题与习题，而且还要会把书中的例题进行多形式、

多方向的变化；书中的练习题和习题，一个也不能放过（个别“臭题”

例外）；做适量的课外练习题是必不可少的。

我国著名的数学家华罗庚先生有这样的名言:

“发白才知智叟呆，埋头苦干向未来。勤能补拙是良训，一分辛

劳一分才”！他初中都没有毕业但能自学成材，并成为了世界著名的

数学家，靠的就是勤做题，多领悟！

我国另一位著名的数学家苏步青先生，曾多次告诫青年人：”呈

着年轻勤奋学习，学好数学就得做题一一要动脑筋做，要想心事做;

要做各式各样的题，要各式各样地做题”。

C、“悟”，就是领悟

这是一个提高的过程，是成为数学高手必不可少的重要环节，做

了一定数量的题目之后，就可以从四个方面进行“领悟”了！

但要注意：每一次学习的内容，以书中的一个小单元为好，并且

先不要贪多，不要求快。适应之后再稍多一点内容，稍快一点速度。

我的领悟《数学学习，贵在四悟》发表在《数学大世界》1993

年2月刊的首篇（自任执行编委），被多人、多次引用。

（三）回归课本，概念更明了

数学课本，是学生学习数学与数学高考命题的根本！

在冲刺阶段，要引导学生有计划地“浏览”课本（阅读关键词,

能用自己的语言，表达出概念的基本含义即可）。

（四）记忆精华，基础更牢了

数学概念，性质，定理，法则及公式等，是学生做题的根据，要

求学生既能熟记于心，随时“拈来”为我所用，又能变式与变化使用

（当单调性与不等式或斜率或导数搭讪时，学生也能迅速识辨）！

数学打油诗有助学生记忆!

结合教学内容，适时总结成为打油诗，或者顺口溜，给枯燥的数

学内容赋予诗意，使抽象的数学符号具有灵气！

1、三角函数的图象与性质，只要“常现两条蛇，性质全记得”!

或者：正余曲线两条蛇，身材匀称就得瑟！“一段”身长是2万，

性质凭蛇身而得！

2、解不等式组时，有顺口溜：借助数轴求交集，一上一下标明

细；区间端点是否含？找准重叠做完题！

3、指数函数的性质，不易记住，有诗句相助：

图象是一撇（捺），性质由撇捺刻画：过定点单调在横轴上方，

与1比较由就把结论抓！

4、总记不住的“换底公式”，可编写为：

换底公式容易忆，一数等于两数比：相对顺序别改变，新的底数

随你需！

5、微积分基本定理，难以理解，也难记忆，简称为“牛一奶公

式”，顺口溜教你怎么玩儿：

要求定积分可以分为3步，由被积函数觅出其原函数，

计算其在积分上下限的值，上限值减去下限值就止步！

借助诗句，不但容易记忆，用时更有“头绪”！

除顺口溜或诗句外，也可图文并茂来类比，或用短语概括。

A、扇形面积公式与三角形面积公式、圆锥的侧面积公式；

B、梯形面积公式与等差数列的求和公式、圆台的侧面积等。

既减少学习的恐惧心理，又方便记忆，促进灵活运用！

二、逮住“题根”究精巧

数学教材中的例题，以及相应的习题，是经过编写者们反复推敲,

精心筛选而配置的精品，不仅具有“问题的典型性”和“求解的示范

性”，而且更具有“可探究性”！

教材中的这些例题及习题，不仅是数学课本的精华，更是数学高

考题的原型！

对数学教材及例习题的“探究”方式多种多样，近二十年我采用

“题根研究”，在国内中数界有较大影响。

（-）中学数学“题根研究”简介

中学数学题根是什么？

1、题根是一个问题。

题根不是概念，不是结论。题根是个疑问句，它是一个问题。

2、题根是一个题目。

问题规范化后就是一个题目，就像讲课时的例题，课本上的习题,

考卷上的题，会场的讨论题或研究题等。

3、题根是题目的根基。

题根不是孤立的题目，也不是题集中的个体。它是一个题族的根

祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表。抓到了一个题根，就抓

到了这个题族，这个题群，这个题系。

4、题根有生长性。

题根不同于题源，题源似乎有现成的题目，在源源不断地流出。

而题根不然，在那里，不一定有现成的题目，众多的新题目要从题根

上长出来，因此题根不是题库而是题圃。

5、题根有渗透性。

题根不刻意对学科内容在形式上的覆盖，着重考虑题根与题根之

间自然的、深刻的、纵横的渗透。因为覆盖只是一个“平面”，而渗

透将得到一个“三维立体”。

6、题根有实用性。

题根在课堂上是“主例”，成为课堂的“课根”，课堂的其他例题

是“主例”的迁移、补充和拓展。题根在考场上是“考根”，与考

题相约、相吻、相近，但不一定要相同。

7、题根有可接受性。

题根内容在课标与考纲范围内，难度在中等水平。题根不是高难

题（题顶），也不是简答题（题支或题叶）。题根是学生很想得到、而

又不能伸手而得、却是要跳起来摘到的果实。

题根在行文上讲究科学性与趣味性，体现人文关怀与数学文化,

在题根研究中实现再创造，使学生在学习中尝到数学的无穷乐趣。

（二）中学数学“题根研究”案例

函数题根“潜能”众多

仅举1个发表在教育部优秀科技/教育类中文核心期刊《高中数

理化》2014年第6期上函数题根研究成果《挖掘一道课本题的潜能》

现行普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教社A版）必修1

的复习参考题中，有这样一道习题：

题根已知f（x）=lg旨,a、求证/（a）+/（»=/（儡）①

初看此题，平淡无奇，常会通过“验证”的方法很快证明完毕就

置之不理.在作业讲评时，若引导学生作一些思考，就会挖掘出此题

除了隐藏有函数的主要性质外，还能挖掘出此题隐藏的其他性质，并

得到一些有趣的命题，以充分发挥此题的潜在功能！

1挖掘多思多证的潜能

为方便表述，把要证的等式称为①式，利用对数的运算性质，可

以得到本题的两种证法：

证法1由于“)+/3)=电怒+炒需=1g(毋x糕)=lg照篇，而

谯)=电暑=恒然黑=怆犒繇，所以①式成立•

证法2由上知，/(据)=lg黑崎=/黑+值需=/(a)+/S)，于是

①式成立.

我们把①式，叫做此函数的性质1.

2挖掘隐藏函数基本性质(6条)的潜能

从函数的基本性质(定义域与值域，奇偶性与对称性，单调性等)

考虑，就可挖掘出此题潜在了函数基本性质的潜能.

2.1求函数的定义域

由对数的定义，知鹭>0,即(1-x)(l+x)>0,解得-1<X<1,于是，

得到原函数的性质2:

函数/(X)=IgE的定义域是(-1,1).

可知：原题的已知条件中，为什么要有。、的要求，不

难发现：有一个巧合，它与函数g(x)=lg(l-x)-lg(l+x)有相同的定义域!

2.2求函数的值域

直接求值域比较困难，可转化为求其反函数的定义域！

设y=/(x)=lg旨，则为=揣，原函数的反函数为"尸(x)=搬，

易知它的定义域是实数集R,由此得得原函数的性质3：

函数/")=收出的值域是R.

2.3判断函数的奇偶性

对此函数，可以得到两种方法判断其奇偶性：

方法1对Vxe(-1,1),由/(-乃=炫出=区捂尸=-/(幻，可知/(x)

是奇函数.

方法2对Vxe(-1,1),由/(x)+/(-x)=但公+lg容=0可知，

f(-x)=-f(x),于是，得到原函数的性质4:

函数/(x)=lgf是奇函数.

2.4函数图象的对称性

由奇函数图象关于原点对称，结合性质4,得到此函数的性质5：

函数/(%)=1g念的图象关于原点对称.

2.5判断函数的单调性，

由性质5,只须讨论/(x)在(0,1)上的单调性：

方法1(定义法)设”公，0<x,<x2<l,则八〃=(芯温),

由0cx<工2<1知，于是IgA>1g小即/G)>/(看)，/(X)在

(0,1)上递减.

方法2(求导法)过程从略.

因而得到此函数的性质6：

函数/(x)=lg旨是定义域(T,1)上的减函数.

3挖掘隐藏的重要不等式

在实数内，由于等价于|切<1,若从函数定义域的角度考

虑，则①式表明：

若a、be(-Ll),则缁也在此函数的定义域内！

于是，就有下列：

命题1若a、beR,并且|a|<l,\b\<\,则有黯<1②

此不等式的证明，除了分析法或反证法之外，笔者曾探索出了近

10种方法，限于篇幅，仅给出3种较新颖的证法.

证法1(作差比较法)由1+必>0可知，②式等价于

—\—ab<a+b<X+ab③

但1+ab士(a+Z?)—(l±tz)(l±Z>)>0

③式成立，于是②式成立.

证法2(函数零点法)设/=龈，则有(1+。切入0-(。+与=。，此式

表明：%是一次函数g(x)=(\+ab)x0-(a+b)的唯一零点，

由1+而>0可知,g(x)在R上递增，由g(—1)=—(1+a)(l+b)<0和g(l)=

(l-a)(l-/?)>0知，g(x)的零点与e,

二.②式成立.

证法3(解不等式法)设/z(x)=(x+l)(x-1),则〃(x)<0的解集是(-1,1),

由力(鬻)=-今早<0,知瑞6(-1,1)，即②式成立•

若在虚数范围内，从虚数模的角度考虑，又有下列推广的不等式：

命题2若a、beC,并且\b\<l,则有隅<1.

利用虚数模的性质：\a\2=axa,可仿上证明命题2(过程从略).

4挖掘多种变式的潜能

例1设/(x)=1g任，贝!)_!")+，*)+/*)+/*)=-

由/(X)的性质4,应填写数字0.

例2设f(x)=lg总，且a、Je(Tl)，f(蜷)=1,1m，求/S).

由f(x)的性质1和性质4,易得f(b)=1.

若结合原函数的其他性质，还可以得到其它的多个变式题，如,

比较函数值的大小等等.

5挖掘广泛应用的潜能

篇幅有限，仅举一例如下.

例3若a、£是关于x的实系数一元二次方程/+以+匕=0的两

个实根，证明：

(1)若|a|<2,\/3\<2,则21al<4+b,且闻<4；

(2)若21al<4+b,且|。|<4,则|a|<2,|/7|<2.

此题曾经是全国高考压轴题，虽然有多种证法，但利用命题1,

可得下列简捷、巧妙的证法：

由|a|<2、|£|<2=|加<1,|"|<1和②式，得惮1<1且导，|<1

o|华翳|<1且|明<4,即岛<1且同<4=2|n|<4+。，且|。|<4.

故原命题成立.

数列题根“众星”来贺

高中数学中的数列部分，由于纵横联系比较广，求解方法比较活,

综合运用切入点多而成为每年高考数学命题的重点与亮点！从而使

“数列题根”能吸引“众星”（众多的经典考题）来参与祝贺！

现简要摘录，我于2012年9月，发表在《高中数理化》的特色

栏目“题根研究”的一篇如下。

巧裂项求数列的和妙放缩证明不等式

——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略

510900广东省中学名师工作室主持人（广州市从化中学）杨仁宽

（全文发表在全国优秀科技核心期刊《中学数学》2011年第10期）

1缘起

在新课程人教A版数学教材中，有这样的例题与习题：

例题若数列！1］的前〃项和是计算加，邑，S,,根据计算

［(3w-2)(3n+l)J

结果推测计算S”的表达式并给出证明.

习题若数列！1］的前〃项和是S.,,计算跖，S2,S3,推测计算S”的公

式并给出证明.

由此思考：若等差数列｛/｝的各项均不为零，求数列［1］的前〃项和.

这类问题的求解，可以采用“裂项求和”法，由于裂项变形时能较好地考查

数学技能技巧，而成为高考命题的重要切入点.尤其是与不等式相关联，更是成

为高考命题的亮点！本文结合近年高考题或模拟题，例析这类问题求解的主要思

路与策略.

2求解的主要思路与策略

2.1借分式性质裂项，适当放缩证明不等式

例1(2011年全国卷理科第20题)若数列｛%｝满足q=0,-......—=1.

1一4+11-an

⑴求｛4｝的通项公式；(2)设a=匕磨1,S“=E>.,证明S,<1.

yj〃k=1

解(1)易知］(1-4尸｝是首项与公差均为1的等差数列，从而4=1-！；

n

证⑵由⑴，得仇,=^11二回=4一-4=,于是

11、1

s"=ihk~4k^r~4^<1'

点化本题求解的关键，在于利用分式的性质，把切分裂成两项之差，利于

求和！再看下列：

例2(2011年深圳模拟题)若仅“｝是各项均不为0的等差数列，公差为“，

S,为其前”项和，且满足力=S2,z，〃eN*.数列也｝满足"=」一，7；为数

列仍“｝的前〃项和.

(1)求卬、。和北；(2)若对于任意的〃eN+,不等式27；<〃+(-1)"8恒成

立，求实数X的取值范围；

(3)是否存在正整数人〃(I<加<〃)，使得工,图,7；,成等比数列？若存在，求

出所有小，〃的值；若不存在，请说明理由.

解⑴在=邑〃_］中，令〃=1,几=2,解得q=1,d=29Sffijan=2n—l9

解(2)当〃为正偶数时，要使原不等式恒成立，即V〃$N+,

2<2H+-+17.由2〃+刍28,等号在〃=2时取得，此时2<25.

nn

当〃为正奇数时，要使原不等式恒成立，即V〃eN+,A<2»---15.由

n

｛2"-8〃一|｝递增，可知,止匕时4<-21.

综上可得，4的取值范围是(-8,-21).

解⑶假设存在正整数以〃(1<m<〃)，使得m成等比数列，则由(2),

得y」(」_),即，病_=/_,于是病+4%+1>0,由分子

2m+132H+14m2+4m+16〃+3nni2

为正，解得1一¥次<相<1+4而，由mwN卡和m>1,得加=2,此时〃=12.

当且仅当〃?=2,〃=12时，数歹1」｛7；｝中的7；,7；“,7；成等比数歹1」.

点化本题考查了等差、等比数列的概念及性质，求解的关键，是借助于分

数的性质对幻作恒等变形而裂项，进而求得7“的表达式.

类似地，有2011年天津文科和理科压轴题、2008年江西理科第18题，以

及下列

例3(2010年湖南文科压轴题)给出下面的数表序列：

表1表2表3…

113135

448

12

其中表2,3,）有“行，第1行的"个数是1,3,5,,2n-l,

从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

（1）写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，

并将结论推广到表〃（〃23）（不要求证明）；

（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12,,记为

解⑴表4为1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中各数的平均数分别为4,8,16,32,它们组成首项为4、

公比为2的等比数列.

将此结论推广到表"（”23）,有下列结论：

表”（〃23）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成以〃为首项、2为公

比的等比数列.

解（2）•••表"（〃23）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成以〃为首

项、2为公比的等比数列，...第々行中各数的平均数为〃x21，于是表〃中最后

一行的一个数为勿=〃X2"T.

于是V&eN*,%=色&k+2

%也+1Z(k+l)x2i

2(k+l)-k__1_________]

-k(k+l)x2k-2-kx2。—伏+1)X2-2

北=（而^-诟7H诟7―访）++、〃X2*2+_4-（〃+I）X2"

点化此题的求解，对利用分式的性质恒等变形而裂项，提出了更高的要求!

由以上可知，本例第（2）题，可改编为''证明：T,V4”,或由函数/（x）=---------

（x+1）x2

在u,+8)上递增，进而改编为“证明：3W7“<4”等等.

2.2借根式的性质裂项，适当放缩证明不等式

例4(2011年湖南十二校联考题)已知。为正常数，在曲线C“：丫=疝

上的一点火(为，打)处的切线，总经过定点0)(〃GN*)；

(1)求证：点列片，P2,,,,,%,…在同一直线上；

(2)求证：对于任意〃GN+,有下列不等式ln(〃+l)＜之五＜2册成立.

证⑴设y=/(或=标，则/(灯=!«,

2V.r

L”：y-yn-(x-x„),由(-a,0)€Ln,得y,=：J2(x“+a),而

2"“2'x“

yn=^nxn,联立解得x“=a,y“=JG,点£(a,J而)总在x=a上，

即点列4，P],…,P"，…在同一直线x=a上.

=

证(2)由(1),矢口y-Vna，——=—j==--f=V—T=—匚——=2(V?—V7—1)，z1,

ytJi2JiJi+Ji-1

2,于是£江=才3〈£2(4-77二1)

k=iy(i=li=l

=2f(7i-7o)+(72-7i)+…+(而_=2册，

即之逅<2册；ln(〃+l)<之电的证明，见例6.

IB,=1X

点化本例的证明，既用到了常见的放缩不等式：

2(>/n+l-Vn)<(Vn)-1<2(4-J〃-l),又借助于Jn+1-册与J”+l+J7互为有

理化因子而“裂项”求和.类似地，有下列：

例5(2011年广州模拟题)设各项均为正数的数列｛凡｝的前〃项和为S,,,

已知数列医｝是首项为1，公差为1的等差数列.

(1)求数列｛凡｝的通项公式;

i〃r

(2)令a=//，若不等式＞/对任意“€N,

MMNWV^TT+i

都成立，求实数L的取值范围.

解⑴由医｝的首项与公差为1,由向=〃，S„=n2,得％=2〃-1.

解⑵b=,1,_Y2n+1—J2/?-1_J_f]________1]

，(2〃+1)(2〃-1)()2〃+1+/2〃-1)2j(2〃+1)(2九—1)21J2〃-1,2〃+1J

ni

要使支ev〒■匕对任意〃N+成立,即V〃£N+,LW/n,而

占J2.+1+1J2〃+1

/(x)=-7'在［l,+8)上递增，当“=1时，=&_8,曰］为所求

J2x+1lV2n+lJmi„3

点化此例求解的关键，在于对久恒等变形，借助根式的性质而裂项求和,

进而将“不等式恒成立”问题化归并转化为求离散函数的最小值问题.

2.3借对数性质裂项，适当放缩证明不等式

例6(2010年湖北理科压轴题)已知函数/(x)=g+2+c(a>o)的图像在点

X

。"⑴)处的切线方程为y=x+l.

(1)用。表示出h,c；

(2)若f(x)21nx在［1,+8)上恒成立，求a的取值班范围；

⑶证明凯>山(〃+1)+丞a(”eN+).

解⑴h=a-\,c=l-2a；(2)。的取值范围是®,+8)；

证⑶由(2)知：当时，有/(x)21nx(xel),令。=卜有

f(x)=j(x-x~')$：］nx(x^1),当x>l时，|(x-x-1)>lnx»

即In（左+1）—InZv』（'+」一，将％=1,2,…，〃时的〃个不等式相加，得

21kk+1.

ln(n+l)<g++——1——，整理，W1+-+-+---+—>ln(n+1)+——--

2(n+1)23n2(n+l)

仿此，可证例4中“ln（〃+1）<”如下:

设尸(x)=«-ln(x+l),则产(0)=0,当xe(0,l)时，F’(x)=-^--—

2ylxX+l

=>0,R(x)在［0,1］是单调递增，当0<x<l时，尸(x)>尸(0)=0,

2Vx(x+l)

从而，VxG(0,1),Vx>ln(x+1).取x=L,WJ->In1+—j=ln(A：+l)-ta^,将

kvkk)

当斤=1,2,…，”时的〃个不等式相加，得

—=〉In2+(In3—In2)+(ln4—In3)+•♦JlnS+1)—In〃］=ln5+1)，

即ln(n+l)<y—,原不等式成立.

,=i%

点化上述证明的关键，是仔细观察结构特点，适当构造对数函数，巧妙赋

以变量之值,借助对数运算性质而裂项！求和之后的适度放缩，已是水到渠成了！

“立几”题根其乐无穷

我以立体几何课本中的例题，习题或高考立体几何题，作为“题

根”进行研究，形成了立体几何“题根研究”成果系列，已有8篇在

北师大学主办的教育部优秀科技期刊《高中数理化》的特色栏目“题

根研究”中连载，如《探究一个截面，潜能精彩呈现》、《无棱二面角

的求解策略》、《对一道高考立体几何题的探讨》、《2004年全国高考

立体几体评卷报告》、《对一道高考填空的探究》等。摘录其一如下。

探究典型性例题，践行研究性学习

——例谈数学课程资源的开发与利用

广东省中学名教师工作室主持人杨仁宽

1、题根

在高中教科书（人教A版）《数学•必修2》中，有这样一道:

例题如图1,AB是。0的直径，PA

垂直于。0所在的平面，C是圆周上异于

求证：平面PAC_L平面PBC。

简证设。0所在的平面为a,0

贝lj由PA_La和BC在a内，可知PALBC,

由AB是。。的直径，知ACLBC,

所以由PA与AC交于点A,知BC,平面PAC,图1

由平面PBC经过直线BC,知，平面PAC_L平面PBC。

除上述证法外，可根据三垂线定理给出证明（具体过程从略）。

师生共同做完这道例题之后，给同学们留下了这样的一个研究性

学习课题：

对一道例题的思考与发现。

对此研究性课题，要求同学们力所能及，自由发挥，先个人思考，

再小组交流补充。

同学们主要围绕此例题中的“位置关系”与“度量关系”，即线

线关系、线面关系、面面关系，有关长度与角度的计算等进行了探究

和思考，既就能挖掘出潜在于此例中的若干性质，又能较好地开展数

学研究性学习，并发现此例题神奇的功能！以下的表述，是在同学们

进行了为期2周的研究性学习，并在老师的主持与指导下，开展了研

究性学习讨论与交流的基础上，归纳整理而成的。

2、对数学课本例题的开发与利用

2.1开发利用原图中多种“垂直”的资源

结合例题中的题意，不难发现下列：

性质1（如图1）三棱锥P—ABC中的四个面PAC、PAB、PBC、

ABC都是直角三角形。其中/PAC、NPAB、NPCA、NBCA均为直角。

为了表述的方便，我们把原题中给出的，四个面都是直角三角形

的四面体，简称为直角四面体。

由性质1,我们不难得到下列：

推论1（如图1）直角四面体P—ABC的6条棱中，有4对棱相

交并且互相垂直，另1对棱则是异面垂直。

例如，在图1中，PA与AC,PA与AB,AC与BC,PC与BC都是相

交并且垂直的；而PA与BC,则是异面垂直的1对棱。

推论2（如图1）直角四面体P—ABC的四个面PAC、PAB、PBC、

ABC中，有3对平面互相垂直。

推论3直角四面体的六条棱中，有一条棱的长是一对互相垂

直的异面直线之间的距离。

略证如图1,由PA_L平面ABC,得PA_LAC,而AB是。。的直径，

AC±BC,因此，棱AC的长是异面直线PA与BC之间的距离。

借此开发的课程资源，能较好地复习和巩固了立体几体中的直线

与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直等知识与方法。

2.2连接中点，开发利用多种“平行”的资源

当我们连接图1中有关线段的“中点”

时，就可以得到如下的平行关系:

性质2如图2,在直角四面体P—ABC

中，若E、F、G、H分别是棱CB、PB、PC、

PA的中点，则有下列平行关系：

(1)直线OE、OF、EF都与平面PAC平行;

(2)直线FH、FG、GH都与平面ABC平行;

⑶平面EFO〃平面PAC、平面FGH〃平面ABC。图2

简证(1)由0,E分别是AB与BC的中点，知,0E是AABC的

中位线，所以OE〃AC,由0E在平面PAC外，AC在平面PAC,知0E

〃平面PACo

(2)在aPBC中，仿⑴,知FG〃平面ABC。

(3)由⑴、(2),知，0E与0F均与平面PAC平行，由0E与0F

交于点0,知平面EFO〃平面PACo同理，可证：平面FGH〃平面ABC。

借此开发的课程资源，能较好地巩固了立体几体中的直线与直线

平行，直线与平面平行，平面与平面平行等知识与方法。

2.3补图思考，开发利用广泛“联系”的资源

若以AC、AB、AP为过同一个顶点的3条棱，作三棱柱ABC—PED

(如图3),我们就可以得到:

定理棱锥的体积等于同底等高的棱柱的体积的三分之一。

简证设PA=〃，SMBC=S,连接AD、BD、PC,因三棱锥P—ABC

与三棱锥B—PED等底并且等高（AABC与APED等面积S,高

PA=BE）,而三棱锥B—PCD与三棱锥B—PAC也等底等高（APAC与^

DPC等面积，高均为点B到平面PAC的距离），由祖唾原理，可知，

这3个三棱锥的体积相等，都是o

若继续从“中点”考虑一一延长CO交

圆0于D,则0是直径CD的中点，将线段口

PA分别平移至C、B、D处，则可构造长方

体ADBC—PQRS（如图4）。

由此，我们很容易得到下列性质及。

其推论：图3

性质3如图1,直角四面体P—ABC

中，最长的棱是PB=7F+m2+n2，

其中d=AC,zn=PA,〃=BC。

在RtAPAB和RtAACB中，两次利用

勾股定理即得（过程从略）。由此可得下列:

推论1长方体的对角线长的平方等于

其长、宽、高的平方之和。

推论2直角四面体P—ABC的外接球

的直径是最长的棱长。

2.4深入挖掘，开发利用多个“性质”的资源图4

如果考虑直线与平面的位置关系，就有：

性质4在直角四面体的六条棱当中，有两条棱是平面的垂线（面

垂线），且以垂足为顶点的两个锐角，是以面垂线为棱的二面角的平

面角。

略证如图1,由PA_L平面ABC得PALAC,PA±AB,Rt^ACB中

的锐角ZCAB是二面角C-PA-B的平面角。

类似地，可证另一种情况。图1中，是否还有特殊的角？

不难发现：NPBA是直线PB与平面ABC所成的角；NACP是多用

角：既是PC与平面ABC所成的角，又是二面角P—BC—A的平面角。

如果考虑面面关系，又可得到：

性质5直角四面体的四个面都是直二面角的面，且有三条棱是

直二面角的棱。

结合图1易证（过程略）。

在直角四面体中，除了上述这些隐藏于“位置关系”的性质之外,

在有关的“度量关系”中，也潜在着许多优美的性质!

例如，在直角四面体P—ABC中（图5）,

设NAPB=q,NCPB=%，NAPC=。，则有

下列等式COS。1•COS^2=COS^O

简证在三个RtAPAB、

RtAPBC、RtAPAC中，容易得到：

将前两式相乘，即得COS。1•COS%=COS。。

上述性质，用文字表述，就是下列：图5

性质6以直角四面体的最长棱的端点为顶点的两组三面角中，

与直二面角的棱相邻的两锐角余弦之积等于它对面锐角的余弦。

借此开发的课程资源，能较好地将立体几体中的三棱锥补成了三

棱柱，进而补成四棱柱，使直线与直线的位置关系，直线与平面的位

置关系，平面与平面的位置关系等学科主干知识与主要方法，有机地

融为一体，充分发挥了课本例题的功能！

有兴趣的同学及教师，可进一步挖掘直角四面体中潜在的其他有

关性质（篇幅有限，此处从略）。

2.5灵活运用，开发利用多种“好处”的资源

直角四面体的性质，有广泛应用，限于篇幅，仅举3例如下：

例1在四棱锥的4个侧面三角形中，直角三角形最多有（）

A。1个B。2个C。3个D。4个

对于这样一道高考选择题，由于没有示意图，不少考生因不能作

出正确的示意图而选错答案！

若借助直角四面体，则很容易作出选择：

在图1中，设CO交圆。于D,由两个直角四面体组成的四棱锥P

一ACBD的4个侧面均为直角三角形，故应选D。

例2若两个平面△相交于直线相，Aea,BG/3,AB与平面

a、耳分别成45。、30°,过A、B分别作机的垂线，垂足分别为4、B1,

且AB=12,求线段的长。

略解连AB,\B,AB1,易知三棱锥A—A|B81是直角四面体,

且NBA与=45°,NABA=30°,在MABA片和~澳54中，得4耳=6虚，

A4,=6,由性质3,得A区=6为所求。

例3如图6,正三棱柱ABC的底面积是3,D、E分别是BB、

CU上的点，并且EC=BC=2BD。求截面ADE与底面ABC所成二面角的

大小。

简析如果借助cos。=S.G+S^DE

来求解，在求与^上寸，要用到勾股定理、

余弦定理、三角诱导公式等，因计算较大量、

过程较繁琐而难以求解。

如果适当构造，借助直角四面体的有关

性质，则可以得下列既简捷，又新颖的解法。

略解延长ED交CB于F,则由AEDB和

△FEC的相似比是1：2,知，B是FC的中点。图6

VZABF=120°,AB=FB,

...NFAB=30°,ZFAC=90°o

由三垂线定理，可知，EA±FA,于是E—AFC是直角四面体，由

性质4,可知，NEAC是所求二面角的平面角，由EC=BC=AC,得

NEAC=45°为所求二面角的大小。

可见，在教学中通过引导同学对这道课本例题的思考与探究，既

有效开发出了新课程的资源，又挖掘出了潜在于直角四面体中的许多

优美性质，更使师生体验到了数学“题根研究”的无穷乐趣！不仅较

好地利用课本素材开展了数学研究性学习，实现了数学学习的再创造,

而且借助所开发的课程资源达到了《数学课程标准》“高中数学课程

应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发

现和创造的历程，发展他们的创新意识”的目的！

解几园里“弦”奏凯歌

高中数学中的《解析几何》内容，由于是“数形结合”的典范,

而倍受高考命题者们的亲睐！本书著者对“解几”类“题根”的研究，

也情有独衷，成果较多。

现摘录，我工作室的核心成员、正高级教师，陈飞林老师的题根

研究成果之一（发表在由北师大主办的国家级优秀科技期刊《高中数

理化》2018年第10期）如下。

拨弄“焦点弦”实现“变”与“迁”

——对一道抛物线例题的研究性学习

陈飞林（正高级教师/省级骨干教师）

1、题根

由人民教育出版社出版的A版普通高中课程标准实验教科书《数

学•选修2—1》中，有这样一道例题：

如图，斜率为1的直线/经过抛物线

y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、

B两点，求线段AB的长。

本人对此例题进行了一些思考，借

此开展了数学研究性学习：通过探索此

例题的多种求解方法，作一些题型变式与简单的推广，用于求解相关

的问题时过程十分快捷，使用特别方便。

2、用多种方法求抛物线“焦点弦”的长度

在学习《数学•选修2—1》时，老师曾引导我们把这类过抛物

线的焦点的弦，称为抛物线的“焦点弦”，以下简称为焦点弦。

如果从不同的途径进行思考，就可以得到求抛物线的“焦点弦长”

的下列解法。

若考虑利用“两点间的距离公式”，就有下面的解法：

解法1（求出交点法）易知V=4x的焦点F（1,0）,将/的方程

y=x—l代入V=4x中，得，%2-6%+1=0,解得x=3±20,由此，得

22

市,2-2叵）,仇3+2次,2+2扬，于是\AB\=-x2）+（yt-y2）=8o

若考虑采用“设而不求”，就有下面的解法：

解法2（弦长公式法）设A（X]，M），B（x2,y2）,由解法1,得X]+无2=6,

22

x{x2=1,由弦长公式可得，|AB|=+x2）-4XjX2x^l+k=8o

若灵活运用抛物线的定义，又有下面的解法：

解法3（活用定义法）过A、B两点分别作准线x=-l的垂线，

垂足分别为4、B”结合抛物线的图象和定义，得

|人目=|4月+怛月=|47+忸4|=%+々+，=6+2=8为所求。

解法4（极坐标法）此处从略。

解法5（参数方程法）此处从略。

3、推广命题，探索抛物线“焦点弦”的一些性质

由于此例题中的直线/过定点（焦点），可对其倾斜角推广为一般

情形，而得到抛物线的“焦点弦”的一些性质。

性质1设倾斜角为a的直线/,经过抛物线V=2px(〃>0)的

焦点F,且与抛物线相交于4的,其)8(々,％)两点，则有下列抛物线的

“焦点弦长”公式及结论：

2

(1)|AB\=xt+x2+p；(2)\AB\=2p-i-sma；(3)|A8|有最小值

是2p。

筒证：由抛物线的定义和图象，容易知道(1)式成立(证明过

程从略)。当倾斜角a*90°,设tana=「,将/：y=k(x-}p),=2px

中，得4左2%2―4°(左2+2)x+Z2P2=o①

由弦长公式，知：AB=J(X|+工2y-4内%2XJ1+-,

将①式中的两根之和与两根之积，代入并化简，

得|AB|=2p+sin2a,即性质1(2)成立;

当a=90。时，设A©p,p),B^p-p),此时性质1(2)仍成立。

由于ae(0,%),0<sinaWL从而(sina)max=1,结合性质1(2)式,

可知性质1(3)成立。

性质2设倾斜角为a的直线/经过抛物线>2=2p尤(p>0)的焦

点F,且与其交于4和%)8(与％)两点，则有下列定值性质：

22

(1)犬/2=+/；(2)yly2=-p；(3)SM0B=/?/(2sina)o

简证：当a=90。时,设A(*p,p),B(jp-p),此时性质2成立。

以下证明：当a#90。时、性质2也成立。

设tana=Z,则由ce(0,%)知，将直线/的方程y=,

代入抛物线方程中，得4(入-4p(k2+2)x+k2p2=0,

2

...xix2=}p,即（1）式成立。

将％=古丁2,代入y=&(x-4p),得:"2py-Ap'=0，

于是》上=-。2，即(2)式成立。

由于抛物线的顶点0到直线/：y=*Tp)tana的距离dEpsina,

,由性质1(2),得5AAoBE|AB|d=p2/(2sina),(3)成立。

4、灵活变形，探索抛物线“焦点弦”性质的运用

上述有关抛物线“焦点弦”的性质，倍受数学爱好者的亲睐，其

应用也很广泛，尤其是用于求解有关的高考数学题或竞赛题时，既快

速，又简捷，可以达到事半功倍的效果，举例说明如下。

例1(2014年全国新课标卷,理10文11)设F为抛物线C:产=3x

的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，。为坐标原

点，则^OAB的面积为()

A、今MB、1V3。、D、?

简析：用常规方法解，既要求出弦AB的长，又要求出原点。到

y=4(x-?)的距离，过程繁,计算也多！用性质2,可简捷求解:将〃=壬

a=30°,代入SgoB=p2/(2sina)，得5.0产得，选D.

例2(1998年上海市高考题)设。为坐标原点，过点A(l,0)

的直线/交抛物线V=4x于P、Q两点。当APOQ的面积是4时，求直

线/的倾斜角a。

略解：由题意，«^0°；由抛物线V=4x知：A(1,0)是它的焦

点，0是它的顶点，

当a=90。时,由性质1(3),知|PQ|=4,由于|0A|=l是边PQ上

的高，此时S“O°=2N4,即“90°,

由于抛物线的顶点0到直线/：y=(x-l)tane的距离d=sin。，

由性质1(2),知|PQ|=六，：.由SAp°o==|PQ|xd=^=4,得

sina=孔而ae(0°,180°),a=30°或a=150°均为所求。

例3过抛物线焦点的一条直线与它交于P、Q两点，过点P和

抛物线顶点的直线交准线于点M,求证：直线MQ平行于抛物线的对

称轴。

2

简证：以抛物线y=2px(p>0)为例，设P(匹，y,)>Q(x2,

%)，M(七,当)，则由直线PQ过抛物线的焦点和性质2(2),知力%=中,

于是将抛物线的准线方程X=TP，代入直线0P的方

程得％=一3甘。，

而为=古丁：'于是必=号/，

直线MQ平行于此抛物线的轴(即x轴)。

有趣的是，对例3的逆命题，有下列：

例4(2001年全国高考理科19)

若经过抛物线_/=2*。>0)的焦点F的

直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的

准线上，且BC〃才轴。证明直线力。经过原点0。

简证：如右图，设A(X1,y)BQ2,%)，由性质2(2),知必乂=一。2。

由于6C〃x轴，点C在直线x=—上，所以C(一/，%),

即无2=-0，而yJ=2pX],所以直线CO的斜率

一%.2y%一2Px(-/)_2〃_必

/~iPpy\孙M/，

因为它也是直线0A的斜率，所以直线AC经过原点0。

三、日练“三题”考技高

在数学高考复习的冲刺阶段，还是要将教师的复习意图与备考策

略等，“落实在学生的笔尖